《高考數(shù)學(xué)文科總復(fù)習(xí)【第二章】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十三節(jié)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)文科總復(fù)習(xí)【第二章】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十三節(jié)(9頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,對多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次.
2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值,對多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次;會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值,對多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次.
知識梳理
一、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
1.函數(shù)單調(diào)性的充分條件.
設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個區(qū)間內(nèi)y′>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為________;如果在這個區(qū)間內(nèi)y
2、′<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為________.
2.函數(shù)單調(diào)性的必要條件.
設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),那么在這個區(qū)間內(nèi)________;如果函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為________,那么在這個區(qū)間內(nèi)________.
3.求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法.
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域.
(2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)________,令________,解此方程,求出它們在定義域區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根.
(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)[即f(x)的無定義的點(diǎn)]的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點(diǎn)把f(
3、x)的定義域分成若干個小區(qū)間.
(4)確定f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號,根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應(yīng)小區(qū)間的增減性[若f′(x)>0,則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);若f′(x)<0,則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)].
二、函數(shù)的極值
1.函數(shù)極值的定義.
一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點(diǎn),都有f(x)<f(x0),就說f(x0)是____________,記作____________,x0是________.
如果對x0附近的所有的點(diǎn),都有f(x)>f(x0).就說f(x0)是______________,記作_________
4、_____,x0是極小值點(diǎn).極大值與極小值統(tǒng)稱為________.
2.判別f(x0)是極大值、極小值的方法.
若x0滿足f′(x0)=0,且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號,則x0是f(x)的極值點(diǎn),f(x0)是極值,并且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”,那么x0是f(x)的________,f(x0)是________;如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“________”,那么x0是f(x)的極小值點(diǎn),f(x0)是極小值.
3.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟.
(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)________.
(2)求方程________的根.
(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0
5、的點(diǎn)和函數(shù)定義域的邊界點(diǎn),順次將函數(shù)的定義域分成________,并列成表格.檢查f′(x)在________________,如果________,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果________,那么f(x)在這個根處取得極小值;如果左右______,那么f(x)在這個根處______.
三、函數(shù)的最大值與最小值
1.函數(shù)的最大值與最小值.
在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在上________最大值與最小值.
2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟.
設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷,求函數(shù)f(x)在上的最大值與最小值的步驟如下:
(1)求f(x)在
6、(a,b)內(nèi)的________;
(2)將f(x)的各________與________比較,得出函數(shù)f(x)在上的最值,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.
一、1.增函數(shù) 減函數(shù) 2.y′≥0 減函數(shù) y′≤0
3.(2)f′(x) f′(x)=0
二、1.函數(shù)f(x)的一個極大值 y極大值=f(x0) 極大值點(diǎn) 函數(shù)f(x)的一個極小值 y極小值=f(x0) 極值
2.極大值點(diǎn) 極大值 左負(fù)右正
3.(1)f′(x) (2)f′(x)=0 (3)若干小開區(qū)間 方程根左右的值的符號 左正右負(fù) 左負(fù)右正 不改變符號 無極值
三、1.必有 2.(1)極值 (2)極
7、值 f(a),f(b)
基礎(chǔ)自測
1.函數(shù)y=xsin x+cos x在(π,3π)內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間為( )
A. B.
C. D.(π,2π)
解析:∵y=xsin x+cos x,∴y′=xcos x.
當(dāng)x∈(π,3π)時,要使y′=xcos x>0,只要cos x>0,結(jié)合選項(xiàng)知,只有B滿足.
答案:B
2. (2013四川南充二模)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf′(x)的圖象可能是( )
解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=-2處取得極小值,所以,當(dāng)x<-
8、2時,f′(x)<0,所以xf′(x)>0;當(dāng)-2<x<0,f′(x)>0,所以xf′(x)<0.故選C.
答案:C
3.(2012哈爾濱三中月考)函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-5在區(qū)間[-1,2]上不單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[來源:]
解析:∵f(x)=x3-x2+ax-5,∴f′(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1.如果函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-5在區(qū)間[-1,2]上單調(diào),那么a-1≥0或解得a≥1或a≤-3.于是滿足條件的a∈(-3,1).
答案:(-3,1)
4.函數(shù)f(x)=x3-3x2+1在x=______處取得極小值.
9、[來源:]
答案:2
[來源:]
1.(2012陜西卷)設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則( )
A.x=1為f(x)的極大值點(diǎn)
B.x=1為f(x)的極小值點(diǎn)
C.x=-1為f(x)的極大值點(diǎn)
D.x=-1為f(x)的極小值點(diǎn)
解析:f′(x)=(x+1)ex,令f′(x)=0,得x=-1,x<-1時,f′(x)<0,f(x)=xex為減函數(shù);x>-1時,f′(x)>0,f(x)=xex為增函數(shù),所以x=-1為f(x)的極小值點(diǎn).故選D.
答案:D
2.(2013北京卷)已知函數(shù)f(x)=x2+xsin x+cos x.
(1)若曲線y=f(x)在
10、點(diǎn)(a,f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點(diǎn),求b的取值范圍.
解析:(1)由f(x)=x2+xsin x+cos x,
得f′(x)=x(2+cos x),
因?yàn)閥=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處與直線y=b相切.
所以f′(a)=a(2+cos a)=0且b=f(a),
則a=0,b=f(0)=1.
(2)令f′(x)=0,得x=0.
所以當(dāng)x>0時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)遞增.
當(dāng)x<0時,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上遞減.
所以f(x)的最小值為f(0)=1.
由于函數(shù)f(
11、x)在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上均單調(diào),
所以當(dāng)b>1時曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個不同交點(diǎn).
所以b的取值范圍是(1,+∞).
1.已知函數(shù)f(x)=
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=k恰有三個不同的根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解析:(1)當(dāng)x>0時,-x<0,
∵f(x)=xln x,f(-x)=-xln x,
∴f(-x)=-f(x),
當(dāng)x<0時,-x>0,
∵f(x)=xln(-x),f(-x)=-xln(-x),
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù).
(
12、2)當(dāng)x>0時,f(x)=xln x,
f′(x)=ln x+x=ln x+1,
令f′(x)<0,得 00,得 x>,
∴當(dāng)x∈時,f(x)是增函數(shù),
又 f(x)是奇函數(shù),∴當(dāng)x∈時,f(x)是減函數(shù),
x∈時,f(x)是增函數(shù),
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,,單調(diào)遞增區(qū)間為,.
(3)考查f(x)的圖象變化,由(2)知,
當(dāng)x∈時,f(x)由0遞減到f=-,
當(dāng)x∈時,f(x)由f遞增到+∞,
當(dāng)x∈時,f(x)由-∞遞增到f=,
當(dāng)x∈時,f(x)由f遞減到0,
∵方程f(x)=k恰有三個不同的根,
13、∴f(x)的圖象與y=k的圖象應(yīng)有3個不同的交點(diǎn),
∴-
14、x2-x+1,
關(guān)于x的方程f(x)=kex恰有兩個不同的實(shí)根,
即x2-x+1=kex有兩個不同的實(shí)根,也就是k=e-x(x2-x+1)有兩個不同的實(shí)根.
令g(x)=e-x(x2-x+1),
2)e-x=
則g′(x)=(2x-1)e-x-(x2-x+1)e-x=-(x2-3x+
-(x-1)(x-2)e-x
由g′(x)=0,得x1=1,x2=2.
所以當(dāng)x∈(-∞,1)時,g′(x)<0,g(x)在(-∞,1)上為減函數(shù);
當(dāng)x∈(1,2)時,g′(x)>0,g(x)在(1,2)上為增函數(shù);
當(dāng)x∈(2,+∞)時,g′(x)<0,g(x)在(2,+∞)上為減函數(shù);
所以,當(dāng)x=1時,g(x)取得極小值g(1)=,當(dāng)x=2時函數(shù)取得極大值g(2)=.
函數(shù)y=k與y=g(x)的圖象的大致形狀如上,
由圖象可知,當(dāng)k=和k=時,關(guān)于x的方程f(x)=kex恰有兩個不同的實(shí)根.