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1、
高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類自測：拋物線
一、選擇題
1．已知拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)恰好為雙曲線y2－x2＝2的上焦點(diǎn)，則a等于 ( )
A．1 B．4
C．8 D．16
2．拋物線y＝－4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是 ( )
A．－ B．－
C. D.
3．已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 ( )
A. B．1
2、C. D.
4．已知拋物線y2＝2px，以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是( )
A．相離 B．相交C．相切 D．不確定
5．已知F為拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，過F且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則||FA|－|FB||的值等于 ( )
A．4 B．8
C．8 D．16
6．在y＝2x2上有一點(diǎn)P，它到A(1,3)的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是
3、 ( )
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
二、填空題7．以拋物線x2＝16y的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為________．
8．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸，拋物線上一點(diǎn)Q(－3，m)到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為________．
9．已知拋物線y2＝4x與直線2x＋y－4＝0相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，那么| | ＋| | ＝________.
三、解答題
10．根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線 16x2－9y2＝144的左頂點(diǎn)；
4、
(2)過點(diǎn)P(2，－4)．
11．已知點(diǎn)A(－1,0)，B(1，－1)，拋物線C：y2＝4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動直線l交拋物線C于M，P兩點(diǎn)，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q.若向量與的夾角為，求△POM的面積．
12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，－1)，B點(diǎn)在直線y＝－3上，M點(diǎn)滿足 ∥ ， ＝ ，M點(diǎn)的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程；
(2)P為C上的動點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值．
詳解答案
一、選擇題
1．解析：根據(jù)拋物線方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，
5、雙曲線的上焦點(diǎn)為(0,2)，依題意則有
＝2, 解得a＝8.
答案：C
2．解析：拋物線方程可化為x2＝－，其準(zhǔn)線方程為y＝.設(shè)M(x0，y0)，則由拋物線的定義，可知－y0＝1?y0＝－.
答案：B
3．解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
4．解析：設(shè)拋物線焦點(diǎn)弦為AB，中點(diǎn)為M，準(zhǔn)線l，A1、B1分別為A、B在直線l上的射影，則|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距離d＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半徑，故相切．
答案：C
5．解析：依題意F(
6、2,0)，所以直線方程為y＝x－2由，消去y得x2－12x＋4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝＝＝8.
答案：C
6．解析：如圖所示，直線l為拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，PN⊥l，AN1⊥l，由拋物線的定義知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、N三點(diǎn)共線時取等號．∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同即為1，則可排除A、C、D.
答案：B
二、填空題7．解析：拋物線的焦點(diǎn)為F(0,4)，準(zhǔn)線為y＝－4，則圓心為(0,4)，半徑r＝8.所以，圓的
7、方程為x2＋(y－4)2＝64.
答案：x2＋(y－4)2＝64
8．解析：設(shè)拋物線方程為x2＝ay(a≠0)，
則準(zhǔn)線為y＝－.
∵Q(－3，m)在拋物線上，
∴9＝am.
而點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，
∴|m－(－)|＝5.將m＝代入，
得|＋|＝5，解得，a＝2，或a＝18，
∴所求拋物線的方程為x2＝2y，或x2＝18y.
答案：x2＝2y或x2＝18y
9．解析：由，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的兩根為A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故x1＋x2＝5，因為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，所以| | ＋| | ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝
8、7
答案：7
三、解答題
10．解：雙曲線方程化為－＝1，
左頂點(diǎn)為 (－3,0)，
由題意設(shè)拋物線方程為
y2＝－2px(p>0)，則－＝－3，
∴p＝6，∴拋物線方程為y2＝－12x.
(2)由于P(2，－4)在第四象限且拋物線對稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)拋物線方程為y2＝mx或x2＝ny，代入P點(diǎn)坐標(biāo)求得m＝8，n＝－1，
∴所求拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y.
11．解：設(shè)點(diǎn)M(，y1)，P(，y2)，
∵P，M，A三點(diǎn)共線，
∴kAM＝kPM，
即＝，
即＝，
∴y1y2＝4.
∴ ＝＋y1y2＝5.
∵向量 與 的夾角為，
∴| || |cos＝5
9、.
∴S△POM＝| | | | sin＝.
12．解：(1)設(shè)M(x，y)由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．
所以 ＝(－x，－1－y)， ＝(0，－3－y)，
＝(x，－2)．
再由題意可知(＋ )＝0，即(－x，－4－2y)(x，－2)＝0.
所以曲線C的方程為y＝x2－2.
(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線C：y＝x2－2上一點(diǎn)，
因為y′＝x，所以l的斜率為x0.
因此曲線l的方程為y－y0＝x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x＝0.
則O點(diǎn)到l的距離d＝.又y0＝x－2，
所以d＝＝(＋)≥2，
當(dāng)x0＝0時取等號，所以O(shè)點(diǎn)到l距離的最小值為2.
高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分類自測 拋物線 理
