高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十三章 第6講離散型隨機變量的均值與方差

《高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十三章 第6講離散型隨機變量的均值與方差》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十三章 第6講離散型隨機變量的均值與方差（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 精品資料 第6講 離散型隨機變量的均值與方差 一、填空題 1．若隨機變量X的分布列如下表：則EX＝________. X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 解析 由分布列的性質(zhì)， 可得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x＝. ∴EX＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5x ＝40x＝. 答案 2．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若ξ表示取到次品的個數(shù)，則Eξ等于_______

2、_．[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 解析 ξ＝1時，P＝；ξ＝2時，P＝， ∴Eξ＝1×＋2×＝＝. 答案 3．已知隨機變量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是________． 解析　若兩個隨機變量Y，X滿足一次關(guān)系式Y(jié)＝aX＋b(a，b為常數(shù))，當已知E(X)、D(X)時，則有E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．由已知隨機變量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2， D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案　2；2.4

3、 4．已知X的概率分布為 X －1 0 1 P 則在下列式子中：①E(X)＝－；②D(X)＝； ③P(X＝0)＝.正確的序號是________． 解析　E(X)＝(－1)×＋1×＝－，故①正確． D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正確． 由分布列知③正確． 答案?、佗? 5．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則＋的最小值為________． 解析　由已知得，3a＋2b＋0×c＝2， 即3a＋2b＝2

4、，其中0<a<，0<b<1. 又＋＝＝3＋＋＋≥＋ 2 ＝， 當且僅當＝，即a＝2b時取“等號”又3a＋2b＝2， 即當a＝，b＝時，＋的最小值為. 答案　 6．罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù)，則ξ的期望E(ξ)＝________． 答案 7．兩封信隨機投入A、B、C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________． 答案： 8．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為____

5、____． 解析　種子發(fā)芽率為0.9，不發(fā)芽率為0.1，每粒種子發(fā)芽與否相互獨立，故設(shè)沒有發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則Y～B(1 000,0.1)，∴E(Y)＝1 000×0.1＝100，故需補種的期望為E(X)＝2·E(Y)＝200. 答案　200 9．簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為________． 解析　由題意可知，X可以取3,4,5,6， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)＝5.25. 答案　5.25

6、10．某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若P(X＝0)＝，則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________. 解析　由已知條件P(X＝0)＝ 即(1－p)2×＝，解得p＝， 隨機變量X的取值分別為0,1,2,3. P(X＝0)＝， P(X＝1)＝×2＋2××2＝， P(X＝2)＝2×××＋×2＝， P(X＝3)＝×2＝.

7、因此隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 答案　 二、解答題 11．袋中有相同的5個球，其中3個紅球，2個黃球，現(xiàn)從中隨機且不放回地摸球，每次摸1個，當兩種顏色的球都被摸到時，即停止摸球，記隨機變量ξ為此時已摸球的次數(shù)，求： (1)隨機變量ξ的概率分布表； (2)隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望與方差． 解 (1) ξ 2 3 4 P (2)隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝； 隨機變量ξ的方差V(ξ)＝. 12．甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局

8、者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局． (1)求甲獲得這次比賽勝利的概率； (2)設(shè)ξ表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進行的局數(shù)，求ξ的概率分布表及數(shù)學(xué)期望． 解 設(shè)Ai表示事件：第i局甲獲勝，i＝3，4，5，Bj表示事件：第j局乙獲勝，j＝3，4，5. (1)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利．因前2局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局， 從而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A

9、5， 由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故 P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648. (2)ξ的可能取值為2，3. 由于各局比賽結(jié)果相互獨立，所以 P(ξ＝2)＝P(A3·A4＋B3·B4) ＝P(A3·A4)＋P(B3·B4) ＝P(A3)P(A

10、4)＋P(B3)P(B4) ＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52， P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝2)＝1－0.52＝0.48. 故ξ的概率分布表為 ξ 2 3 P 0.52 0.48 E(ξ)＝2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48. 13．某車站每天上午發(fā)出兩班客車，第一班客車在8：00,8：20,8：40這三個時刻隨機發(fā)出，且在8：00發(fā)出的概率為，8：20發(fā)出的概率為，8：40發(fā)出的概率為；第二班客車在9：00,9：20,9：40這三個時刻隨機發(fā)出，且在9：00發(fā)出的概

11、率為，9：20發(fā)出的概率為，9：40發(fā)出的概率為.兩班客車發(fā)出時刻是相互獨立的，一位旅客預(yù)計8：10到站． (1)請預(yù)測旅客乘到第一班客車的概率； (2)求旅客候車時間的概率分布； (3)求旅客候車時間的數(shù)學(xué)期望． 解　(1)第一班若在8：20或8：40發(fā)出，則旅客能乘到，其概率為 P＝＋＝. (2)旅客候車時間的概率分布為 候車時間(分) 10 30 50 70 90 概率 × × × (3)候車時間的數(shù)學(xué)期望為 10×＋30×＋50×＋70×＋90× ＝5＋＋＋＋＝

12、30(分鐘)． 故這名旅客候車時間的數(shù)學(xué)期望是30分鐘． 14．現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、；已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價格下降的概率都是p(0＜p＜1)，設(shè)乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進行兩次獨立的調(diào)整．記乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為X，對乙項目每投資10萬元，X取0、1、2時，一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元．隨機變量X1、X2分別表示對甲、乙兩項目各投資10萬元一年后的利潤． (1)求X1，X2的概率分布和均值E(X1)，E(X2)； (2)當E(X1)

13、＜E(X2)時，求p的取值范圍． 解　(1)X1的概率分布為 X1 1.2 1.18 1.17 P E(X1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18(萬元)． 由題設(shè)得X～B(2，p)，即X的概率分布為 X 0 1 2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 故X2的概率分布為 X2 1.3 1.25 0.2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2 ＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2 ＝－p2－0.1p＋1.3(萬元)． (2)由E(X1)＜E(X2)，得－p2－0.1p＋1.3＞1.18， 整理得(p＋0.4)(p－0.3)＜0，解得－0.4＜p＜0.3. 因為0＜p＜1，所以當E(X1)＜E(X2)時， p的取值范圍是0＜p＜0.3.