高考數(shù)學浙江理科一輪【第三章】導數(shù)及其應用 第三章 3.4
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1、 精品資料 §3.4 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1. 用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖 正弦函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π]的圖象中,五個關鍵點是:(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0). 余弦函數(shù)y=cos x,x∈[0,2π]的圖象中,五個關鍵點是:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1). 2. 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 定義域 R R {x|x∈R且x≠+kπ,
2、k∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 單調(diào)性 [-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上遞增; [+2kπ,+2kπ](k∈Z)上遞減 [-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上遞增; [2kπ,π+2kπ](k∈Z)上遞減 (-+kπ,+kπ)(k∈Z)上遞增 最值 x=+2kπ(k∈Z)時,ymax=1; x=-+2kπ(k∈Z)時,ymin=-1 x=2kπ(k∈Z)時,ymax=1; x=π+2kπ(k∈Z)時,ymin=-1 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱中心 (kπ,0)(k∈Z) (+kπ,0) (k∈Z) (,0)(k∈Z)
3、 對稱軸方程 x=+kπ(k∈Z) x=kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 1. 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)常數(shù)函數(shù)f(x)=a是周期函數(shù),它沒有最小正周期. ( √ ) (2)y=sin x在x∈[0,]上是增函數(shù). ( √ ) (3)y=cos x在第一、二象限上是減函數(shù). ( × ) (4)y=tan x在整個定義域上是增函數(shù). ( × ) (5)y=ksin x+1(x∈R),則ymax=k+1. ( ×
4、) (6)若sin x>,則x>. ( × ) 2. (2012·福建)函數(shù)f(x)=sin的圖象的一條對稱軸是 ( ) A.x= B.x= C.x=- D.x=- 答案 C 解析 方法一 ∵正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點, 故令x-=kπ+,k∈Z,∴x=kπ+,k∈Z. 取k=-1,則x=-. 方法二 用驗證法. x=時,y=sin=0,不合題意,排除A; x=時,y=sin=,不合題意,排除B; x=-時,y=sin=-1,符合題意,C項正確; x=-時,y=sin=-
5、,不合題意,故D項也不正確. 3. 若函數(shù)f(x)=sin ωx (ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則ω等于 ( ) A. B. C.2 D.3 答案 B 解析 ∵f(x)=sin ωx(ω>0)過原點, ∴當0≤ωx≤,即0≤x≤時,y=sin ωx是增函數(shù); 當≤ωx≤,即≤x≤時,y=sin ωx是減函數(shù). 由f(x)=sin ωx (ω>0)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減知,=,∴ω=. 4. (2013·湖北)將函數(shù)y=cos x+sin x(x∈R) 的圖象向左平移m(
6、m>0)個單位長度后,所得到的圖象關于y軸對稱,則m的最小值是 ( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 y=cos x+sin x=2sin(x+)向左平移m個單位長度后得到y(tǒng)=2sin(x++m),它關于y軸對稱可得 sin(+m)=±1, ∴+m=kπ+,k∈Z, ∴m=kπ+,k∈Z, ∵m>0,∴m的最小值為. 5. 函數(shù)y=lg sin 2x+的定義域為________________. 答案 {x|-3≤x<-或0<x<} 解析 由, 得 ∴-3≤x<-或0<x&l
7、t;. ∴函數(shù)y=lg sin 2x+的定義域為 {x|-3≤x<-或0<x<}. 題型一 求三角函數(shù)的定義域和最值 例1 (1)(2012·山東)函數(shù)y=2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為 ( ) A.2- B.0 C.-1 D.-1- (2)函數(shù)y=的定義域為____________________________. 思維啟迪 求函數(shù)的定義域可利用三角函數(shù)的圖象或數(shù)軸;求函數(shù)最值或值域時要利用圖象、三角變換、二次函數(shù)等知識. 答案 (1)A (2){x|x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z} 解析 (1)利用三角函
8、數(shù)的性質(zhì)先求出函數(shù)的最值. ∵0≤x≤9,∴-≤x-≤, ∴sin∈. ∴y∈,∴ymax+ymin=2-. (2)要使函數(shù)有意義,必須有, 即 故函數(shù)的定義域為{x|x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z}. 思維升華 (1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式,常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解. (2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目: ①形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域); ②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),可先設sin x=t,化為關于t的二次函數(shù)求值域(最
9、值); ③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函數(shù),可先設t=sin x±cos x,化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值). (1)函數(shù)y=lg(sin x)+的定義域為________. (2)函數(shù)y=sin2x+sin x-1的值域為 ( ) A.[-1,1] B.[-,-1] C.[-,1] D.[-1,] 答案 (1){x|2kπ<x≤+2kπ,k∈Z} (2)C 解析 (1)要使函數(shù)有意義必須有 即解得(k∈Z), ∴2kπ<x≤+2kπ,k∈Z, ∴函數(shù)的
10、定義域為{x|2kπ<x≤+2kπ,k∈Z}. (2)y=sin2x+sin x-1,令t=sin x,則有y=t2+t-1,t∈[-1,1], 畫出函數(shù)圖象如圖所示,從圖象可以看出, 當t=-及t=1時,函數(shù)取最值,代入y=t2+t-1, 可得y∈[-,1]. 題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性 例2 寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期: (1)y=sin;(2)y=|tan x|. 思維啟迪 (1)化為y=-sin,再求單調(diào)區(qū)間及周期.(2)由y=tan x的圖象→y=|tan x|的圖象→求單調(diào)性及周期. 解 (1)y=-sin, 它的增區(qū)間是y=sin的減區(qū)間, 它
11、的減區(qū)間是y=sin的增區(qū)間. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z. 故所給函數(shù)的減區(qū)間為,k∈Z; 增區(qū)間為,k∈Z. 最小正周期T==π. (2)觀察圖象可知,y=|tan x|的增區(qū)間是,k∈Z,減區(qū)間是,k∈Z. 最小正周期T=π. 思維升華 (1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的單調(diào)區(qū)間時,要視“ωx+φ”為一個整體,通過解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助誘導公式將ω化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯.
12、(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應遵循簡單化原則,將解析式先化簡,并注意復合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”. (3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時,通常要畫出圖象,結(jié)合圖象判定. 求函數(shù)y=sin+cos的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值. 解 ∵+=, ∴cos=cos =cos=sin. ∴y=2sin,周期T==. 當-+2kπ≤4x+≤+2kπ (k∈Z)時,函數(shù)單調(diào)遞增, ∴函數(shù)的遞增區(qū)間為 (k∈Z). 當+2kπ≤4x+≤+2kπ (k∈Z)時,函數(shù)單調(diào)遞減, ∴函數(shù)的遞減區(qū)間為(k∈Z). 當x=+ (k∈Z)時,ymax=2; 當x=-+ (k∈Z)時,ymi
13、n=-2. 題型三 三角函數(shù)的奇偶性和對稱性 例3 (1)已知f(x)=sin x+cos x(x∈R),函數(shù)y=f(x+φ) 的圖象關于直線x=0對稱,則φ的值為________. (2)如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關于點中心對稱,那么|φ|的最小值為( ) A. B. C. D. 答案 (1) (2)A 解析 (1)f(x)=2sin, y=f(x+φ)=2sin圖象關于x=0對稱, 即f(x+φ)為偶函數(shù). ∴+φ=+kπ,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z, 又∵|φ|≤,∴φ=. (2)由題意得3cos=3cos =3cos=0,∴+φ=
14、kπ+,k∈Z, ∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值為. 思維升華 若f(x)=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù),則當x=0時,f(x)取得最大值或最小值. 若f(x)=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù),則當x=0時,f(x)=0. 如果求f(x)的對稱軸,只需令ωx+φ=+kπ (k∈Z),求x. 如果求f(x)的對稱中心的橫坐標,只需令ωx+φ=kπ (k∈Z)即可. (1)若函數(shù)f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期為1,則它的圖象的一個對稱中心為 ( ) A.(-,0) B.(0,0) C.(-,
15、0) D.(,0) (2)設函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(-,))的最小正周期為π,且其圖象關于直線x=對稱,則在下面四個結(jié)論:①圖象關于點(,0)對稱;②圖象關于點(,0)對稱;③在[0,]上是增函數(shù);④在[-,0]上是增函數(shù)中,所有正確結(jié)論的編號為________. 答案 (1)C (2)②④ 解析 (1)由條件得f(x)=sin(ax+), 又函數(shù)的最小正周期為1,故=1,∴a=2π, 故f(x)=sin(2πx+). 將x=-代入得函數(shù)值為0. (2)∵T=π,∴ω=2. 又2×+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z). ∵
16、φ∈(-,),∴φ=,∴y=sin(2x+), 由圖象及性質(zhì)可知②④正確. 三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性 典例:(10分)(1)已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin(ωx+)在(,π)上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是( ) A.[,] B.[,] C.(0,] D.(0,2] (2)已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)+b對任意實數(shù)x有f(x+)=f(-x)成立,且f()=1,則實數(shù)b的值為 ( ) A.-1 B.3 C.-1或3 D.-3 思維啟迪 (1)(,π)為函數(shù)f(x)某個單調(diào)減區(qū)間的子集;
17、 (2)由f(x+)=f(-x)可得函數(shù)的對稱軸,應用函數(shù)在對稱軸處的性質(zhì)求解即可. 解析 (1)由<x<π得ω+<ωx+<πω+, 由題意知(ω+,πω+)?[,], ∴, ∴≤ω≤,故選A. (2)由f(x+)=f(-x)可知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)+b關于直線x=對稱,又函數(shù)f(x)在對稱軸處取得最值,故±2+b=1,∴b=-1或b=3. 答案 (1)A (2)C 溫馨提醒 (1)對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題,首先,明確已知的單調(diào)區(qū)間應為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集,其次,要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而利用它們
18、之間的關系可求解. (2)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的圖象與其對稱軸的交點是最值點. 方法與技巧 1.討論三角函數(shù)性質(zhì),應先把函數(shù)式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式. 2.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為,y=tan(ωx+φ)的最小正周期為 . 3.對于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t=ωx+φ,將其轉(zhuǎn)化為研究y=sin t的性質(zhì). 失誤與防范 1. 閉區(qū)間上最值或值域問題,首先要在定義域基礎上分析單調(diào)性,含參數(shù)的最值問題,要討論參數(shù)對最值的影響. 2. 要注意求函數(shù)y=
19、Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時ω的符號,盡量化成ω>0時情況. A組 專項基礎訓練 (時間:40分鐘) 一、選擇題 1. 下列函數(shù)中,周期為π且在[0,]上是減函數(shù)的是 ( ) A.y=sin(x+) B.y=cos(x+) C.y=sin 2x D.y=cos 2x 答案 D 解析 對于函數(shù)y=cos 2x,T=π, 當x∈[0,]時,2x∈[0,π],y=cos 2x是減函數(shù). 2. (2012·湖南)函數(shù)f(x)=sin x-cos的值域為 ( ) A.[-2,2] B.[-,] C
20、.[-1,1] D. 答案 B 解析 將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式后求解. ∵f(x)=sin x-cos =sin x-cos xcos +sin xsin =sin x-cos x+sin x= =sin(x∈R), ∴f(x)的值域為[-,]. 3. (2013·浙江)已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ=”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 B
21、解析 φ=?f(x)=Acos=-Asin(ωx)為奇函數(shù), ∴“f(x)是奇函數(shù)”是“φ=”的必要條件. 又f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函數(shù)?f(0)=0?φ=+kπ(k∈Z)D/?φ=. ∴“f(x)是奇函數(shù)”不是“φ=”的充分條件. 4. 若f(x)=2cos(ωx+φ)+m對任意實數(shù)t都有f(t+)=f(-t),且f()=-1,則實數(shù)m的值等于 ( ) A.±1 B.-1或3 C.±3 D.-3或1 答案 D 解析 對任意實數(shù)t,都有f(t+)=f(-t), 則函數(shù)f(x)的圖象關于
22、x==對稱, 所以cos(ω·+φ)=±1, 即f()=±2+m=-1?m=-3或1. 5. (2012·天津)將函數(shù)f(x)=sin ωx(其中ω>0)的圖象向右平移個單位長度,所得圖象經(jīng)過點,則ω的最小值是 ( ) A. B.1 C. D.2 答案 D 解析 根據(jù)題意平移后函數(shù)的解析式為y=sin ω, 將代入得sin =0,則ω=2k,k∈Z,且ω>0, 故ω的最小值為2. 二、填空題 6. 函數(shù)y=cos(-2x)的單調(diào)減區(qū)間為________. 答案 [kπ+,kπ+]
23、(k∈Z) 解析 由y=cos(-2x)=cos(2x-)得 2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z), 故kπ+≤x≤kπ+(k∈Z). 所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+,kπ+](k∈Z). 7. 當-≤x≤,函數(shù)y=sin x+cos x的最大值為________,最小值為________. 答案 2 -1 解析 y=2sin(x+),-≤x+≤, ∴-≤sin(x+)≤1,∴-1≤y≤2, 故ymax=2,ymin=-1. 8. 已知函數(shù)f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),y=f(x)的部分圖象如圖, 則f()=________. 答案
24、 解析 由題中圖象可知,此正切函數(shù)的半周期等于-=,即最小正周期為, 所以ω=2.由題意可知,圖象過定點(,0), 所以0=Atan(2×+φ),即+φ=kπ(k∈Z), 所以φ=kπ-(k∈Z), 又|φ|<,所以φ=. 又圖象過定點(0,1),所以A=1. 綜上可知,f(x)=tan(2x+), 故有f()=tan(2×+)=tan =. 三、解答題 9. 設函數(shù)f(x)=sin (-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=. (1)求φ; (2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間. 解 (1)令2×+φ=kπ
25、+,k∈Z, ∴φ=kπ+,k∈Z, 又-π<φ<0,則φ=-. (2)由(1)得:f(x)=sin, 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 因此y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z. 10.設函數(shù)f(x)=sin(-)-2cos2+1. (1)求f(x)的最小正周期. (2)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,求當x∈[0,]時,y=g(x)的最大值. 解 (1)f(x)=sin cos -cos sin -cos =sin -cos =sin(-), 故f(x)的最小正周期為T==8.
26、(2)方法一 在y=g(x)的圖象上任取一點(x,g(x)), 它關于x=1的對稱點(2-x,g(x)). 由題設條件,知點(2-x,g(x))在y=f(x)的圖象上, 從而g(x)=f(2-x)=sin[(2-x)-] =sin[--] =cos(+). 當0≤x≤時,≤+≤, 因此y=g(x)在區(qū)間[0,]上的最大值為 g(x)max=cos =. 方法二 區(qū)間[0,]關于x=1的對稱區(qū)間為[,2], 且y=g(x)與y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱, 故y=g(x)在[0,]上的最大值為 y=f(x)在[,2]上的最大值. 由(1)知f(x)=sin(-),
27、 當≤x≤2時,-≤-≤. 因此y=g(x)在[0,]上的最大值為 g(x)max=sin =. B組 專項能力提升 (時間:30分鐘) 1. 函數(shù)y=的定義域是 ( ) A.[kπ,kπ+](k∈Z) B.[2kπ,2kπ+](k∈Z) C.[-+kπ,kπ](k∈Z) D.[-+2kπ,2kπ](k∈Z) 答案 A 解析 |sin x+cos x|-1≥0?(sin x+cos x)2≥1 ?sin 2x≥0, ∴2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z, 故原函數(shù)的定義域是[kπ,kπ+](k∈Z). 2. 設函數(shù)f(x)=3sin(
28、x+),若存在這樣的實數(shù)x1,x2,對任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,則|x1-x2|的最小值為________. 答案 2 解析 f(x)=3sin(x+)的周期T=2π×=4, f(x1),f(x2)應分別為函數(shù)f(x)的最小值和最大值, 故|x1-x2|的最小值為=2. 3. 已知函數(shù)f(x)=cos xsin x(x∈R),給出下列四個命題: ①若f(x1)=-f(x2),則x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是2π; ③f(x)在區(qū)間[-,]上是增函數(shù); ④f(x)的圖象關于直線x=對稱. 其中真命題是________. 答案
29、?、邰? 解析 f(x)=sin 2x,當x1=0,x2=時, f(x1)=-f(x2),但x1≠-x2,故①是假命題; f(x)的最小正周期為π,故②是假命題; 當x∈[-,]時,2x∈[-,],故③是真命題; 因為f()=sin π=-, 故f(x)的圖象關于直線x=π對稱,故④是真命題. 4. 已知函數(shù)f(x)=sin 2x-cos 2x+1. (1)當x∈[,]時,求f(x)的最大值和最小值; (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 解 (1)f(x)=sin 2x-cos 2x+1=2sin(2x-)+1. ∵≤x≤,∴≤2x≤π,∴≤2x-≤, ∴≤sin(2x-)≤1
30、,∴1≤2sin(2x-)≤2, 于是2≤2sin(2x-)+1≤3, ∴f(x)的最大值是3,最小值是2. (2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z 得2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z, ∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-,kπ+],k∈Z, 同理由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z 得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+,kπ+],k∈Z. 5. 已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,當x∈時,-5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a,b的值; (2)設g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間. 解 (
31、1)∵x∈,∴2x+∈. ∴sin∈, ∴-2asin∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. (2)由(1)得,f(x)=-4sin-1, g(x)=f=-4sin-1 =4sin-1, 又由lg g(x)>0,得g(x)>1, ∴4sin-1>1,∴sin>, ∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z, 其中當2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z時, g(x)單調(diào)遞增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z, ∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z. 又∵當2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z時, g(x)單調(diào)遞減,即kπ+<x<kπ+,k∈Z. ∴g(x)的單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z.
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