高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第三章 :第六節(jié)正弦定理和余弦定理突破熱點(diǎn)題型

上傳人:仙*** 文檔編號(hào):43058333 上傳時(shí)間:2021-11-29 格式:DOC 頁(yè)數(shù):5 大?。?85KB
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1、 精品資料 考點(diǎn)一 利用正、余弦定理解三角形   [例1] (1)(2013天津高考)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,則sin ∠BAC=(  ) A.    B.    C.    D. (2)(2013安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.若b+c=2a, 3sin A=5sin B,則角C=________. (3)(2013浙江高考)在△ABC中,∠C=90,M是BC的中點(diǎn),若sin∠BAM=,則 sin∠BAC=________. [自主解

2、答] (1)由余弦定理可得AC2=9+2-23=5,所以AC=.再由正弦定理得=,所以sin A===. (2)由3sin A=5sin B,可得3a=5b,又b+c=2a,所以可令a=5t(t>0),則b=3t,c=7t,可得cos C===-,又C∈(0,π),故C=. (3)在△ABM中,由正弦定理得==,設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,所以a=,整理得(3a2-2c2)2=0,=,故sin∠BAC==. [答案] (1)C (2) (3) 【方法規(guī)律】 正、余弦定理的應(yīng)用原則 (1)正弦定理是一個(gè)連比等式,在運(yùn)用此定理時(shí),只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過(guò)約分達(dá)到解

3、決問(wèn)題的目的,在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用. (2)運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用. 1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,則∠B=(  ) A. B. C. D. 解析:選A 由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,∴sin Bsin(A+C)=sin B. 又∵sin B≠0,∴sin(A+C)=,即sin B=, ∴B=或.又∵a>b,∴A>B, ∴B=. 2.已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)

4、邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b=(  ) A.10 B.9 C.8 D.5[來(lái)源:] 解析:選D 由23cos2A+cos 2A=0,得25cos2A=1,因?yàn)锳為銳角,所以cos A=.又由a2=b2+c2-2bccos A,得49=b2+36-b,整理得5b2-12b-65=0, 解得b=-(舍)或b=5.即b=5. 考點(diǎn)二 利用正、余弦定理判斷三角形的形狀   [例2] 在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求

5、A的大小; (2)若sin B+sin C=1,試判斷△ABC的形狀. [自主解答] (1)由已知,根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 故cos A=-,又0<c<π,所以A=120. (2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 又sin B+sin C=1,得sin B=sin C=. 因?yàn)?<B<,0<C<, 故B=C=,[來(lái)源:] 所以△ABC是等腰鈍角三角形. 【互動(dòng)探究】 若將本例(2)中的條件改為“(a2+b2)sin(A-B)=(a

6、2-b2)sin(A+B)”,試判斷△ABC的形狀. 解:∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), ∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2sin Acos Bb2=2cos Asin Ba2, 即a2cos Asin B=b2sin Acos B. 由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又sin Asin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B.     在△AB

7、C中,0<2A<2π,0<2B<2π, ∴2A=2B或2A=π-2B,∴A=B或 A+B=. ∴△ABC為等腰或直角三角形 【方法規(guī)律】 判定三角形形狀的兩種常用途徑 (1)通過(guò)正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷; (2)利用正弦定理、余弦定理,化角為邊,通過(guò)代數(shù)恒等變換,求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷. (2013陜西高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則△ABC的形狀為(  ) A.直角三角形        B.銳角三角形 C.鈍角三角形

8、 D.不確定 解析:選A 依據(jù)題設(shè)條件的特點(diǎn),邊化角選用正弦定理,有sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,則sin(B+C)=sin2A,由三角形內(nèi)角和及互補(bǔ)角的意義,得sin(B+C)=sin A=sin2A,即sin A=1,所以A=.即△ABC為直角三角形. 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題   1.正、余弦定理與三角形面積的綜合問(wèn)題是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容,既有選擇、填空題,也有解答題,難度適中,屬中檔題. 2.高考對(duì)此類問(wèn)題的考查主要有以下兩個(gè)命題角度: (1)求三角形的面積; (2)已知三角形的面積解三角形. [例3]

9、 (1)(2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=2,B=,C=,則△ABC的面積為(  )[來(lái)源:] A.2+2        B.+1 C.2-2 D.-1 (2)(2013湖北高考)在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1. ①求角A的大?。? ②若△ABC的面積S=5,b=5,求sin Bsin C的值. [自主解答] (1)由正弦定理知=,結(jié)合條件得c==2.又sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C

10、=,所以△ABC的面積S=bcsin A=+1. (2)①由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2 A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去). 因?yàn)?

11、于面積公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式. (2)已知三角形的面積解三角形.與面積有關(guān)的問(wèn)題,一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化. 1.已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,acos C+asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面積為,求b,c. 解:(1)由acos C+asin C-b-c=0及正弦定理得 sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0. 因?yàn)锽=π-A-C,[來(lái)源:] 所以sin Asin C-cos Asin C-

12、sin C=0. 由于sin C≠0,所以sin=. 又0<A<π,故A=. (2)△ABC的面積S=bcsin A=,故bc=4. 而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8. 解得b=c=2. 2.(2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B; (2)若b=2,求△ABC面積的最大值. 解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 所以sin

13、 Bsin C=cos Bsin C, 又C∈(0,π),所以sin C≠0,故sin B=cos B.[來(lái)源:] 又B∈(0,π),所以B=. (2)△ABC的面積S=acsin B=ac. 由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos. 又a2+c2≥2ac,故ac≤, 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立. 因此△ABC面積的最大值為+1. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1組關(guān)系——三角形中的邊角關(guān)系  在△ABC中,A>B?a>b?sin A>sin B?cos A<cos B. 2種途徑——判斷三角形形狀的途徑  根據(jù)所給條件確定三角形的形狀,主要有兩種途徑: (1)化邊為角;(2)化角為邊,并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換. 2個(gè)注意點(diǎn)——解三角形應(yīng)注意的問(wèn)題  (1)在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角,進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí),有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解,所以要進(jìn)行分類討論. (2)在判斷三角形形狀時(shí),等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取公因式,以免漏解.

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