萬變不離其宗五【選修1－11－24－5】：專題五 統(tǒng)計(jì)案例 Word版含解析

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1、 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí) 1．變量間的相關(guān)關(guān)系 (1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系． (2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)． 2．兩個(gè)變量的線性相關(guān) (1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線． (2)回歸方程為＝x＋，其中＝，＝－． (3)通過求Q＝ (yi－bxi－a)2的最小值而得出回歸直線的方法，

2、即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法． (4)相關(guān)系數(shù)： 當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)； 當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)． r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性． 3．獨(dú)立性檢驗(yàn) 假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為： y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d

3、a＋b＋c＋d K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)． 二、題之本：思想方法技巧 1．在研究?jī)蓚€(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手．對(duì)于散點(diǎn)圖，可以做出如下判斷： (1)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系． (2)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系． (3)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系． 2．分析兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的常用方法： (1)利用散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷； (2)利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷． 3． (1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)

4、分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則無意義． (2)根據(jù)回歸方程進(jìn)行的估計(jì)僅是一個(gè)預(yù)測(cè)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值． (3)用最小二乘法求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)，，由于，的計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)應(yīng)仔細(xì)小心． 4．線性回歸分析的方法、步驟 (1)畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖； (2)求相關(guān)系數(shù)r，并確定兩個(gè)變量的相關(guān)程度的高低； (3)用最小二乘法求回歸直線方程＝x＋， (4)利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)． 注：①對(duì)于非線性(可線性化)的回歸分析，一般是利用條件及我們熟識(shí)的函數(shù)模型，將題目中的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系進(jìn)行分析，最后還原．②利用相關(guān)指數(shù)R

5、2＝1－刻畫回歸效果時(shí)，R2越大，意味著殘差平方和越小，模型的擬合效果越好. 5．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟 (1)假設(shè)兩個(gè)分類變量x與y沒有關(guān)系； (2)計(jì)算出K2的觀測(cè)值，其中 K2＝； (3)把K2的值與臨界值比較，作出合理的判斷． 6．獨(dú)立性檢驗(yàn)的注意事項(xiàng) (1)在列聯(lián)表中注意事件的對(duì)應(yīng)及相關(guān)值的確定，不可混淆． (2)在實(shí)際問題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述，得到的結(jié)論有一定的概率出錯(cuò)． (3)對(duì)判斷結(jié)果進(jìn)行描述時(shí)，注意對(duì)象的選取要準(zhǔn)確無誤，應(yīng)是對(duì)假設(shè)結(jié)論進(jìn)行的含概率的判斷，而非其他． 三、題之變：課本典例改編 1.原題（選修1-2第6頁(yè)例2）一只紅鈴

6、蟲的產(chǎn)卵數(shù) 和溫度 有關(guān)，現(xiàn)收集了 7 組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中，試建立 與 之間的回歸方程。 溫度 21 23 25 27 29 32 35 產(chǎn)卵數(shù)個(gè) 7 11 21 24 66 115 325 改編 為了對(duì)2006年佛山市中考成績(jī)進(jìn)行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位，他們的數(shù)學(xué)(已折算為百分制)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如下表， 學(xué)生編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分?jǐn)?shù)y 72 77 80 84 88 90 93 95

7、 化學(xué)分?jǐn)?shù)z 67 72 76 80 84 87 90 92 (1) 若規(guī)定85分(包括85分)以上為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率； (2) 用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度； (3) 求y與x、z與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的效果. 參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，. 【解析】(1) 由表中可以看出，所選出的8位同學(xué)中，數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的人數(shù)是3人，其概率是. (2) 變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)分別是 、. 可以看出，物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的成績(jī)都是高

8、度正相關(guān). (3) 設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是、. 根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出， . 所以y與x和z與x的回歸方程分別是、. 又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是、.　 故回歸模型比回歸模型的擬合的效果好. 2.原題（選修1-2第19頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第2題）改編 甲乙兩個(gè)學(xué)校高三年級(jí)分別有1100人，1000人，為了了解兩個(gè)學(xué)校全體高三年級(jí)學(xué)生在該地區(qū)二?？荚嚨臄?shù)學(xué)成績(jī)情況，采用分層抽樣方法從兩個(gè)學(xué)校一共抽取了 105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表，規(guī)定考試成績(jī)?cè)趦?nèi)為優(yōu)秀，甲校： 乙校： (I )計(jì)算的值; (II)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫右面列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有97.5% 的把握認(rèn)為兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異. 附： 【解析】 (I ) (II)，故有 97.5% 的把握認(rèn)為兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異.