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1、 精品資料
第7講 解三角形應(yīng)用舉例
一、選擇題
1.在某次測量中,在A處測得同一平面方向的B點的仰角是50,且到A的距離為2,C點的俯角為70,且到A的距離為3,則B、C間的距離為( )
A. B.
C. D.
解析 因∠BAC=120,AB=2,AC=3.
∴BC2=AB2+AC2-2ABACcos ∠BAC
=4+9-223cos 120=19.
∴BC=.
答案 D
2.如圖所示,為了測量某障礙物兩
2、側(cè)A,B間的距離,給定下列四組數(shù)據(jù),不能確定A,B間距離的是( ).
A.α,a,b B.α,β,a
C.a(chǎn),b,γ D.α,β,b
解析 選項B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可確定AB.選項C中可由余弦定理確定AB.選項D同B類似,故選A.
答案 A
3.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B,C兩點間的距
3、離是 ( ).
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析 如圖所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30,∠ACB=45,根據(jù)正弦定理得=,解得BC=10(海里).
答案 A
4. 如圖,兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 ( ).
A.30 B.45 C.60 D.75
解析 依題意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====
4、,又0<∠CAD<180,所以∠CAD=45,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.
答案 B
5.如圖,設(shè)A、B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45,∠CAB=105后,就可以計算出A、B兩點的距離為( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
解析 由題意,得B=30.由正弦定理,得=,
∴AB===50(m).
答案 A
6. 如圖,在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云
5、的仰角為30,測得湖中之影的俯角為45,則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) ( ).
A.2.7 m B.17.3 m
C.37.3 m D.373 m
解析 在△ACE中,
tan 30==.∴AE=(m).
在△AED中,tan 45==,
∴AE=(m),∴=,
∴CM==10(2+)≈37.3(m).
答案 C
二、填空題
7.如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰角為60,再由點C沿北偏東15方向走10米到位置D,測得∠BDC=45,則塔AB的高是________米.
解析
6、 在△BCD中,CD=10,∠BDC=45,∠BCD=15+90=105,∠DBC=30,=,BC==10.在Rt△ABC中,tan 60=,AB=BCtan 60=10(米).
答案 10
8.如圖,在日本地震災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場,一條搜救狗從A處沿正北方向行進x m到達B處發(fā)現(xiàn)一個生命跡象,然后向右轉(zhuǎn)105,進行10 m到達C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象,這時它向右轉(zhuǎn)135后繼續(xù)前行回到出發(fā)點,那么x=________.
解析 由題知,∠CBA=75,∠BCA=45,∴∠BAC=180-75-45=60,∴=.
∴x= m.
答案 m
9. 在2012年7月12日倫敦奧運會上舉行升旗儀式
7、.如圖,在坡度為15的觀禮臺上,某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面,在該列的第一個座位A和最后一個座位B測得旗桿頂端N的仰角分別為60和30,且座位A,B的距離為10米,則旗桿的高度為________米.
解析 由題可知∠BAN=105,∠BNA=30,由正弦定理得=,解得AN=20(米),在Rt△AMN中,MN=20 sin 60=30(米).故旗桿的高度為30米.
答案 30
10. 如圖,一船在海上自西向東航行,在A處測得某島M的方位角為北偏東α角,前進m海里后在B處測得該島的方位角為北偏東β角,已知該島周圍n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁,現(xiàn)該船繼續(xù)東行,當α與β滿足條件
8、________時,該船沒有觸礁危險.
解析 由題可知,在△ABM中,根據(jù)正弦定理得=,解得BM=,要使該船沒有觸礁危險需滿足BMsin(90-β)=>n,所以當α與β的關(guān)系滿足mcos αcos β>nsin(α-β)時,該船沒有觸礁危險.
答案 mcos αcos β>nsin(α-β)
三、解答題
11.如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45的方向作勻速直線航行,速度為15 n mile/h,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南40 n mile處的B島出發(fā),朝北偏東θ的方向作勻速直線航行,速度為m n mile/h.
(1)若兩船能相遇,求m.
(2)當m=10時,求兩船出
9、發(fā)后多長時間距離最近,最近距離為多少n mile?
解 (1)設(shè)t小時后,兩船在M處相遇,
由tanθ=,得sinθ=,cosθ=,
所以sin∠AMB=sin(45-θ)=.
由正弦定理,=,∴AM=40,
同理得BM=40.
∴t==,m==15.
(2)以A為原點,BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)在t 時刻甲、乙兩船分別在P(x1,y1),Q(x2,y2)處,則|AP|=15t,|BQ|=10t.
由任意角三角函數(shù)的定義,可得
即點P的坐標是(15t,15t),
即點Q的坐標是(10t,20t-40),
∴|PQ|==
=≥2
10、0,
當且僅當t=4時,|PQ|取得最小值20,即兩船出發(fā)4小時時,距離最近,最近距離為20 n mile.
12.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cos θ的值.
解 如題圖所示,在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,故BC=20(海里).
由正弦定理得=,
所以sin∠ACB=sin∠BAC=.
由∠BA
11、C=120,知∠ACB為銳角,則cos∠ACB=.
易知θ=∠ACB+30,故cos θ=cos(∠ACB+30)
=cos∠ACBcos 30-sin∠ACBsin 30
=.
13.如圖,某測量人員為了測量西江北岸不能到達的兩點A,B之間的距離,她在西江南岸找到一個點C,從C點可以觀察到點A,B;找到一個點D,從D點可以觀察到點A,C;找到一個點E,從E點可以觀察到點B,C;并測量得到數(shù)據(jù):∠ACD=90,∠ADC=60,∠ACB=15,∠BCE=105,∠CEB=45,DC=CE=1百米.
(1)求△CDE的面積;
(2)求A,B之間的距離.
解 (1)在△CDE中,∠DC
12、E=360-90-15-105=150,S△CDE=DCCEsin 150=sin 30==(平方百米).
(2)連接AB,依題意知,在Rt△ACD中,
AC=DCtan∠ADC=1tan 60=(百米),
在△BCE中,∠CBE=180-∠BCE-∠CEB=180-105-45=30,
由正弦定理=,得
BC=sin∠CEB=sin 45=(百米).
∵cos 15=cos(60-45)=cos 60cos 45+sin 60sin 45
=+=,
在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB,
可得AB2=()2+()2-2=2-,
∴AB=
13、百米.
14.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時,輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛,經(jīng)過t小時與輪船相遇.
(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?
(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/時,試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇.
解 (1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里,則
S=
== .
故當t=時,Smin=10(海里),
此時v==30(海里/時).
即小艇以30海里/時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最?。?
(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇,則v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30),
故v2=900-+,∵0<v≤30,
∴900-+≤900,即-≤0,解得t≥.
又t=時,v=30海里/時.
故v=30海里/時時,t取得最小值,且最小值等于.
此時,在△OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可設(shè)計航行方案如下:
航行方向為北偏東30,航行速度為30海里/時,小艇能以最短時間與輪船相遇.