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1、
高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類自測(cè):平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用
一、選擇題
1.若向量a,b,c滿足a∥b且a⊥c,
則c(a+2b)=( )
A.4 B.3
C.2 D.0
2.若向量a=(1,2),b=(1,-1),則2a+b與a-b的夾角等于( )
A.- B.
C. D.
3.已知a=(1,2),b=(x,4)且ab=10,則|a-b|=( )
A.-10 B.10
C.- D.
4.若a,b,c均為單位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為(
2、)
A.-1 B.1
C. D.2
5.已知a與b均為單位向量,其夾角為θ,有下列四個(gè)命題
p1:|a+b|>1?θ∈[0,) p2:|a+b|>1?θ∈(,π]
p3:|a-b|>1?θ∈[0,) p4:|a-b|>1?θ∈(,π]
其中的真命題是( )
A.p1,p4 B.p1,p3
C.p2,p3 D.p2,p4
6.已知|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=x3+|a|x2+abx在R上有極值,則a與b的夾角范圍為( )
A.(0,) B.(,π]
C.(,π] D.(,]
3、二、填空題
7.已知兩個(gè)單位向量e1,e2的夾角為,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,則b1b2=________.
8.已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量a+b與向量ka-b垂直,則k=________.
9.已知|a|=|b|=2,(a+2b)(a-b)=-2,則a與b的夾角為____.
三、解答題
10.已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐標(biāo);
(2)若|b|=,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角θ.
11.設(shè)a=(1+cos x,1+sin x),b=(
4、1,0),c=(1,2).
(1)求證:(a-b)⊥(a-c);
(2)求|a|的最大值,并求此時(shí)x的值.
12.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c.若==k(k∈R).
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)若k=2,求b的值.
詳解答案
一、選擇題
1.解析:由a∥b及a⊥c,得b⊥c,
則c(a+2b)=ca+2cb=0.答案:D
2.解析:2a+b=(3,3),a-b=(0,3),則cos〈2a+b,a-b〉===,故夾角為.答案:C
3.解析:因?yàn)閍b=10,所以x+8=10,x=2,所以a-b=(-1
5、,-2),故|a-b|=.
答案:D
4.解析:由已知條件,向量a,b,c都是單位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2=1,由ab=0,及 (a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)c≥c2=1,因?yàn)閨a+b-c|2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc,
所以有|a+b-c|2=3-2(ac+bc)≤1,
故|a+b-c|≤1.
答案:B
5.解析:由|a+b|>1可得:a2+2ab+b2>1,∵|a|=1,
|b|=1,∴ab>-.故θ∈[0,).當(dāng)θ∈[0,)時(shí),ab>-,|a+b|2=a2+2ab+b2>1,即|a+b|>1;由|a-b|>1可得:a2-2ab+
6、b2>1,∵|a|=1,|b|=1,
∴ab<.故θ∈(,π],反之也成立.
答案:A
6.解析:f(x)=x3+|a|x2+abx在R上有極值,即f′(x)=x2+|a|x+ab=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,
故Δ=|a|2-4ab>0?cos〈a,b〉<,又〈a,b〉∈[0,π],
所以〈a,b〉∈(,π].
答案:C
二、填空題
7.解析:由題設(shè)知|e1|=|e2|=1,且e1e2=,所以b1b2=(e1-2e2)(3e1+4e2)=3e-2e1e2-8e=3-2-8=-6
答案:-6
8.解析:∵a+b與ka-b垂直,
∴(a+b)(ka-b)=0,
化簡(jiǎn)得(k-1)
7、(ab+1)=0,根據(jù)a、b向量不共線,且均為單位向量得ab+1≠0,得k-1=0,即k=1.
答案:1
9.解析:由|a|=|b|=2,(a+2b)(a-b)=-2,得ab=2,cos〈a,b〉===,所以〈a,b〉=60.
答案:
三、解答題
10.解:(1)設(shè)c=(x,y),由c∥a和|c|=2可得
,∴或,
∴c= (2,4)或c=(-2,-4).
(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)(2a-b)=0,
即2a2+3ab-2b2=0.
∴2|a|2+3ab-2|b|2=0.
∴25+3ab-2=0,∴ab=-.
∴cos θ===-1.
∵θ∈[
8、0,π],∴θ=π.
11.解:(1)證明:a-b=(cos x,1+sin x),
a-c=(cos x,sin x-1),
(a-b)(a-c)=(cos x,1+sin x)(cos x,sin x-1)=cos2x+sin2x-1=0.
∴(a-b)⊥(a-c).
(2)|a|=
=
= ≤ =+1.
當(dāng)sin(x+)=1,即x=+2kπ(k∈Z)時(shí),|a|有最大值+1.
12.解:(1)∵=cbcos A,=bacos C,
∴bccos A=abcos C,
根據(jù)正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C,
即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0,
∴∠A=∠C,即a=c.
則△ABC為等腰三角形.
(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得
=bccos A=bc=.
=k=2,即=2,解得b=2.