【名校資料】浙江省中考數學復習 第三單元函數第13課時二次函數的圖像及性質含近9年中考真題試題

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1、◆+◆◆二〇一九中考數學學習資料◆+◆◆ 第一部分 考點研究 第三單元 函數 第13課時 二次函數的圖像及性質 浙江近9年中考真題精選 命題點　　1　拋物線的對稱性及對稱軸(杭州2017.9，臺州2015.7，紹興2016.9) 1．(2016衢州7題3分)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象上部分點的坐標(x，y)對應值列表如下： x … －3 －2 －1 0 1 … y … －3 －2 －3 －6 －11 … 則該函數圖象的對稱軸是(　　) A. 直線x＝－3　　　　 　B. 直線x＝－2 C. 直線x＝－1

2、 D. 直線x＝0 2．(2015臺州7題4分)設二次函數y＝(x－3)2－4圖象的對稱軸為直線l，若點M在直線l上，則點M的坐標可能是(　　) A. (1，0) 　 B. (3，0) C. (－3，0) 　 D. (0，－4) 3．(2014寧波12題4分)已知點A(a－2b，2－4ab)在拋物線y＝x2＋4x＋10上，則點A關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為(　　) A. (－3，7) B. (1，7) C. (－4，10) D. (0，10) 4．(2015寧波11題4分)二次函數y＝a(x－4)2－4(a≠0)的圖象在2＜x＜3

3、這一段位于x軸的下方，在6＜x＜7這一段位于x軸的上方，則a的值為(　　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 5．(2016紹興9題4分)拋物線y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常數)過點A(2，6)，且拋物線的對稱軸與線段y＝0(1≤x≤3)有交點，則c的值不可能是(　　) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6．(2017杭州9題3分)設直線x＝1是函數y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是實數，且a<0)的圖象的對稱軸(　　) A. 若m>1，則(m－1)a＋b>0

4、 B. 若m>1，則(m－1)a＋b<0 C. 若m<1，則(m－1)a＋b>0 D. 若m<1，則(m－1)a＋b<0 命題點　　2　二次函數的增減性及最值(杭州2015.13) 7．(2012衢州10題3分)已知二次函數y＝－x2－7x＋，若自變量x分別取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，則對應的函數值y1，y2，y3的大小關系正確的是(　　) A. y1>y2>y3 B. y1＜y2＜y3 C. y2>y3>y1 D. y2＜y3＜y1 8．(2016舟

5、山10題3分)二次函數y＝－(x－1)2＋5，當m≤x≤n且mn＜0時，y的最小值為2m，最大值為2n，則m＋n的值為(　　) A. B. 2 C. D. 9．(2014嘉興10題4分)當－2≤x≤1時，二次函數y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，則實數m的值為(　　) A. － B. 或－ C. 2或－ D. 2或或－ 10．(2017嘉興10題3分)下列關于函數y＝x2－6x＋10的四個命題：①當x＝0時，y有最小值10；②n為任意實數，x＝3＋n時的函數值大于x＝

6、3－n時的函數值；③若n>3，且n是整數，當n≤x≤n＋1時，y的整數值有(2n－4)個；④若函數圖象過點(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a>0，b>0，則a＜b.其中真命題的序號是(　　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11．(2015杭州13題4分)函數y＝x2＋2x＋1，當y＝0時，x＝________；當1<x<2時，y隨x的增大而________(填寫“增大”或“減小”)． 命題點　　3　二次函數圖象與系數a、b、c的關系 12．(2013寧波10題3分)如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向

7、上，對稱軸為直線x＝1，圖象經過(3，0)，下列結論中，正確的一項是(　　) A. abc<0 B. 2a＋b<0 C. a－b＋c<0 D. 4ac－b2<0 第12題圖 13．(2013義烏10題3分)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于點A(－1，0)，頂點坐標為(1，n)，與y軸的交點在(0，2)、(0，3)之間(包含端點)，則下列結論：①當x>3時，y＜0；②3a＋b>0；③－1≤a≤－；④3≤n≤4中，正確的是(　　) A. ①② B. ③④ C. ①④

8、 D. ①③ 第13題圖 命題點　　4　二次函數解析式的確定(杭州2014.15，紹興2015.21) 14．(2014杭州15題4分)設拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)過A(0，2)，B(4，3)，C三點，其中點C在直線x＝2上，且點C到拋物線的對稱軸的距離等于1，則拋物線的函數解析式為__________． 15．(2015紹興21題10分)如果拋物線y＝ax2＋bx＋c過定點M(1，1)，則稱此拋物線為定點拋物線． (1)張老師在投影屏幕上出示了一個題目：請你寫出一條定點拋物線的一個解析式．小敏寫出了一個答案：y＝2x2＋3x－4，請你寫出一個不同于小敏的答案

9、； (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題：已知定點拋物線y＝－x2＋2bx＋c＋1，求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的解析式，請你解答． 命題點　　5　二次函數圖象的平移及旋轉(杭州2015.20，紹興3考) 16．(2017麗水8題3分)將函數y＝x2的圖象用下列方法平移后，所得的圖象不經過點A(1，4)的方法是(　　) A. 向左平移1個單位 B. 向右平移3個單位 C. 向上平移3個單位 D. 向下平移1個單位 17．(2017紹興9題4分)矩形ABCD的兩條對稱軸為坐標軸，點A的坐標為(2，1)．一張透明紙上畫有一個點和一條拋物線

10、，平移透明紙，使這個點與點A重合，此時拋物線的函數表達式為y＝x2，再次平移透明紙，使這個點與點C重合，則該拋物線的函數表達式變?yōu)?　　) A. y＝x2＋8x＋14 B. y＝x2－8x＋14 C. y＝x2＋4x＋3 D. y＝x2－4x＋3 18．(2012寧波17題3分)把二次函數y＝(x－1)2＋2的圖象繞原點旋轉180°后得到的圖象的解析式為________． 19．(2015寧波23題10分)已知拋物線y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常數． (1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點； (

11、2)若該拋物線的對稱軸為直線x＝. ①求該拋物線的函數解析式； ②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點． 20．(2014紹興22題12分)如果二次函數的二次項系數為1，則此二次函數可表示為y＝x2＋px＋q，我們稱[p，q]為此函數的特征數，如函數y＝x2＋2x＋3的特征數是[2，3]． (1)若一個函數的特征數為[－2，1]，求此函數圖象的頂點坐標； (2)探究下列問題： ①若一個函數的特征數為[4，－1]，將此函數的圖象先向右平移1個單位，再向上平移1個單位，求得到的圖象對應的函數的特征數； ②若一個函數的特征數為[2，3]，問此函數的

12、圖象經過怎樣的平移，才能使得到的圖象對應的函數的特征數為[3，4]? 命題點　　6　二次函數與一元二次方程、不等式(組)的關系(杭州2考) 21．(2015杭州10題3分)設二次函數y1＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1≠x2)的圖象與一次函數y2＝dx＋e(d≠0)的圖象交于點(x1，0)．若函數y＝y(tǒng)1＋y2的圖象與x軸僅有一個交點，則(　　) A. a(x1－x2)＝d B. a(x2－x1)＝d C. a(x1－x2)2＝d D. a(x1＋x2)2＝d 22. (2013杭州10題3分)給出下列命題及函數y＝x，y＝x2和y

13、＝的圖象 第22題圖 ①如果>a>a2，那么0<a<1； ②如果a2>a>，那么a>1； ③如果>a2>a，那么－1<a<0； ④如果a2>>a時，那么a<－1.則(　　) A. 正確的命題是①④ B. 錯誤的命題是②③④ C. 正確的命題是①② D. 錯誤的命題只有③ 23．(2016衢州22題10分)已知二次函數y＝x2＋x的圖象，如圖所示． (1)根據方程的根與函數圖象之間的關系，將方程x2＋x＝1的根在圖上近似地表示出來(描點)，并觀察圖象，寫出方程x2＋x＝1的根(精確到0

14、.1)． (2)在同一直角坐標系中畫出一次函數y＝x＋的圖象，觀察圖象寫出自變量x取值在什么范圍時，一次函數的值小于二次函數的值． (3)如圖，點P是坐標平面上的一點，并在網格的格點上，請選擇一種適當的平移方法，使平移后二次函數圖象的頂點落在P點上，寫出平移后二次函數圖象的函數表達式，并判斷點P是否在函數y＝x＋的圖象上，請說明理由． 第23題圖 答案 1．B　【解析】由表格的數據可以看出，x＝－3和x＝－1時y的值相同都是－3，所以可以判斷出，點(－3，－3)和點(－1，－3)關于二次函數的對稱軸對稱，利用公式x＝可求出對稱軸為直線x＝＝＝＝－2.故選B.

15、 2．B　【解析】先求出二次函數圖象的對稱軸，再確定選項．∵二次函數為y＝(x－3)2－4，∴對稱軸為x＝3，在(1，0)，(3，0)，(－3，0)，(0，－4)四點中只有(3，0)在直線x＝3上．故選B. 3．D　【解析】∵點A(a－2b，2－4ab)在拋物線y＝x2＋4x＋10上，∴(a－2b)2＋4×(a－2b)＋10＝2－4ab, a2－4ab＋4b2＋4a－8b＋10＝2－4ab, (a＋2)2＋4(b－1)2＝0，∴a＋2＝0，b－1＝0, 解得a＝－2，b＝1，∴a－2b＝－2－2×1＝－4, 2－4ab＝2－4×(－2)×1＝10，∴點

16、A的坐標為(－4，10)，∵對稱軸為直線x＝－＝－2，∴點A關于對稱軸的對稱點的坐標為(0，10)． 4．A　【解析】本題考查拋物線的性質以及待定系數法．∵拋物線y＝a(x－4)2－4(a≠0)，∴其對稱軸為直線x＝4.∵拋物線在2＜x＜3的部分位于x軸下方，∴根據對稱性可知5＜x＜6的部分在x軸下方，又∵拋物線上6＜x＜7的部分在x軸的上方，∴必然有x＝6時，y＝0，將點(6，0)代入拋物線解析式得0＝a(6－4)2－4，解得a＝1. 5．A　【解析】 由題知，對稱軸與線段y＝0(1≤x≤3)有交點，則有1≤－≤3，可得到：－6≤b≤－2，由二次函數經過點A(2，6)，代入可得：4＋2b

17、＋c＝6，∴b＝，∴－6≤≤－2, 解得6≤c≤14，所以c的值不可能是4. 6．C　【解析】∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴－＝1，b＝－2a，①當m>1時，則m－1>0，∴(m－1)a＋b＝ma－a＋b＝ma－a－2a＝a(m－3)，∵a<0，而m－3的正負性無法確定，∴a(m－3)的正負性無法確定，∴A，B錯誤；②當m<1時，則m－1<0，∴(m－1)a＋b＝ma－a＋b＝ma－a－2a＝a(m－3)，∵a<0，m－3<0，∴a(m－3)>0，∴C正確，D錯誤． 7．A　【解析】∵二次函數y＝－x2－7x＋，∴此函數的對稱軸為：x＝－＝

18、－＝－7，∵0<x1<x2<x3，三點都在對稱軸右側，a<0，∴對稱軸右側y隨x的增大而減小，∴y1>y2>y3. 8．D　【解析】由題意可知，m<0，n>0，由題意可分兩種情況討論：①當m≤0≤x≤n<1時，x＝m時y取最小值，即2m＝－(m－1)2＋5，解得m＝－2，x＝n時y取最大值，即2n＝－(n－1)2＋5，解得n＝2，不符合題意，舍去；②當m≤0≤x≤1≤n時，x＝1時，y取最大值，即2n＝－(1－1)2＋5，解得n＝；當1－m>n－1，即m＋n<2時，函數在x＝m處取最小值，即2m＝－(m－1)2＋5，解得m＝2

19、(舍去)或m＝－2，當1－m<n－1，即m＋n>2時，x＝n處取最小值，即2m＝－(n－1)2＋5，代入n＝，得m＝(舍去)．綜上，m＝－2，n＝，∴m＋n＝. 9．C　【解析】二次函數的對稱軸為直線x＝m，①當m<－2，x＝－2時，二次函數有最大值，此時－(－2－m)2＋m2＋1＝4，解得m＝－，與m<－2矛盾，故m＝－不符合題意；②當－2≤m≤1，x＝m時二次函數有最大值，此時，m2＋1＝4，解得m1＝－，m2＝(舍去)；③當m>1，x＝1時，二次函數有最大值，此時－(1－m)2＋m2＋1＝4，解得m＝2.綜上所述，m的值為2或－.故選C. 10．C　【解

20、析】①∵二次函數的性質：二次函數y＝ax2＋bx＋c，若a>0，則當x＝－時，y有最小值為y＝，∴當x＝－＝3，y有最小值為：＝1，故①是假命題；②根據二次函數的對稱性可知，x＝3＋n與x＝3－n的函數值相等，故②是假命題；③若n>3，且n是整數，當n≤x≤n＋1時，y隨x的增大而增大，且y的最小值為：y＝n2－6n＋10為整數值，y的最大值為：y＝n2－4n＋5也為整數值，∴y的整數值共有：(n2－4n＋5)－(n2－6n＋10)＋1＝2n－4(個)，故③是真命題；④∵二次函數的二次項系數a＝1>0，∴當x<3時，y隨x的增大而減小，若0<a<3，0<

21、;b<3時，函數圖象過點(a，y0)和(b，y0＋1)，∵y0<y0＋1，則a>b，故④是假命題． 11．－1，增大　【解析】把y＝0代入函數y＝x2＋2x＋1中，得x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1；∵a＝1＞0，∴拋物線開口向上，又∵拋物線的對稱軸為x＝－＝－＝－1，∴當x>－1時，y隨x的增大而增大，∴當1＜x＜2時，y隨x的增大而增大． 12．D　【解析】A.根據題圖知，拋物線開口方向向上，則a>0，拋物線的對稱軸x＝－＝1>0，則b<0.由拋物線與y軸交于負半軸，則c<0，所以abc>0.故A選項錯誤；B.∵x＝－＝1，∴b＝－

22、2a，∴2a＋b＝0.故B選項錯誤；C.∵對稱軸為直線x＝1，圖象經過(3，0)，∴該拋物線與x軸的另一交點的坐標是(－1，0)，∴當x＝－1時，y＝0，即a－b＋c＝0.故C選項錯誤；D.根據題圖知，該拋物線與x軸有兩個不同的交點，則b2－4ac>0，則4ac－b2<0.故D項正確． 13．D　【解析】①∵拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于點A(－1，0)，對稱軸為直線x＝1，∴該拋物線與x軸的另一個交點的坐標是(3，0)∴根據圖示知，當x>3時，y<0.故①正確；②根據圖示知，拋物線開口向下，則a<0.∵對稱軸x＝－＝1，∴b＝－2a，∴3a＋b＝3a－2

23、a＝a<0，即3a＋b<0.故②錯誤；③∵拋物線與x軸的兩個交點坐標分別是(－1，0)，(3，0)，∴－1×3＝－3，∴＝－3，則a＝－.∵拋物線與y軸的交點在(0，2)、(0，3)之間(包含端點)，∴2≤c≤3，∴－1≤－≤－，即－1≤a≤－.故③正確；④根據題意知，a＝－，－＝1，∴b＝－2a＝，∴n＝a＋b＋c＝c.∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4.故④錯誤．綜上所述，正確的說法有①③. 14．y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2　【解析】∵點C在直線x＝2上，且到拋物線的對稱軸的距離等于1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1或x＝3，當對稱軸為直線x＝1時，設拋物

24、線解析式為y＝a(x－1)2＋k，將A(0，2)，B(4，3)代入解析式，得，解得，∴y＝(x－1)2＋＝x2－x＋2；當對稱軸為直線x＝3時，設拋物線解析式為y＝a(x－3)2＋k，將A(0，2)，B(4，3)代入解析式得，解得，∴y＝－(x－3)2＋＝－x2＋x＋2，綜上所述，拋物線的函數解析式為y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2. 15．解：(1)答案不唯一，如：y＝x2－2x＋2；(3分) (2)∵定點拋物線的頂點坐標為(b，c＋b2＋1)，且－1＋2b＋c＋1＝1， ∴c＝1－2b，(5分) ∵頂點縱坐標為c＋b2＋1＝2－2b＋b2＝(b－1)2＋1， ∴當b＝1時，c

25、＋b2＋1最小，即拋物線頂點縱坐標的值最小，此時c＝－1， ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x.(10分) 16．D　【解析】A.將函數y＝x2的圖象向左平移1個單位，則函數解析式為y＝(x＋1)2，將點A(1，4)代入y＝(x＋1)2可知，點A坐標滿足函數解析式，即函數y＝(x＋1)2的圖象經過點A，故A選項錯誤；B.將函數y＝x2的圖象向右平移3個單位，則函數解析式為y＝(x－3)2，同理可驗證函數y＝(x－3)2的圖象經過點A，故B選項錯誤；C.將函數y＝x2的圖象向上平移3個單位，則函數解析式為y＝x2＋3，驗證可知函數y＝x2＋3的圖象經過點A，故C選項錯誤；D. 將函數y＝x2

26、的圖象向下平移1個單位，則函數解析式為y＝x2－1，當x＝1時，y＝0，因此函數y＝x2－1的圖象不經過點A.故選D. 17．A　【解析】由于矩形ABCD的兩條對稱軸為坐標軸，A(2，1)，則C(－2，－1)，要使透明紙上的點與C點重合，拋物線移動路徑為先向下移動2個單位長度，再向左移動4個單位長度，∵原拋物線為y＝x2，∴后來的拋物線解析式為y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14. 18．y＝－x2－2x－3　【解析】由二次函數解析式可知，旋轉前拋物線的頂點坐標為(1，2)，且開口向上，繞原點旋轉180°后，頂點坐標變?yōu)?－1，－2)，且開口向下，所以旋轉后的函數解析式為y＝－

27、(x＋1)2－2＝－x2－2x－3. 19．(1)證明：∵y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m， 令關于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0，(2分) 根的判別式b2－4ac＝[－(2m＋1)]2－4×1×(m2＋m) ＝4m2＋4m＋1－4m2－4m ＝1＞0，(3分) ∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點； (4分) (2)解：①∵y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m， 其對稱軸為直線x＝－＝， 又已知拋物線對稱軸為直線x＝， ∴＝， 解得m＝2，(6分) ∴拋物線解析式為y＝x2－5x＋6；(8分)

28、 ②由拋物線y＝x2－5x＋6，化為頂點式為y＝(x－)2－， 則拋物線頂點坐標為(，－)， 要使向上平移拋物線后與x軸只有一個公共點，則拋物線頂點由(，－)變?yōu)?，0)，即向上平移了個單位， ∴將拋物線向上平移個單位長度后，它與x軸只有一個交點. (10分) 20．解：(1)由題意可得出該函數解析式為：y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴此函數圖象的頂點坐標為：(1，0)；(3分) (2)①由題意可得出該函數解析式為：y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5， ∴將此函數的圖象先向右平移1個單位，再向上平移1個單位后得到：y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3， ∴圖象對應的函

29、數的特征數為：[2，－3]；(7分) ②∵一個函數的特征數為[2，3]， ∴函數解析式為：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， ∵平移后函數的特征數為[3，4]， ∴函數解析式為：y＝x2＋3x＋4＝(x＋)2＋， ∴原函數的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位即可得到． 21．B　【解析】∵一次函數y2＝dx＋e經過點(x1，0)，∴dx1＋e＝0，則e＝－dx1. 根據題意得： y＝y(tǒng)1＋y2 ＝a(x－x1)(x－x2)＋dx＋e ＝a(x－x1)(x－x2)＋dx－dx1 ＝a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＋dx－dx1 ＝ax2－[a(x1＋x2)－d

30、]x＋ax1x2－dx1. ∵此函數為關于x的二次函數，它的圖象與x軸僅有一個交點， ∴根的判別式b2－4ac＝0， 即：[a(x1＋x2)－d]2－4a(ax1x2－dx1) ＝a2(x1＋x2)2－2ad(x1＋x2)＋d2－4a2x1x2＋4adx1 ＝a2[(x1＋x2)2－4x1x2]－2adx1－2adx2＋d2＋4adx1 ＝a2(x1－x2)2＋2ad(x1－x2)＋d2 ＝[a(x1－x2)＋d]2＝0， ∴a(x1－x2)＋d＝0， ∴a(x1－x2)＝－d， 即a(x2－x1)＝d. 22．A　【解析】 ① √ 如果＞a＞a2，即：y3＞y1＞

31、y2，則對應到x軸a的取值范圍為0＜a＜1 ② × 如果a2＞a＞，即：y2＞y1＞y3，則對應到x軸a的取值范圍為a＞1或－1＜a＜0 ③ × 如果＞a2＞a，即：y3＞y2＞y1，則對應到x軸沒有合適的a滿足要求 ④ √ 如果a2＞＞a，即：y2＞y3＞y1，則對應到x軸a的取值范圍為a＜－1 23.解：(1)描點畫圖如解圖： 第23題解圖 (2分) x1≈－1.6，x2≈0.6；(3分) (2)畫直線如解圖，(4分) x＜－1.5或x＞1；(6分) (3)平移方法不唯一． 如先向上平移個單位，再向左平移個單位，平移后的頂點坐標P(－1，1)， 平移后表達式：y＝(x＋1)2＋1，即y＝x2＋2x＋2.(8分) 點P在函數y＝x＋的圖象上． 理由：把P點坐標(－1，1)代入y＝x＋， 左邊＝右邊，(9分) ∴點P在函數y＝x＋的圖象上. (10分)