【課堂坐標】高中數(shù)學北師大版必修三學業(yè)分層測評：第3章 3 模擬方法——概率的應用 Word版含解析

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1、2019年北師大版精品數(shù)學資料 學業(yè)分層測評 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．灰太狼和紅太狼計劃在某日12：00～18：00這個時間段內(nèi)外出捉羊，則灰太狼和紅太狼在14：00～15：00之間出發(fā)的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 【解析】　P＝＝. 【答案】　D 2．已知函數(shù)f(x)＝log2x，x∈，在區(qū)間上任取一點x0，則使f(x0)≥0的概率為(　　) A．1 B. C. D. 【解析】　欲使f(x)＝log2x≥0，則x≥1，而x∈，∴x0∈[1,2]， 由幾何概型概率公式知P＝＝. 【答案】　C

2、 3．(2014·遼寧高考)若將一個質(zhì)點隨機投入如圖3­3­3所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(　　) 圖3­3­3 A. B. C. D. 【解析】　由題意AB＝2，BC＝1，可知長方形ABCD的面積S＝2×1＝2，以AB為直徑的半圓的面積S1＝×π×12＝.故質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率P＝＝. 【答案】　B 4．A是圓上的一定點，在圓上其他位置任取一點B，連接A、B兩點，它是一條弦，則它的長度大于等于半徑長度的概率為(　　

3、) A. B. C. D. 【解析】　如圖，當取點落在B、C兩點時，弦長等于半徑；當取點落在劣弧上時，弦長小于半徑；當取點落在優(yōu)弧上時，弦長大于半徑，所以弦長超過半徑的概率P＝＝. 【答案】　B 5．在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的平方和也在[0,1]內(nèi)的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】　設(shè)在[0,1]內(nèi)取出的數(shù)為a，b，若a2＋b2也在[0,1]內(nèi)，則有0≤a2＋b2≤1.如圖，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為邊長為1的正方形，滿足a2＋b2在[0,1]內(nèi)的點在單位圓內(nèi)(如陰影部分所示)，故所求概率為＝. 【答案】　A 二、填空題

4、 6．函數(shù)f(x)＝x－2，x∈[－5,5]，那么任取一點x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是________． 【解析】　由f(x0)≤0得x0－2≤0，x0≤2，又x0∈[－5,5]，∴x0∈[－5,2]． 設(shè)使f(x0)≤0為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域長度是2－(－5)＝7，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是5－(－5)＝10，則P(A)＝. 【答案】　 7．圓上的任意兩點間的距離大于圓的內(nèi)接正三角形邊長的概率是________． 【解析】　如圖所示，從點A出發(fā)的弦中，當弦的另一個端點落在劣弧上的時候，滿足已知條件，當弦的另一個端點在劣弧或劣弧上的時候不能滿足已知條件，又因為△

5、ABC是正三角形，所以弦長大于正三角形邊長的概率是. 【答案】　 8．(2016·邵陽高一檢測)在[－6,9]內(nèi)任取一個實數(shù)m，設(shè)f(x)＝－x2＋mx＋m－，則函數(shù)f(x)的圖像與x軸有公共點的概率等于________． 【解析】　若函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋m－的圖象與x軸有公共點，則Δ＝m2＋4≥0，又m∈[－6,9]， 得m∈[－6，－5]或m∈[1,9]， 故所求的概率為 P＝＝. 【答案】　 三、解答題 9．如圖3­3­4所示，在邊長為25 cm的正方形中有兩個腰長均為23 cm的等腰直角三角形，現(xiàn)有粒子均勻散落在正方形中，粒子落在

6、中間陰影區(qū)域的概率是多少？ 圖3­3­4 【解】　因為粒子落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件．設(shè)A＝{粒子落在中間陰影區(qū)域}，則依題意得正方形面積為25×25＝625(cm2)，兩個等腰直角三角形的面積為2××23×23＝529(cm2)，陰影區(qū)域的面積為625－529＝96(cm2)，所以粒子落在中間陰影區(qū)域的概率為P(A)＝. 10．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－y). 【導學號：63580042】 (1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先

7、后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足a·b＝－1的概率； (2)若x，y∈[1,6]，求滿足a·b＞0的概率． 【解】　(1)設(shè)(x，y)表示一個基本事件， 則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36個． 用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，則A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個． ∴P(A)＝＝. (2)用B表示事件“a·b＞0”，即x－2y＞0. 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為

8、 {(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}， 構(gòu)成事件B的區(qū)域為{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y＞0}，如圖所示． 所以所求的概率為P(B)＝＝. [能力提升] 1.如圖3­3­5，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是(　　) 圖3­3­5 A．1－　　　　　 B.－ C. D. 【解析】　設(shè)扇形的半徑為2，則其面積為＝π，記由兩段小圓弧圍成的陰影面積為S1，另外三段圓弧圍成的陰影面積為S2，則S1＝2×＝－1，S2＝

9、5;22－2××12＋－1＝－1，故陰影部分總面積為2×＝π－2，因此任取一點，此點取自陰影部分的概率為＝1－. 【答案】　A 2．在一球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動點在球內(nèi)運動，則此點落在正方體內(nèi)部的概率為(　　) A. B. C. D. 【解析】　由題意可知棱長為1的內(nèi)接正方體的體積為V1＝1. 又球的直徑是正方體的體對角線，故球的半徑R＝， 球的體積V2＝πR3＝. 則此點落在正方體內(nèi)部的概率為 ＝＝. 【答案】　D 3.如圖3­3­6，是一殘缺的輕質(zhì)圓形轉(zhuǎn)盤，其中殘缺的每小部分與完整的每小部分的角度比是

10、3∶2，面積比是3∶4.某商家用其來與顧客進行互動游戲，中間自由轉(zhuǎn)動的指針若指向殘缺部分，商家贏；指針若指向完整部分，顧客贏．則顧客贏的概率為________． 圖3­3­6 【解析】　指針在轉(zhuǎn)盤上轉(zhuǎn)動，只與所轉(zhuǎn)過的角度有關(guān)系，且指針自由轉(zhuǎn)動，指向哪一部分是隨機的，因此該問題屬于角度型幾何概型． 因其角度比為3∶2，故商家贏的概率為＝，顧客贏的概率為＝. 【答案】　 4．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞

11、)上是增函數(shù)的概率； (2)設(shè)點(a，b)是區(qū)域內(nèi)的一點，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率． 【解】　(1)因為函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為直線x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當且僅當a＞0且≤1，即2b≤a. 若a＝1，則b＝－1； 若a＝2，則b＝－1或1； 若a＝3，則b＝－1或1. 所以事件包含基本事件的個數(shù)是1＋2＋2＝5.又∵a，b所取的所有可能結(jié)果為3×5＝15，所以所求事件的概率為＝. (2)由(1)知當且僅當2b≤a且a＞0時，函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)， 依條件可知事件的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|a＋b－8≤0，且a＞0，b＞0}，構(gòu)成所求事件的區(qū)域為可行域中對應的三角形部分．由得交點坐標為， 所以所求事件的概率為P＝＝.