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1、
課時作業(yè)41 直接證明與間接證明
一、選擇題
1．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”過程應用了( )
A．分析法 B．綜合法
C．綜合法、分析法綜合使用 D．間接證明法
解析：因為證明過程是“從左往右”，即由條件?結論．
答案：B
2．若a、b∈R，則下面四個式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D.<
解析：在B中，∵a2＋
2、b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0.∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
答案：B
3．①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設|x1|≥1.以下正確的是( )
A．①與②的假設都錯誤
B．①與②的假設都正確
C．①的假設正確，②的假設錯誤
D．①的假設錯誤；②的假設正確
解析：反證法的實質是否定結論，對于①，其結論的反面是p＋q>2，所
3、以①不正確；對于②，其假設正確．
答案：D
4．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：由題意知0
?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.
答案：C
5．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P，Q的大小關系為( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P<
4、Q D．由a取值決定
解析：假設P1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是( )
A．②③ B．①②③
C．③ D．③④⑤
解析：若a＝，b＝，則a＋b>1.
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>
5、2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；
對于③，即a＋b>2.
則a，b中至少有一個大于1，
反證法：假設a≤1且b≤1，
則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，
因此假設不成立，a，b中至少有一個大于1.
答案：C
二、填空題
7．設a＝＋2，b＝2＋，則a，b的大小關系為________．
解析：a＝＋2，b＝2＋兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，顯然，<.∴a1，則a，b，c，d中至少有一個是非負數”時，第一步要假設結論的否定
6、成立，那么結論的否定是：________.
解析：“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，故結論的否定是“a，b，c，d中沒有一個是非負數，即a，b，c，d全是負數”．
答案：a，b，c，d全是負數
9．若二次函數f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1，1]內至少存在一點c，使f(c)>0，則實數p的取值范圍是________．
解析：令
解得p≤－3或p≥，
故滿足條件的p的范圍為.
答案：
三、解答題
10．若a>b>c>d>0且a＋d＝b＋c，求證：＋<＋.
證明：要證＋<＋，只需證(＋)2<(＋)2，即a＋d＋2
7、只需證<，即ad
8、
∵BC∥AD，BC?平面SAD.
∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，
∴平面FBC∥平面SAD.
這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾，∴假設不成立．
∴不存在這樣的點F，使得BF∥平面SAD.
1．(20xx浙江卷)設函數f(x)＝x3＋，x∈[0,1]，證明：
(Ⅰ)f(x)≥1－x＋x2；
(Ⅱ)
9、(x)≥1－x＋x2＝(x－)2＋≥，又因為f()＝>，所以f(x)>.
綜上，0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且00.
(1)證明：是函數f(x)的一個零點；
(2)試用反證法證明>c.
證明：(1)∵f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點，∴f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2，
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又∵x1x2＝，∴x2＝(≠c)．
∴是f(x)＝0的一個根．即是函數f(x)的一個零點．
(2)假設0，由00.知f>0與f＝0矛盾，∴≥c.又∵≠c，∴>c.
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