精編高中數(shù)學北師大版選修22教案：第2章 變化的快慢與變化率 第一課時參考教案

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1、精編北師大版數(shù)學資料 1變化的快慢與變化率 第一課時 變化的快慢與變化率——平均變化率 一、教學目標：1、理解函數(shù)平均變化率的概念； 2、會求給定函數(shù)在某個區(qū)間上的平均變化率，并能根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢。 二、教學重點：從變化率的角度重新認識平均速度的概念，知道函數(shù)平均變化率就是函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢的數(shù)量描述。 教學難點：對平均速度的數(shù)學意義的認識 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 (一)、客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數(shù)學中引入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學來加以描述了。由于

2、函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深，也由于科學技術發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數(shù)學發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學中的最大的一個創(chuàng)造。 從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題： 第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。

3、 第二類問題是求曲線的切線的問題。 第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。 十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。 十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩

4、個貌似毫不相關的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微

5、分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創(chuàng)設的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。微積分學的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學的發(fā)

6、展，過去很多初等數(shù)學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。 研究函數(shù)，從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學分析。 本來從廣義上說，數(shù)學分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學科，但是現(xiàn)在一般已習慣于把數(shù)學分析和微積分等同起來，數(shù)學分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學和積分學。 微分學的主要內(nèi)容包括：極限理論、導數(shù)、微分等。 積分學的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。 微積分是與應用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。此后，微積分

7、學極大的推動了數(shù)學的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經(jīng)濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發(fā)展。并在這些學科中有越來越廣泛的應用，特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應用的不斷發(fā)展。 (二)、探析新課 問題1：物體從某一時刻開始運動，設s表示此物體經(jīng)過時間t走過的路程，顯然s是時間t的函數(shù)，表示為s=s(t) 在運動的過程中測得了一些數(shù)據(jù)，如下表： t/s 0 2 5 10 13 15 … s/m 0 6 9 20 32 44 … 物體在0～2s和10～13s這兩段時間內(nèi)，那一段時間運動得快？ 分析：我們通常用平

8、均速度來比較運動的快慢。 在0～2s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為； 在10～13s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為。 顯然，物體在后一段時間比前一段時間運動得快。 問題2：某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如下圖所示： 比較時間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？ 分析：根據(jù)圖像可以看出： 當時間x從0min到20min時，體溫y從39℃變?yōu)?8.5℃，下降了0.5℃； 當時間x從20min到30min時，體溫y從38.5℃變?yōu)?8℃，下降了0.5℃。 兩段時間下降相同的溫度，而后一段時間比前一段時間短，

9、所以后一段時間的體溫比前一段時間下降得快。 我們也可以比較在這兩段時間中，單位時間內(nèi)體溫的平均變化量，于是當時間x從0min到20min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為 （℃/min） 當時間x從20min到30min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為 （℃/min） 這里出現(xiàn)了負號，它表示體溫下降了，顯然，絕對值越大，下降的越快，這里體溫從20min到30min這段時間下降的比0min到20min這段時間要快。 （三）、小結：1、對一般的函數(shù)y=f（x）來說，當自變量x從變?yōu)闀r，函數(shù)值從f（）變?yōu)?。平均變化率就是函?shù)增量與自變量增量之比，函數(shù)在內(nèi)的平均變化率為，如我們常用到年產(chǎn)量的平均變化率。2、函數(shù)的平均變化率與函數(shù)單調(diào)性之間的關系。 （四）、練習：P27頁練習1，2，3，4題；習題2-1中 1 （五）作業(yè)布置：1、已知曲線上兩點的橫坐標是和，求過兩點的直線斜率。 2、一物體按規(guī)律作變速直線運動，求該物體從2秒末到6秒末這段時間內(nèi)的平 均速度。 五、教后反思：