同步優(yōu)化探究理數(shù)北師大版練習(xí)：第五章 第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 Word版含解析

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1、課時(shí)作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點(diǎn)練 1．在單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，則a1＝(　　) A．－1　　　　　　　　 B．0 C. D. 解析：由題知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，∴a2＝，a4＝.∴公差d＝＝.∴a1＝a2－d＝0. 答案：B 2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8－S4＝36，a6＝2a4，則a1＝(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S8－S4＝36，a6＝2a4， ∴解得故選A. 答案：A 3．等差數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝100(n

2、≥3)．若{an}的公差為某一自然數(shù)，則n的所有可能取值為(　　) A．3,7,9,15,100 B．4,10,12,34,100 C．5,11,16,30,100 D．4,10,13,43,100 解析：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得，公差d＝＝.又因?yàn)閐∈N，n≥3，所以n－1可能為3,9,11,33,99，n的所有可能取值為4,10,12,34,100，故選B. 答案：B 4．(2018武漢市模擬)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且a2＝3a4－6，則S9＝(　　) A．25 B．27 C．50 D．54 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，因?yàn)閍

3、2＝3a4－6，所以a1＋d＝3(a1＋3d)－6，所以a5＝a1＋4d＝3，故S9＝9a5＝27. 答案：B 5．(2018昆明市檢測)已知等差數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，＝a2，則a8＝(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得＝1＋d，解得d＝2，d＝－1(舍去)，所以a8＝1＋72＝15，故選D. 答案：D 6．已知等差數(shù)列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，則n等于 ． 解析：∵{an}是等差數(shù)列，∴2an＝an－1＋an＋1

4、，又∵an－1＋an＋1－a＝0，∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝(2n－1)an＝2(2n－1)＝38，解得n＝10. 答案：10 7．(2018長春模擬)《九章算術(shù)》是我國第一部數(shù)學(xué)專著，下有源自其中的一個(gè)問題：“今有金菙(chu)，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．問金菙重幾何？”其意思為：“今有金杖(粗細(xì)均勻變化)長5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．問金杖重多少？”答案是 ． 解析：由題意可知等差數(shù)列中a1＝4，a5＝2， 則S5＝＝＝15， ∴金杖重15斤． 答案：15斤 8．已知S

5、n是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S5＝5a4－10，則數(shù)列{an}的公差為 ． 解析：由S5＝5a4－10，得5a3＝5a4－10，則公差d＝2. 答案：2 9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，數(shù)列{bn}滿足關(guān)系式bn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解析：(1)證明：∵bn＝，且an＝， ∴bn＋1＝＝＝， ∴bn＋1－bn＝－＝2. 又∵b1＝＝1，∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝1＋(n－1)2＝2n－1，

6、又bn＝，∴an＝＝.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝. 10．等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3. 解得a1＝1，d＝. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)知，bn＝[]． 當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，1≤<2，bn＝1； 當(dāng)n＝4,5時(shí)，2≤<3，bn＝2； 當(dāng)n＝6,7,8時(shí)，3≤<4，bn＝3； 當(dāng)n＝9,10時(shí)

7、，4≤<5，bn＝4. 所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為13＋22＋33＋42＝24. B組——能力提升練 1．(2018東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，則a8＝(　　) A．0 B．－109 C．－181 D．121 解析：設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則d＝b3－b2＝－14，因?yàn)閍n＋1－an＝bn，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝＝[(b2－d)＋(b2＋5d)]＝－112，又a1＝3，則a8＝－109. 答案：B 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝13，

8、Sm＝0，Sm＋1＝－15，其中m∈N*且m≥2.則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：因?yàn)镾m－1＝13，Sm＝0，Sm＋1＝－15， 所以am＝Sm－Sm－1＝0－13＝－13，am＋1＝Sm＋1－Sm＝－15－0＝－15， 因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列， 所以公差d＝am＋1－am＝－15－(－13)＝－2， 所以 解得a1＝13. 所以an＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝15－2n， 當(dāng)an≥0時(shí)，n≤7.5，當(dāng)an＋1 ≤0時(shí)，n≥6.5， 所以數(shù)列{}的前6項(xiàng)為正數(shù)，所以＝＝(－)， 所以數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最

9、大值為(－＋－＋－＋…＋1－)＝(1－)＝.故選D. 答案：D 3．(2018豫南九校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，Sn是其前n項(xiàng)和，若a2，a3，a6成等比數(shù)列，且a10＝－17，則的最小值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)?d＝－2a1，a10＝a1＋9d＝－17，∴a1＝1，d＝－2，Sn＝2n－n2，＞，＞，n＝4時(shí)，＝－最?。xA. 答案：A 4．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因?yàn)橘Z憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄

10、了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是(　　) 2 017　2 016　2 015　2 014……6　5　4　3　2　1 4 033　4 031　4 029……………11　9　7　5　3 8 064　8 060……………………20　16　12　8 16　124………………………36　28　20 ……………………… A．2 01722 016 B．2 01822 015 C．2 01722 015 D．2 01822 016

11、 解析：從給出的數(shù)表可以看出，該數(shù)表每行都是等差數(shù)列，其中第一行從右到左是公差為1的等差數(shù)列，第二行從右到左的公差為2，第三行從右到左的公差為4，…，即第n行從右到左的公差為2n－1，而從右向左看，每行的第一個(gè)數(shù)分別為1＝22－1,3＝320,8＝421,20＝522,48＝623，…，所以第n行的第一個(gè)數(shù)為(n＋1)2n－2.顯然第2 017行只有一個(gè)數(shù)，其值為(2 017＋1)22 017－2＝2 01822 015.故選B. 答案：B 5．在等差數(shù)列{an}中，a9＝a12＋6，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11等于 ． 解析：S11＝＝11a6，設(shè)公差為d， 由

12、a9＝a12＋6得a6＋3d＝(a6＋6d)＋6，解得a6＝12，所以S11＝1112＝132. 答案：132 6．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為 ． 解析：由已知得，解得a1＝－3，d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函數(shù)f(x)＝－在x＝處取得極小值，又n＝6時(shí)，6S6＝－48，n＝7時(shí)，7S7＝－49，故nSn的最小值為－49. 答案：－49 7．(2018長沙市模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，若點(diǎn)An(n，)在函數(shù)f(x)＝－x＋c的圖像上運(yùn)動(dòng)，其中c是與x無關(guān)的常數(shù)，且a1＝3. (1)求數(shù)列{a

13、n}的通項(xiàng)公式； (2)記bn＝aan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值． 解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)An(n，)在函數(shù)f(x)＝－x＋c的圖像上運(yùn)動(dòng)， 所以＝－n＋c，所以Sn＝－n2＋cn. 因?yàn)閍1＝3，所以c＝4，所以Sn＝－n2＋4n，所以an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5(n≥2)． 又a1＝3滿足上式，所以an＝－2n＋5(n∈N*)． (2)由(1)知，bn＝aan＝－2an＋5＝－2(－2n＋5)＋5＝4n－5， 所以Tn＝＝2n2－3n. 所以Tn的最小值是T1＝－1. 8．已知等差數(shù)列{an}，a1＝－11，公差d≠0，且a2，a5，a6成等比數(shù)列． (1)

14、求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析：(1)∵a2，a5，a6成等比數(shù)列，∴a＝a2a6，即(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)， ∴2a1d＋11d2＝0，又d≠0，a1＝－11，∴d＝2， ∴an＝－11＋(n－1)2＝2n－13. (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝＝n2－12n， ∵an＝2n－13，∴當(dāng)n≤6時(shí)，an＜0；當(dāng)n≥7時(shí)，an＞0. ∴當(dāng)n≤6時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－an＝－Sn＝12n－n2； 當(dāng)n≥7時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＋|a7|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－a6＋a7＋…＋an＝－S6＋Sn－S6＝Sn－2S6＝n2－12n＋72. 綜上，Tn＝