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1、
專題四十二 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
【高頻考點(diǎn)解讀】
1.以立體幾何的有關(guān)定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、面面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理,并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理.
2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.
【熱點(diǎn)題型】
題型一 平行關(guān)系基本問(wèn)題
例1、(1)(高考廣東卷)設(shè)l為直線,α,β是兩個(gè)不同的平面.下面命題中正確的是( )
A.若l∥α,l∥β,則α∥β
B.若l⊥α,l⊥β,則α∥β
C.若l⊥α,l∥β,則α∥β
D.若α⊥β,l∥α,則l∥β
(2)已知m、n、l1
2、、l2表示直線,α,β表示平面.若m?α,n?α,l1?β,l2?β,l1∩l2=M,則α∥β的一個(gè)充分條件是( )
A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2
【提分秘籍】
解決有關(guān)線面平行,面面平行的判定與性質(zhì)的基本問(wèn)題要注意
(1)注意判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件,如線面平行的條件中線在面外易忽視.
(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形作出判斷.
(3)會(huì)舉反例或用反證法推斷命題是否正確.
【舉一反三】
設(shè)l表示直線,α、β表示平面.給出四個(gè)結(jié)論:
①如果l∥α,則α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與l平行;
②如果
3、l∥α,則α內(nèi)任意的直線與l平行;
③如果α∥β,則α內(nèi)任意的直線與β平行;
④如果α∥β,對(duì)于α內(nèi)的一條確定的直線a,在β內(nèi)僅有唯一的直線與a平行.
以上四個(gè)結(jié)論中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【熱點(diǎn)題型】
題型二 直線與平面平行的判定與性質(zhì)
例2、 (高考福建卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60.
(1)當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí),畫(huà)出四棱錐P-ABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸,并寫出演算過(guò)程);
(2)若M為PA的中點(diǎn),求證:DM∥平
4、面PBC;
(3)求三棱錐D-PBC的體積.
【提分秘籍】
證明直線與平面平行,一般有以下幾種方法
(1)若用定義直接判定,一般用反證法;
(2)用判定定理來(lái)證明,關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行,證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言敘述證明過(guò)程;
(3)應(yīng)用兩平面平行的一個(gè)性質(zhì),即兩平面平行時(shí),其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面.
【舉一反三】
如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D為棱AB的中點(diǎn),BC=1,AA1=.
(1)求證:BC1∥平面A1CD;
(2)求三棱錐D-A1B1C1的體積.
【熱點(diǎn)題型】
5、
題型三 平面與平面平行的判定與性質(zhì)
例3、(高考陜西卷)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1=.
(1)證明:平面A1BD∥平面CD1B1;
(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.
【提分秘籍】
1.平面與平面平行的幾個(gè)有用性質(zhì)
(1)兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.
(2)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等.
(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.
(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
(5)如果兩個(gè)平面分別平行
6、于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面互相平行.
(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個(gè)平面平行.
2.判定平面與平面平行的方法
(1)利用定義;
(2)利用面面平行的判定定理;
(3)利用面面平行的判定定理的推論;
(4)面面平行的傳遞性(α∥β,β∥γ?α∥γ);
(5)利用線面垂直的性質(zhì)(l⊥α,l⊥β?α∥β).
【舉一反三】
已知平面α∥β,直線a?α,有下列說(shuō)法:
①a與β內(nèi)的所有直線平行;
②a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行;
③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直.
其中真命題的序號(hào)是________.
【熱點(diǎn)題型】
題
7、型四 立體幾何中的探索性問(wèn)題
例4、如圖,在四棱錐S-ABCD中,已知底面ABCD為直角梯形,其中AD∥BC,∠BAD=90,SA⊥底面ABCD,SA=AB=BC=2,tan∠SDA=.
(1)求四棱錐S-ABCD的體積;
(2)在棱SD上找一點(diǎn)E,使CE∥平面SAB,并證明.
【提分秘籍】
解決探究性問(wèn)題一般要采用執(zhí)果索因的方法,假設(shè)求解的結(jié)果存在,從這個(gè)結(jié)果出發(fā),尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件,如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件,則存在;如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件(出現(xiàn)矛盾),則不存在.常見(jiàn)的類型有:(1)條件探索型 (2)結(jié)論探索性.
【舉一反三
8、】
在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn),又∠CAD=30,PA=AB=4,點(diǎn)N在線段PB上,且=.
(1)求證:BD⊥PC;
(2)求證:MN∥平面PDC;
(3)設(shè)平面PAB∩平面PCD=l,試問(wèn)直線l是否與直線CD平行,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【高考風(fēng)向標(biāo)】
1.(20xx浙江卷)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面( )
A.若m⊥n,n∥α,則m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,則m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α
2.(20x
9、x安徽卷)如圖15所示,四棱錐P ABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形,四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2.點(diǎn)G,E,F(xiàn),H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點(diǎn),平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
圖15
(1)證明:GH∥EF;
(2)若EB=2,求四邊形GEFH的面積.
3.(20xx北京卷)如圖15,在三棱柱ABC A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F(xiàn)分別是A1C1,BC的中點(diǎn).
圖15
(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求證:C1F∥平面ABE;
(3)求三棱錐E ABC的體積.
4.
10、(20xx湖北卷)如圖15,在正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F(xiàn),P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點(diǎn).求證:
(1)直線BC1∥平面EFPQ;
(2)直線AC1⊥平面PQMN.
圖15
5.(20xx江蘇卷)如圖14所示,在三棱錐P ABC中,D,E,F(xiàn)分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn).已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求證:(1)直線PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
圖14
6.(20xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)如圖13,四棱錐P ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E
11、為PD的中點(diǎn).
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)設(shè)AP=1,AD=,三棱錐P ABD的體積V=,求A到平面PBC的距離.
圖13
7.(20xx山東卷)如圖14所示,四棱錐PABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F(xiàn)分別為線段AD,PC的中點(diǎn).
圖14
(1)求證:AP∥平面BEF;
(2)求證:BE⊥平面PAC.
8.(20xx四川卷)在如圖14所示的多面體中,四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形.
(1)若AC⊥BC,證明:直線BC⊥平面ACC1A1.
(2)設(shè)D,E分別是線段BC,CC1的中點(diǎn),在線段AB
12、上是否存在一點(diǎn)M,使直線DE∥平面A1MC?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
圖14
【隨堂鞏固】
1.已知m,n是兩條不同直線,α,β,γ是三個(gè)不同平面,下列命題中正確的是( )
A.若m∥α,n∥α,則m∥n
B.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β
C.若m∥α,m∥β,則α∥β
D.若m⊥α,n⊥α,則m∥n
2.下列命題正確的是( )
A.若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行
B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行
C.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行
D.若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面
13、,則這兩個(gè)平面平行
3.已知兩條直線a、b與兩個(gè)平面α、β,b⊥α,則下列命題中正確的是( )
①若a∥α,則a⊥b;
②若a⊥b,則a∥α;
③若b⊥β,則α∥β;
④若α⊥β,則b∥β.
A.①③ B.②④
C.①④ D.②③
4.下列四個(gè)正方體圖形中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是( )
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
5.平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是( )
A.存在一條直線a,a∥α,a∥β
B.存在一條直線a,a?α,a∥β
C.存在兩條平
14、行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α
D.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α
6.a(chǎn)、b、c為三條不重合的直線,α、β、γ為三個(gè)不重合的平面,現(xiàn)給出六個(gè)命題
①?a∥b ②?a∥b?、?α∥β
④?α∥β?、?a∥α?、?α∥a
其中正確的命題是( )
A.①②③ B.①④⑤
C.①④ D.①③④
7.設(shè)互不相同的直線l,m,n和平面α,β,γ,給出下列三個(gè)命題:
①若l與m為異面直線,l?α,m?β,則α∥β;
②若α∥β,l?α,m?β,則l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,則m∥n.
其中真命題的個(gè)數(shù)
15、為_(kāi)_______.
8.如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體,M,N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),P是上底面的棱AD上的一點(diǎn),AP=,過(guò)P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=________.
9.在四面體ABCD中,M,N分別為△ACD和△BCD的重心,則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________.
10.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,在棱AB上是否存在一點(diǎn)F,使平面C1CF∥平面ADD1A1?若存在,求點(diǎn)F的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
11.如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.過(guò)A作AF⊥SB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn).
求證:(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
12.如圖,四棱錐E-ABCD中,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD.
(1)求證:AB⊥ED;
(2)線段EA上是否存在點(diǎn)F,使DF∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,說(shuō)明理由.