《高考數(shù)學(xué)理科總復(fù)習(xí)【第二章】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十三節(jié)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)理科總復(fù)習(xí)【第二章】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十三節(jié)(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
第十三節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(一)
1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次.
2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值,對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次;會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值,對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次.
知識(shí)梳理
一、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
1.函數(shù)單調(diào)性的充分條件.
設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y′>0,那么
2、函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為_(kāi)_______;如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y′<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為_(kāi)_______.
2.函數(shù)單調(diào)性的必要條件.
設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)______;如果函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為_(kāi)_____,那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)______.
3.求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法.
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域.
(2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)________,令________,解此方程,求出它們?cè)诙x域區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根.
(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序
3、排列起來(lái),然后用這些點(diǎn)把f(x)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間.
(4)確定f′(x)在各個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào),根據(jù)f′(x)的符號(hào)判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間的增減性[若f′(x)>0,則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);若f′(x)<0,則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)].
二、函數(shù)的極值
1.函數(shù)極值的定義.
一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f(x)<f(x0),就說(shuō)f(x0)是_______,記作_________,x0是________.
如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f(x)>f(x0).就說(shuō)f(x0)是________,記作_________
4、,x0是極小值點(diǎn).極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為_(kāi)_______.
2.判別f(x0)是極大值、極小值的方法.
若x0滿(mǎn)足f′(x0)=0,且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào),則x0是f(x)的極值點(diǎn),f(x0)是極值,并且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“左正右負(fù)”,那么x0是f(x)的________,f(x0)是________;如果f′(x)在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“________”,那么x0是f(x)的極小值點(diǎn),f(x0)是極小值.
3.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟.
(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)________.
(2)求方程________的根.
(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)
5、定義域的邊界點(diǎn),順次將函數(shù)的定義域分成________,并列成表格.檢查f′(x)在______,如果________,那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果________,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值;如果左右________,那么f(x)在這個(gè)根處________.
三、函數(shù)的最大值與最小值
1.函數(shù)的最大值與最小值.
在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在上________最大值與最小值.
2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟.
設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷,求函數(shù)f(x)在上的最大值與最小值的步驟如下:
(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的____
6、____.
(2)將f(x)的各________與________比較,得出函數(shù)f(x)在上的最值,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.
基礎(chǔ)自測(cè)
1.函數(shù)y=xsin x+cos x在(π,3π)內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間為( )[來(lái)源:]
A. B.
C. D.(π,2π)
解析:∵y=xsin x+cos x,∴y′=xcos x.[來(lái)源:]
當(dāng)x∈(π,3π)時(shí),要使y′=xcos x>0,只要cos x>0,結(jié)合選項(xiàng)知,只有B滿(mǎn)足.
答案:B
2.函數(shù)f(x)=ax3+x+1有極值的充要條
7、件是( )
A.a(chǎn)≥0 B.a(chǎn)>0
C.a(chǎn)≤0 D.a(chǎn)<0
解析:f′(x)=3ax2+1,若函數(shù)有極值,則方程3ax2+1=0必有實(shí)數(shù)根,顯然a≠0,所以x2=->0,所以a<0.故選D.
答案:D
3. 函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-5在區(qū)間[-1,2]上不單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析:∵f(x)=x3-x2+ax-5,
∴f′(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1.
如果函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-5在區(qū)間[-1,2]上單調(diào),那么a-1≥0或解得a≥1或a≤-3.于是滿(mǎn)足條件的
8、a∈(-3,1).
答案:(-3,1)
4.(2013武漢質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=x2-x,則當(dāng)x=________時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值.
解析:當(dāng)x<0或x>1時(shí),f′(x)>0;當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)<0,所以當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值.[來(lái)源:]
答案:0
[來(lái)源:]
1.(2012陜西卷)設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則( )
A.x=1為f(x)的極大值點(diǎn)
B.x=1為f(x)的極小值點(diǎn)
C.x=-1為f(x)的極大值點(diǎn)[來(lái)源:]
D.x=-1為f(x)的極小值點(diǎn)
解析:f′(x)=(x+1)ex,
9、令f′(x)=0,得x=-1,當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)<0,f(x)=xex為減函數(shù);當(dāng)x>-1時(shí),f′(x)>0,f(x)=xex為增函數(shù),所以x=-1為f(x)的極小值點(diǎn).故選D.
答案:D
2.(2013福建卷)已知函數(shù)f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
解析:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=1-.[來(lái)源:]
(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-(x>0),
因而f(1)=1,f′(1)=-1,
所以曲線y=f(x
10、)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程為y-1=-(x-1),
即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1-=(x>0),知:
①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無(wú)極值;
②當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0,解得x=a.
又當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0,
從而函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-aln a,無(wú)極大值.
綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)極值;
當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-aln a,無(wú)極大值.
答案:見(jiàn)解析
11、
1.設(shè)函數(shù)f(x)=2ln-2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程f+x2-3x-a=0在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.[來(lái)源:]
解析:(1)函數(shù)f的定義域?yàn)椋?
∵f′(x)=2=-(x>1),
則使f′(x)>0的x的取值范圍為,[來(lái)源:]
故函數(shù)f的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)(法一)∵f(x)=2ln-2,
∴f(x)+x2-3x-a=0?x+a+1-2ln=0.
令g=x+a+1-2ln.
∵g′(x)=1-=,且x>1,
由g′(x)>0,得x>3;由g′(x)<0,得1
12、調(diào)遞減,在區(qū)間[3,4]上單調(diào)遞增.[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)]
故f(x)+x2-3x-a=0在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根?即解得2ln 3-5≤a<2ln 2-4.
綜上所述,a的取值范圍是[2ln 3-5,2ln 2-4).
(法二)∵f(x)=2ln-2,
∴f(x)+x2-3x-a=0?x+a+1-2ln=0,
即a=2ln-x-1,
令h=2ln-x-1,
∵h(yuǎn)′(x)=-1=,且x>1,[來(lái)源:]
由h′(x)>0,得13.
∴h(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[3,4]上單調(diào)遞減.
∵h(yuǎn)=-3,h=2ln 2-4,h=2ln 3-
13、5,
又h
14、點(diǎn)為(3,7).
則解得a=1,b=-1.
所以f(x)=x2-x+1;
(2)由(1)知f(x)=x2-x+1,
關(guān)于x的方程f(x)=kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,
即x2-x+1=kex有兩個(gè)不同的實(shí)根,也就是k=e-x(x2-x+1)有兩個(gè)不同的實(shí)根.
令g(x)=e-x(x2-x+1),
則g′(x)=(2x-1)e-x-(x2-x+1)e-x=-(x2-3x+-(x-1)(x-2)e-x.
由g′(x)=0,得x1=1,x2=2.
所以當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)在(-∞,1)上為減函數(shù);
當(dāng)x∈(1,2)時(shí),g′(x)>0,g(x)在(1,2)上為增函數(shù);
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),g′(x)<0,g(x)在(2,+∞)上為減函數(shù);
所以,當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得極小值g(1)=,當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極大值g(2)=.
函數(shù)y=k與y=g(x)的圖象的大致形狀如上,
由圖象可知,當(dāng)k=和k=時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根.
答案:見(jiàn)解析