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1、 精品資料
第3講 平面向量的數(shù)量積
一、選擇題
1．若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
則c(a＋2b)＝ca＋2cb＝0.
答案 D
2．若向量a與b不共線，ab≠0，且c＝a－b，則向量a與c的夾角為( )
A．0 B. C. D.
解析 ∵ac＝a
2、
＝aa－ab＝a2－a2＝0，
又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故選D.
答案 D
3．若向量a，b，c滿足a∥b，且a⊥c，則c(a＋2b)＝ ( )．
A．4 B．3 C．2 D．0
解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，則c(a＋2b)＝ca＋2cb＝0.
答案 D
4．已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若＝－，則λ等于 ( )．
A. B.
C. D.
解析 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P
3、(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以＝(－λ－1，(1－λ))(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－(1－λ)＝－，解得λ＝.]
答案 A
5．若a，b，c均為單位向量，且ab＝0，(a－c)(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為( )．
A.－1 B．1 C. D．2
解析 由已知條件，向量a，b，c都是單位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由ab＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)c≥c2＝1，因?yàn)閨a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2ac－2bc，所以有|a＋b－c|2＝3
4、－2(ac＋bc)≤1，
故|a＋b－c|≤1.
答案 B
6．對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義αβ＝.若平面向量a，b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角θ∈，且ab和ba都在集合中，則ab＝ ( )．
A. B．1 C. D.
解析 由定義αβ＝可得ba＝＝＝，由|a|≥|b|>0，及θ∈得0<<1，從而＝，即|a|＝2|b|cos θ.ab＝＝＝＝2cos2θ，因?yàn)棣取剩?cos θ<1，所以
5、，若它們的夾角是60，則|a－3b|等于________．
解析 ∵|a－3b|2＝a2－6ab＋9b2＝10－6cos60＝7，∴|a－3b|＝.
答案
8. 已知向量, ，若，則的值為 ．
解析
答案
9． 如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若＝，則的值是________．
解析 以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系xOy，則＝(，0)，＝(，1)，
設(shè)F(t,2)，則＝(t,2)．
∵＝t＝，∴t＝1，
所以＝(，1)(1－，2)＝.
答案
10．已知向量a，b，c滿足a＋b
6、＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析 由已知ac－bc＝0，ab＝0，|a|＝1，
又a＋b＋c＝0，∴a(a＋b＋c)＝0，即a2＋ac＝0，
則ac＝bc＝－1，
由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝0，
∴a2＋b2＋c2＝－4ca＝4，
即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案 4
三、解答題
11．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)設(shè)c＝4a＋b，求(bc)a；
(2)若a＋λb與a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b
7、方向上的投影．
解 (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴bc＝26－26＝0，∴(bc) a＝0a＝0.
(2) a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，
由于a＋λb與a垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
(3)設(shè)向量a與b的夾角為θ，
向量a在b方向上的投影為|a|cos θ.
∴|a|cos θ＝＝＝－＝－.
12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；
(
8、2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t)＝0，求t的值．
解 (1)由題設(shè)知＝(3,5)，＝(－1,1)，則
＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，2.
(2)由題設(shè)知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)＝0，
得(3＋2t,5＋t)(－2，－1)＝0，
從而5t＝－11，所以t＝－.
13．設(shè)兩向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解 由已知得e＝4，e＝1，e1e2＝21cos 60＝1.
∴(2te
9、1＋7e2)(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
欲使夾角為鈍角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.
設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，
∴∴2t2＝7.∴t＝－，此時(shí)λ＝－.
即t＝－時(shí)，向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為π.
∴當(dāng)兩向量夾角為鈍角時(shí)，t的取值范圍是
∪.
14． 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知m＝，n＝，且滿足|m＋n|＝.
(1)求角A的大??；
(2)若||＋||＝||，試判斷△ABC的形狀．
解 (1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2mn＝3，
即1＋1＋2＝3，
∴cos A＝.∵0
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