高考數(shù)學復習：第三章 ：第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、 精品資料 【考綱下載】 1．會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式． 2．能利用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式． 3．能利用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系． 4．能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶)． 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式[來源:] sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β， cos(α

2、77;β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β， tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α， cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， tan 2α＝. 3．有關公式的逆用、變形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)； (2)cos2α＝，sin2α＝； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin. 4．輔助角公式

3、 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 1．兩角和與差的正弦、余弦公式對任意角α，β都成立嗎？ 提示：都成立． 2．兩角和與差的正切公式對任意角α，β都成立嗎？其適用條件是什么？ 提示：在公式T(α＋β)與T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保證tan α，tan β，tan(α＋β)都有意義；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用誘導公式化簡． 3．函數(shù)f(x)＝asin x＋bcos x的最大值和最小值各是什么？ 提示：最大值為，最小值為－. 1．(2013·江西高考)若s

4、in＝，則cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選C　因為sin＝，所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×2＝. 2．(教材習題改編)sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選C　sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26° ＝－(cos 34°cos 26°－sin 34

5、6;sin 26°) ＝－cos(34°＋26°)＝－cos 60°＝－. 3．已知tan＝，tan＝，則tan(α＋β)的值為(　　) A. B. C. D．1 解析：選D　tan(α＋β)＝tan ＝＝＝1. 4．(2013·四川高考)設sin 2α＝－sin α，α∈，則tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－，又α∈，∴sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝. 答案： 5．

6、tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________. 解析：∵tan (20°＋40°)＝， ∴－tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°， 即tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝. 答案： 考點一 三角函數(shù)的化簡求值 　 [例1]　(1)(2013·重慶高考)4cos 50°－tan 40°＝(　　) A.　　　

7、　　　　　　B. C. D．2－1 (2)化簡：(0＜θ＜π)． [自主解答]　(1)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－ ＝[來源:] ＝ ＝ ＝ ＝＝. (2)原式＝ ＝ ＝. 因為0＜θ＜π，所以0＜＜， 所以cos＞0，故原式＝－cos θ. [答案]　(1)C 【方法規(guī)律】 1．三角函數(shù)式化簡的原則 三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則，即一看角，二看名，三看式子結構與特征． 2．解決給角求值問題的基本思路 對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本

8、思路有： (1)化為特殊角的三角函數(shù)值； (2)化為正、負相消的項，消去求值； (3)化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值． 化簡： (1)sin 50°(1＋tan 10°)； (2). 解：(1)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°) ＝sin 50°· ＝sin 50°· ＝ ＝＝＝1.[來源:] (2)原式＝ ＝＝ ＝＝cos 2x. 考點二 三角函數(shù)的條件求值 　 [例2]　(1

9、)(2013·浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α＝(　　) A.　　　　　　　　　 　B. C．－ D．－ (2)(2013·廣東高考)已知函數(shù)f(x)＝cos，x∈R. ①求f的值； ②若cos θ＝，θ∈，求f. [自主解答]　(1)法一：(直接法)兩邊平方，再同時除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－，代入tan 2α＝，得tan 2α＝－. 法二：(猜想法)由給出的數(shù)據(jù)及選項的唯一性，記sin α＝，cos α＝，這時sin α＋2cos

10、α＝符合要求，此時tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C. (2)①f＝cos＝cos＝ cos ＝1. ②f＝ cos＝cos＝cos 2θ－sin 2θ. 因為cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－. 所以f＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝. [答案]　(1)C 【互動探究】 保持本例(2)②條件不變，求f的值． 解：因為θ∈，cos θ＝， 所以sin θ＝－＝－ ＝－. 所以f＝cos＝cos ＝× ＝cos θ＋sin θ＝－＝－.　　　　　 【方

11、法規(guī)律】 三角函數(shù)求值的兩種類型 (1)給角求值：關鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉化為特殊角的三角函數(shù)． (2)給值求值：關鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異． ①一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應用； ②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的． 1．(2013·新課標全國卷Ⅱ)設θ為第二象限角，若tan＝，則sin θ＋cos θ＝________. 解析：法一：由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，因而sin θ＋cos θ＝ sin＝－. 法二：如果將tan＝利用兩角和的正切公式展開，則

12、＝，求得tan θ＝－.又因為θ在第二象限，則sin θ＝，cos θ＝－，從而sin θ＋cos θ＝－＝－. 答案：－ 2．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值． 解：∵0＜β＜＜α＜π， ∴－＜－β＜，＜α－＜π， ∴cos＝ ＝， sin＝ ＝， ∴cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋× ＝， ∴cos(α＋β)＝2cos2－1 ＝2×－1＝－. 易誤警示(三) 三角函數(shù)求角中的易誤點 [典例]　(2013·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)si

13、n 2x＋cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求α的值． [解題指導]　先利用倍角公式化簡f(x)的解析式，然后求解． [解]　(1)因為f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋cos 4x ＝(sin 4x＋cos 4x) ＝sin， 所以f(x)的最小正周期為，最大值為. (2)因為f(α)＝，所以sin＝1. 因為α∈，[來源:] 所以4α＋∈，即4α＋＝. 故α＝.[來源:] [名師點評]　1.解決本題易忽視α∈，由sin＝1，得出4α＋＝，從而得到α＝的錯誤結論． 2．在解決三角函數(shù)求角中的問題時，要牢記：當求出某角的三角函數(shù)值，如果要求這角的取值時，一定要考慮角的范圍，只有同時滿足三角函數(shù)值及角的范圍的角才是正確的． 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． 解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<. 又tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<. ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0.