萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修四、五：專題三 三角恒等變換 Word版含解析

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1、 專題三 三角恒等變換 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí) 1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 sin(αβ)＝sin_αcos__βcos_αsin__β； cos(α?β)＝cos_αcos__βsin_αsin__β； tan(αβ)＝．(αβ,α,β均不為kπ＋,k∈Z) 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos__α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝.(α,2α均不為kπ＋,k∈Z) 3．三角公式關(guān)系 二、題之本：思想方法技巧 1．深層次領(lǐng)悟公式的功能、規(guī)律與內(nèi)涵 對(duì)三

2、角公式,知其結(jié)構(gòu)特征僅是第一層面要求,重要的是要知曉公式的功能及揭示的規(guī)律與內(nèi)涵． 如1sin2α＝(sinαcosα)2有并項(xiàng)的功能,cos2α＝cos2α－sin2α有升冪的功能,sin2α＝2sinαcosα有將角由大化小的功能,兩角和與差的正切公式,揭示的是同名不同角的正切函數(shù)的關(guān)系等． 2．余弦的差角公式是本節(jié)公式之源,掌握其證明過程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的． 3．三角恒等證明分有條件的恒等證明和無條件的恒等證明．對(duì)于有條件的恒等證明,需要注意的問題有二：一是仔細(xì)觀察等式兩邊結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系與差異,探尋消除差異(函數(shù)的差異、角的差異)的方法；二是充分利用條件,特別是將條

3、件變形整理后使用． 4．熟知一些恒等變換的技巧 ①公式的正用、逆用及變形用． ②熟悉角的拆拼技巧,理解倍角與半角是相對(duì)的,如2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β,是的半角,是的倍角等． ③在三角函數(shù)運(yùn)算、求值、證明中,有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值,尤其要重視常數(shù)“1”的各種變形,例如：1＝tan,1＝sin2α＋cos2α等． ④在進(jìn)行三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、恒等式證明時(shí),常常采用切化弦、異名化同名、異角化同角、高次降低次的方法,達(dá)到由不統(tǒng)一轉(zhuǎn)化到統(tǒng)一,消除差異的目的． 總之,三角恒等變換說到底就是“四變”,即變角、變名、變式、變冪．通過對(duì)角的分拆,達(dá)到使

4、角相同；通過轉(zhuǎn)換函數(shù),達(dá)到同名(最好使式中只含一個(gè)函數(shù)名)；通過對(duì)式子變形,達(dá)到化簡(jiǎn)(盡可能整式化、低次化、有理化)；通過冪的升降,達(dá)到冪的統(tǒng)一． 5.輔助角公式（化一公式）：(其中角所在的象限由a, b 的符號(hào)確 定,角的值由確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.把形如 的函數(shù)化為的形式,再研究其性質(zhì),是近幾 年高考?？碱}型. 6.已知值求角中,角的范圍常常被忽略或不能發(fā)現(xiàn)隱含的角的大小關(guān)系而出現(xiàn)增根不能排除．要避免上述情況的發(fā)生,應(yīng)合理選擇三角函數(shù)形式進(jìn)行求解,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,估算出角的較精確的取值范圍,并不斷縮小角的范圍,在選擇三角函數(shù)公式時(shí),一般已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù),已知

5、正余弦函數(shù)值時(shí),若角在時(shí),一般選余弦函數(shù),若是則一般選正弦函數(shù)． 如：若Ａ、B均為銳角,且,則A+2B的值為　　　　　　?。? 7.兩角和正切公式的變形：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),它體現(xiàn)了兩個(gè)角正切的和與積的關(guān)系,在解題中有廣泛的應(yīng)用,如求值： 8.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則 (1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式； (2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”． (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,如“遇到

6、分式要通分”等． 9.三角函數(shù)求值有三類 (1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角,從表面上來看是很難的,但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時(shí),要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解． (2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系． (3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍,確定角． 三、題之變：課本典例改編 1.原題（必修4第一百二十七頁例2）改編 已知求. 2.原題（必修4第137頁A組第十題）已知：,是方程

7、的兩根,試求的值. 改編 已知：,是方程的兩根,求的值. 【解析】由題意有,, ∴, ∴ . 3.原題（必修4第一百三十九頁例1）改編 化簡(jiǎn)：的結(jié)果是 . 【解析】2sin2 4.原題（必修4第147頁復(fù)習(xí)參考題B組第七題）改編 如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,P、Q分別為AB、DA上的點(diǎn),當(dāng)∠PCQ=時(shí),求△APQ的周長(zhǎng). 5.原題（必修4第一百四十七頁復(fù)習(xí)參考題B組第六題）改編 若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3,求常數(shù)的值及此函數(shù)當(dāng)(其中可取任意實(shí)數(shù))時(shí)的最大值. 【解析】, 時(shí),,,,由于最小正周期為,所以當(dāng)取任意實(shí)數(shù) 時(shí),區(qū)間上的最大值是6.