大學(xué)物理各章練習(xí)題：第二章 牛頓定律

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1、 第二章 牛頓定律 2-1 在如圖2-1(a)所示的傾角為的斜面上，由一輕桿相連的二滑塊A、B質(zhì)量相同，mA = mB = 2.5 kg，與斜面間的滑動摩擦系數(shù)分別為，．求桿中的張力(或壓力)以及滑塊的加速度． 分析 應(yīng)用牛頓定律解力學(xué)問題的基本步驟為：（1）根據(jù)題意選取研究對象；（2）分析研究對象的受力情況，并畫出示力圖；（3）選取坐標(biāo)系，將力或加速度沿坐標(biāo)軸分解為分量，根據(jù)牛頓第二定律列出各個物體的運(yùn)動方程；（4）求解方程，先進(jìn)行文字運(yùn)算，再代入數(shù)據(jù)，計算出結(jié)果． 在分析力的過程中，必須注意每個力是哪個物體施給它的，沒有施力物體的力是不存在的．在涉及斜面的問題中，斜面上物體所受

2、到的作用力有重力、斜面壓力和摩擦力，而不存在上滑力或下滑力．在連接體之間存在張力或壓力． y B 　 FNB FfB FTA FNA a FfA a A

3、 B A O FTB mBg mAg x (a) (b) (c) 圖2-1 解 分別選取滑塊A、B為研究對象，受力分析分別如圖2-1（b）、（c）所示．假設(shè)桿中為

4、張力，由于輕桿質(zhì)量可以忽略，施加于A和B的張力大小應(yīng)相等，即． 取Oxy坐標(biāo)系如圖2-1所示，應(yīng)用牛頓第二定律，得滑塊A的運(yùn)動方程為 x方向： (1) y方向： (2) 滑塊B的運(yùn)動方程為 x方向： (3) y方向： (4) 由(2)式得，摩擦力，代入(1)式得 (5)

5、 由(4)式得，摩擦力，代入(3)式得 (6) 從(5)和(6)式消去FT，并注意到mA = mB = 2.5 kg，得 代入(5)式，得 上式中結(jié)果的負(fù)號表明，滑塊A所受輕桿的作用力方向與原假設(shè)相反，即受到沿斜面向下的推壓力，因此桿中出現(xiàn)的是壓力，量值為1.06 N． FN FT2 Ff FT1 m1g m2g 圖2-2 2-2 一金屬鏈條放置于水平桌面上，其縱向

6、與桌子邊緣垂直，當(dāng)鏈條長度的1/4部分垂掛于桌子邊緣時，此鏈條剛好能開始在桌面上滑動，求鏈條與桌面之間的摩擦系數(shù)為何值？ 分析 對于質(zhì)量連續(xù)分布的物質(zhì)，例如鏈條、繩和長桿等，根據(jù)題意，在運(yùn)動過程中任一瞬時，可以將其分割成各自獨(dú)立的部分作為研究對象，這些獨(dú)立部分可以視為質(zhì)點(diǎn)，作出示力圖，分析各部分的受力情況，于是原來是內(nèi)力的張力或壓力就變成了分割出的獨(dú)立部分所受到的外力，就可以應(yīng)用牛頓第二定律建立運(yùn)動方程了． 解 設(shè)鏈條質(zhì)量為m，當(dāng)鏈條剛好能開始在桌面上滑動時，桌面上的鏈條質(zhì)量為，懸垂部分的鏈條質(zhì)量為．分別以這兩部分為研究對象，作示力圖如圖2-2所示． 作用于桌面上鏈條的力有：重力m

7、1g，桌面的正壓力FN，摩擦力Ff，懸垂部分對它的張力FT1． 作用于懸垂鏈條的力有：重力m2g，桌面部分對它的張力FT2．不考慮桌面邊沿的形狀和摩擦，則鏈條兩部分中的張力大小應(yīng)相等，F(xiàn)T1= FT2= FT． 由于鏈條剛好能開始在桌面上滑動，摩擦力為最大靜摩擦力，此時鏈條加速度為零，可得 由以上各式可解得　　　　　　　　 2-3一物體沿傾角為30°的斜面向上滑動，在斜面底部時其初速為12m/s，物體與斜面間摩擦系數(shù)為0.2，求(1)物體達(dá)到最高點(diǎn)所需要的時間，(2)返回底部時的速度，(3)摩擦系數(shù)為多大時，將使物體上升到速度為零后就不再往下滑動． 分析

8、 滑動摩擦力始終與運(yùn)動物體相對滑動的方向相反，因此物體在斜面上向上滑動和向下滑動時的摩擦力正好反向，則物體所受合外力不同，加速度也就不同．通常取加速度方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，分別就向上滑動和向下滑動選取坐標(biāo)系建立運(yùn)動方程． 由于牛頓第二定律建立的方程確定的是力和加速度之間的關(guān)系，因此，當(dāng)所討論的問題涉及到速度、位移和運(yùn)動時間等運(yùn)動學(xué)的物理量時，還要應(yīng)用運(yùn)動學(xué)中已經(jīng)獲得的相關(guān)公式求解． 解 (1) 在上滑過程中，物體受力如圖2-3(a)所示，摩擦力Ff1沿斜面向下，且．選Oxy坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)加速度方向沿x軸正向，應(yīng)用牛頓第二定律得上滑過程的運(yùn)動方程為 x方向：

9、y方向： 由以上各式解得 由初始條件：時，，而到達(dá)最高點(diǎn)時速度為零，有 則到達(dá)最高點(diǎn)所需時間為 y FN x FN O y a2 Ff2 a1 Ff1

10、 O x mg mg (a) (b) 圖2-3 (2) 物體向下滑時，受力如圖2-3(b)所示，摩擦力Ff2沿斜面向上，且．選Oxy坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)加速度方向沿x軸正向，應(yīng)用牛頓第二定律得下滑過程的運(yùn)動方程為 x方向： y方向： 由以上各式解得

11、 (1) 物體上升時的位移為 下滑過程由靜止開始，到達(dá)底部時速率為 (3) 令代入（1）式，則物體位于最高點(diǎn)時速度為零，又無向下加速度，即不再向下滑動，可得 2-4 細(xì)繩跨過輕滑輪連接著質(zhì)量分別為5kg和1kg的二物體，滑輪吊在彈簧稱下懸掛于升降機(jī)之中，如圖2-4(a)所示．(1)當(dāng)升降機(jī)靜止不動時，問彈簧稱上的示重是多少？(2) 當(dāng)彈簧稱上的示重為58.8 N時，求升降機(jī)的加速度． 分析 物體的重量是物體施加在稱重儀器設(shè)備上的壓力或張力，其大小等于稱重儀器設(shè)備反作用在物體上的壓力或張力．當(dāng)物體在地面上處于靜止或作勻速直線運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)

12、行稱重時，地球?qū)ξ矬w的引力和稱重儀器設(shè)備作用的壓力或張力等大而反向，物體的重量與重力的量值相等．當(dāng)物體在地表附近有沿豎直方向的加速度時，物體的重量與重力的量值就不再相等了． FT a’ FT1 FT2 a a

13、 m2g m1g （a） （b） 圖2-4 牛頓定律只適用于慣性參考系，當(dāng)所討論的問題中參考系本身也有加速度時，就要應(yīng)用相對運(yùn)動的加速度合成定理．通?？梢赃x取地球（地面）作為靜止參考系，物體相對于地面的加速度等于物體相對于運(yùn)動參考系加速度與運(yùn)動參考系相對于地面加速度的矢量和，即 解 二物體質(zhì)量分別為m1 = 5 kg， m2= 1 kg．二物體和滑輪的受力情況如圖2-4(b)所示．對于細(xì)繩和輕滑輪，忽略繩和滑輪間的摩擦，應(yīng)有，，和，因此有　　　　　 設(shè)升降機(jī)有一向上的加速度a’，物體m1相對于升降機(jī)的加

14、速度a，方向向下，物體m2相對于升降機(jī)的加速度a，方向向上．如果假設(shè)對于地面參考系，物體m1的加速度方向向下，物體m2的加速度方向向上，并以它們各自加速度的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，則根據(jù)相對運(yùn)動加速度合成定理，物體m1相對于地面的加速度為a-a’，物體m2相對于地面的加速度為a+a’．由牛頓第二定律可得其運(yùn)動方程分別為 　　　 　　　　　　　(1) (2) (1) 當(dāng)升降機(jī)靜止時，，由(1)和(2)式以及張力之間的關(guān)系，得彈簧稱上的示重為 (2) 當(dāng)彈簧稱上的示重為時，由(1)和(2)式以及張力之間的關(guān)系，得升降機(jī)的加速度為 2-5

15、質(zhì)量均為m形狀相同、相互接觸的梯形木塊A、B放置在光滑的水平桌面上，如圖2-5(a)所示．設(shè)兩木塊之間的接觸面是光滑的，斜面與水平面之間的夾角為α，今以一水平力F作用在A上，求A、B之間無相對運(yùn)動時A、B對桌面的壓力． FNA y a FNB A B F F

16、TB F FTA O x mg mg （a） （b） 圖2-5 分析 在解動力學(xué)問題時，隔離物體法是一個基本方法．在有些求物體所受力的問題中，往往碰到該物體的運(yùn)動狀態(tài)難以確定的情況，這時可以先求該物體對其他運(yùn)動物體的反作用力，再利用牛頓第三定律確定所求力的大小和方向

17、． 解 分別選取木塊A、B為研究對象，受力情況如圖2-5(b)所示．根據(jù)題意，兩木塊加速度a相等，且沿外力F方向．木塊之間相互作用的壓力大小相等，即．選取如圖所示的Oxy坐標(biāo)系，應(yīng)用牛頓第二定律得其運(yùn)動方程分別為 木塊A的x方向： y方向： 木塊B的x方向： y方向： 解以上方程得 根據(jù)牛頓第三定律，木塊A、B對桌面的壓力的大小分別等于桌面給予它們的反作用力FNA和FNA，方向向下． 2-6在一輕滑輪上跨有一輕繩，繩之兩端連接著質(zhì)量分別為1kg和2kg的

18、物體A、B，現(xiàn)以50N的恒力F向上提滑輪的軸，如圖2-5(a)所示，A和B的加速度各為多少？不計滑輪質(zhì)量及滑輪與繩間摩擦． F F 　　　　　　 　y FT1 FT2 A B aA aB A B

19、 mAg mBg （a） （b） 圖2-6 分析 在物體和滑輪組合成系統(tǒng)的動力學(xué)問題中，如果滑輪靜止，不計滑輪質(zhì)量及滑輪與繩間摩擦的情況下，用細(xì)繩跨過滑輪連接的兩物體的速度和加速度的大小相等、方向相反．然而，一旦滑輪本身具有加速度，如果以滑輪為運(yùn)動參考系，那么細(xì)繩跨過滑輪連接的兩物體相對于滑輪的加速度大小相等、方向相反，但是它們對于地面參考系的加速度則必須根據(jù)相對運(yùn)動加速度合成定理疊加計算．通常當(dāng)不必求滑輪加速度時，可以先設(shè)定兩物體對地面的加速度方向，最后再根據(jù)計算結(jié)果的正負(fù)確定

20、實(shí)際加速度的方向． 解 以滑輪和物體A、B為研究對象，分別作出示力圖如圖2-6（b）所示．取豎直向上為y軸正向，假設(shè)物體A、B的加速度aA和aB方向向上，由于不計滑輪質(zhì)量及滑輪與繩間摩擦，繩中張力大小相等，即，應(yīng)用牛頓第二定律得滑輪的運(yùn)動方程為 物體A的運(yùn)動方程為 物體B的運(yùn)動方程為 聯(lián)立求解得 2-7在光滑斜面上沿斜面傾斜方向放有一勻質(zhì)長桿AB，長為l，質(zhì)量為m，斜面與水平面間夾角為θ，現(xiàn)沿斜面以恒力F拉桿，如圖2-7（a）所示，求桿內(nèi)各部分間的相互作用（張力）沿棒長方向的變化規(guī)律． 分析 求質(zhì)量連續(xù)分布的桿或繩中的內(nèi)力，要采用隔離物體法，取其中一段作為

21、研究對象分析受力情況，應(yīng)用牛頓定律建立方程．計算結(jié)果通常與所選取的段長有關(guān)，即為段長的函數(shù)． y F B F x FN a B L

22、 FNC FT A C A A mC g mg （a） （b） 圖2-7 解 取如圖2-7（b）所示的xy坐標(biāo)系，以長桿AB為研究對象，加速度a沿斜面向上，根據(jù)受力情況，應(yīng)用牛

23、頓第二定律得運(yùn)動方程為 再取長為x的一段桿AC為研究對象，其質(zhì)量為，在C處桿內(nèi)張力FT對于AC部分成為外力，但AC仍具有與整個桿相同的加速度，應(yīng)用牛頓第二定律得AC部分的運(yùn)動方程為 于是可解得 結(jié)果表明桿內(nèi)張力隨C點(diǎn)位置變化． 2-8 在如圖2-8所示的物體系統(tǒng)中，不計繩和滑輪的質(zhì)量，并忽略m’與水平桌面、m’與m1之間的摩擦力．問應(yīng)以多大的水平推力作用在m’上，才能使系統(tǒng)運(yùn)動過程中m1和m’之間無相對滑動？此時m’對桌面的壓力為多少？（m1> m2） 分析 當(dāng)幾個物體構(gòu)成一個系統(tǒng)并以相同的速度平動時，可以將這些物體構(gòu)成的系統(tǒng)作為一個質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)用牛頓定律建立合外

24、力與加速度之間的關(guān)系，而不必考慮各部分之間的相互作用內(nèi)力．但是當(dāng)這個系統(tǒng)的各部分之間有發(fā)生相對運(yùn)動的可能性存在時，就仍然需要用隔離物體法，分析各部分的受力情況，分別建立運(yùn)動方程，找到發(fā)生或不發(fā)生相對運(yùn)動的條件． F’T m1 m1 FT

25、 m1g F”T F’T m’ m2 y F x m’g m2g （a） （b） 圖2-8

26、 解 分別取m1、m2和m’為研究對象．根據(jù)題意，m1、m2和m’組成系統(tǒng)以同一加速度a沿水平方向運(yùn)動，因此連接m2的細(xì)繩將發(fā)生傾斜，與豎直方向夾角為，繩中張力的水平方向分量使m2獲得加速度a，各物體受力情況和坐標(biāo)選取如圖2-8(b)所示．不計繩和滑輪的質(zhì)量，忽略摩擦，應(yīng)有，m1和m’之間的壓力大小相等，應(yīng)用牛頓第二定律得m1的運(yùn)動方程為 x方向： y方向： m2的運(yùn)動方程為 x方向： y方向： m’的運(yùn)動方程為 x方向：

27、 y方向： 聯(lián)立求解得 m’對桌面的壓力大小等于桌面對m’的壓力，方向向下．從上式可以看出該壓力量值上等于整個系統(tǒng)所受的重力，因?yàn)橄到y(tǒng)中各物體的運(yùn)動發(fā)生在水平面內(nèi)，豎直方向無加速度和位移． 2-9如圖2-9(a)所示的滑輪組系統(tǒng)中，不計繩子與滑輪質(zhì)量，m1與桌面間無摩擦，求m1和m2的加速度以及繩中張力． 分析 在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，對于滑輪和物體組成的連接體問題，往往忽略滑輪質(zhì)量以及繩與滑輪之間的摩擦，才使得跨過滑輪的繩中張力大小相等．在第五章掌握了剛體的運(yùn)動定律后，將不再忽略滑輪質(zhì)量，問題的分析就更接近實(shí)際了． 當(dāng)存在動滑輪時，動滑輪的加速度

28、和跨過滑輪的繩上連接物體的加速度之間的相互關(guān)系，要根據(jù)題意建立方程確立． FN1 a1 F’T1 F’T1 F’T2 m1 m1 FT1 a2 m1g FT2

29、 m2g m2 （a） （b） 圖2-9 解 分別以m1、m2和動滑輪為研究對象，受力情況如圖2-9（b）所示．m1的加速度a1向右，m2和動滑輪的加速度a2向下．不計繩子與滑輪質(zhì)量，應(yīng)有，．因?yàn)槎贾蛔髦本€運(yùn)動，可取各自的運(yùn)動方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，應(yīng)用牛頓第二定律，它們的運(yùn)動方程分別為 m1： m2： 動滑輪：

30、 　 因?yàn)槔K長不變，當(dāng)m1位移為x時，m2位移為x/2，于是可得加速度a1和a2之間的關(guān)系： 聯(lián)立以上各式，解得 2-10 在如圖所示的滑輪系統(tǒng)中，滑塊A的質(zhì)量為mA，與桌面間的摩擦系數(shù)為，B是起始質(zhì)量為mB的冰塊，因溶化使其質(zhì)量隨時間的減少率為k．不計繩與滑輪質(zhì)量，求A、B由靜止開始運(yùn)動后t時刻的速率． 分析 由于有了微積分的基礎(chǔ)，在大學(xué)物理中可以分析變力作用下的直線運(yùn)動問題．因?yàn)榱κ菚r間的函數(shù)（有些問題中也可能表示為位置的函數(shù)，即為時間的隱函數(shù)），應(yīng)用牛頓定律建立的運(yùn)動方程就成為微分方程，解微分方程并利用初始條件可以獲得所

31、需要的解．在動力學(xué)的其他幾章和電磁學(xué)中都會碰到這類應(yīng)用積分或求解微分方程的問題，這對于鞏固高等數(shù)學(xué)知識，學(xué)會建立物理模型以便為今后工程技術(shù)實(shí)際應(yīng)用打下基礎(chǔ)，有著重要意義．這些問題對于初學(xué)者有一定的難度，但是通過一些習(xí)題的訓(xùn)練，是可以逐步掌握方法和技巧的． A FN a F’T A

32、 FT B a B Ff mAg mBg (a) (b) 圖2-10 解 以滑塊A和冰塊B為研究對象，隔離物體并作受力分析如圖2-10(b)所示．不計繩與滑輪質(zhì)量，繩中張力大小相等，即．取二物體各自運(yùn)動方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，作為連接體它們的加速度大小相等，均為a，應(yīng)

33、用牛頓第二定律得其運(yùn)動方程分別為 滑塊A：　　　　　　　　 冰塊B： 根據(jù)題意，其中t時刻冰塊質(zhì)量，作用于滑塊A的摩擦力，由以上各式可得 因，則上式可寫為 分離變量： 由于初始時，，設(shè)t時刻滑塊和冰塊速率為v，上式兩邊積分 得 2-11 質(zhì)量為0.5kg的物體沿x軸作直線運(yùn)動，在沿x方向的力的作用下，t = 0時其位置與速度分別為x0 =5，v0 =2，求t = 1時該物體的位置和速度．（其中F以N為單位，t以s為單位，x0以m為單位，v0以m/s為單位） 分析 當(dāng)作用于物體的力是時間的函數(shù)時

34、，由建立的運(yùn)動方程積分可以求得速度．所求出的速度必定也是時間的函數(shù)，當(dāng)還需要計算t時刻該物體的位置時，就應(yīng)該利用速度的定義式，再積分求出位置的表示式． 解 由加速度的定義，應(yīng)用牛頓第二定律，可得 分離變量： 兩邊積分得 由初始條件：t = 0時v=v0 =2，得，即 　　　　 　　　(1) 因，上式可寫為 分離變量： 兩邊積分得 由初始條件：t = 0時x=x0 =5，得，即 (2) 當(dāng)t = 1s時，由(1)和(2)式得，． 2-12物體與地面間的摩擦系數(shù)為0.20，以輕

35、繩系于物體之一端，并通過滑輪以一水平力F = 8 N拉此物體,如圖2-12(a)所示．設(shè)物體的質(zhì)量為2kg，(1)問繩與水平方向的夾角為何值時，物體的加速度有最大值？(2)求此時的加速度以及地面對物體的作用力． 分析 若作用力的大小不變，但方向在不斷改變，則該作用力仍然是變力．在力的分析過程中就要特別注意力的作用方向與物體運(yùn)動方向間的關(guān)系． 求某一物理量的最大值或最小值，通?？梢圆捎脭?shù)學(xué)中的求極值的方法，即對該物理量的表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得到相關(guān)參量的方程，根據(jù)題意求解，得到取最大值或最小值的條件． F

36、 y FN F Ff x mg (a) (b

37、) 圖2-12 解 恒力通過滑輪改變方向后作用于物體上，力F的作用方向與物體運(yùn)動方向間的夾角隨物體位置變化，運(yùn)動中物體受力情況如圖2-12(b)所示．取圖中所示的坐標(biāo)系，應(yīng)用牛頓第二定律得運(yùn)動方程為 x方向: y方向: 其中摩擦力，聯(lián)立解得 　　　　 　　(1) (2) (1) 當(dāng)時，加速度有極值，因此由(1)式得 (2) 將上面的結(jié)果代入(1)和(2)式，得 摩擦力為 2-13 質(zhì)量為1.5 kg的物

38、體被豎直上拋，初速度為60 m/s，物體受到的空氣阻力數(shù)值與其速率成正比，，，求物體升達(dá)最高點(diǎn)所需的時間及上升的最大高度． 分析 在忽略空氣阻力的情況下，地面附近的拋體在重力作用下以恒定的重力加速度g運(yùn)動．但在實(shí)際問題中，空氣阻力是不可忽略的，當(dāng)物體的速度較小時，空氣阻力的大小與速率成正比；對于高速運(yùn)動的物體，空氣阻力的大小與速率的平方成正比．下面將應(yīng)用解微分方程的方法，求解一些簡單的直線運(yùn)動情況下有空氣阻力存在時的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動問題．解一階微分方程可以用不定積分也可以用定積分方法．如果采用不定積分，積分常數(shù)利用初始條件確定．分離變量法則是通常采用的比較簡捷的算法． 解 以豎直向上為y坐標(biāo)正

39、向，應(yīng)用牛頓第二定律得物體運(yùn)動方程為 　　　 　　　　　　　(1) 物體達(dá)到最高點(diǎn)時，，初始條件：時，，將上式分離變量并積分： 得　　　　　　 由于，代入(1)式，得 根據(jù)始末條件，分離變量并積分： 得 2-14 將相同材料制作的半徑分別為R和2R的二小球在粘滯系數(shù)為的液體中無初速地釋放．根據(jù)斯托克斯定律，半徑為r的小球速度為v時在液體中受到的粘滯阻力為．試計算兩球的初始加速度之比和終極速度之比． 分析 由斯托克斯定律確定的流體粘滯阻力大小與物體的速率成正比，即為變力，為了求物體的運(yùn)動狀態(tài)，需要用到積分方法．由于在例題2-5中已經(jīng)嚴(yán)格推導(dǎo)出了速度與時間

40、的函數(shù)關(guān)系，以及小球的運(yùn)動方程，因此可以利用其結(jié)果進(jìn)行相關(guān)的計算． 解 設(shè)球的密度為，液體的密度為，二小球質(zhì)量分別為和，作用于二小球的液體浮力分別為和，液體的粘滯阻力分別為和．取豎直向下方向?yàn)閤軸的正方向，則二小球的運(yùn)動方程分別為 初始時刻，則，由以上二式及二小球?qū)?yīng)量間的關(guān)系，得 由例題2-5的(2-27)式，知半徑為r的小球在液體中下落，足夠長時間后的終極速度為，因此半徑分別為R和2R的二小球終極速度比為 2-15 質(zhì)量為1000kg的船，發(fā)動機(jī)熄火時速度為90km/h，水的阻力與船速成正比，F(xiàn)r＝－kv，其中k = 100kg/s．假設(shè)水面靜止不流動，求(1

41、)熄火后船速減小到45km/h所需要的時間；(2)熄火后1分鐘內(nèi)船的行程，以及船的最大航程． 分析 當(dāng)作直線運(yùn)動的物體只受到一個與速率成正比的阻力作用時，用分離變量法解此一階微分方程比較簡單． 解 船只受水的阻力Fr＝－kv作用，船的運(yùn)動方程為 初始條件為時，，將上式分離變量并積分： 得　　　　　　　　　　　 　　　 　 　　　　　　　　　　(1) (1) 當(dāng)船速減小到時，由上式得 (2) 由(1)式得 初始條件為時，，積分得 　　 (2) 當(dāng)時，由上式得 當(dāng)時，由(2)式得船的最大航程為 結(jié)果表明，熄火后1分鐘船

42、已接近停止． 2-16 長度不等的兩根細(xì)繩，各系一物體懸于同一點(diǎn)，使二物體在同一高度處作圓周運(yùn)動，證明這樣的兩個圓錐擺周期相同． 分析 在忽略空氣阻力的情況下，如圖2-16(a)所示的圓錐擺繞豎直軸線回轉(zhuǎn)一圈的時間為定值，稱為周期． y FT h x r mg (a)

43、 (b) 圖2-16 當(dāng)物體作圓周運(yùn)動時，必定存在法向加速度，在分析力和建立運(yùn)動方程的過程中，通常選取指向圓心的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸之一的正向，將外力分解到該方向后，可以建立法向合外力與法向加速度之間的關(guān)系． 證 設(shè)物體回轉(zhuǎn)的水平位置距懸點(diǎn)的高度為h，回轉(zhuǎn)半徑為r，懸線與豎直方向夾角為，物體質(zhì)量為m，物體受重力與懸線張力作用，選豎直方向?yàn)閥軸正向，水平指向回轉(zhuǎn)圓心方向?yàn)閤軸正向，如圖2-16(b)所示，可得運(yùn)動方程為 x方向： y方向： 因?yàn)槲矬w無切向加速度，作勻速圓周運(yùn)動，角速度，又由幾何關(guān)系得，于是可解得 結(jié)果表明，擺動周期T只與物體回轉(zhuǎn)高度有關(guān)，與物體質(zhì)量無關(guān)

44、，與回轉(zhuǎn)半徑無關(guān)． 2-17　在光滑水平面上固定著一半徑為R的圓環(huán)形圍屏，質(zhì)量為m的滑塊沿環(huán)形內(nèi)壁轉(zhuǎn)動，滑塊與壁間摩擦系數(shù)為μ，如圖2-17（a）所示，(1)當(dāng)滑塊速度為v時，求它與壁間的摩擦力及滑塊的切向加速度，(2)求滑塊的速率v由變?yōu)関/3所需的時間。 分析 通常將物體與平面間的滑動摩擦力表示為，而這僅只是當(dāng)物體在水平面內(nèi)運(yùn)動，豎直方向除重力外沒有受到其他外力作用的情況下桌面上產(chǎn)生的滑動摩擦力．準(zhǔn)確地說，滑動摩擦力的大小與物體之間的正壓力成正比，即．因此必須首先確定正壓力的量值，才能正確地計算出滑動摩擦力． 作圓周運(yùn)動或曲線運(yùn)動的物體受到法向和切向力作用時，將具有法向和切向加速

45、度，通常選取隨物體一起運(yùn)動的直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)就在物體上，兩個坐標(biāo)軸方向分別指向法向和切向，稱之為自然坐標(biāo)系，從而可以應(yīng)用牛頓定律建立法向和切向運(yùn)動方程． y R v FN Ff

46、x (a) (b) 圖2-17 解 滑塊在光滑水平面上作圓周運(yùn)動，圍屏作用于滑塊有摩擦力和正壓力，當(dāng)速度為v時，法向加速度為，取如圖2-17（b）所示的坐標(biāo)系，可得運(yùn)動方程為 x方向： 　　　　　　 　 y方向： 　　　　　　 　 則　　　　　　　　　　　　 由于切向加速度，代入上式，分離變量積分： 得　　　　　　　　　　　 　　　 2-18 輕桿之一端系著一塊石頭，使石頭在豎直平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動，如果測得桿中張力的最大值與最小值之差為4.9N，求石塊的質(zhì)量。

47、 FT mg 圖2-18 分析 在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動，物體所受重力為恒力，要維持勻速率圓周運(yùn)動，其他物體施予的張力或壓力大小和方向都要改變，且與重力的合力大小不變，方向始終指向圓心． 解 在石頭圓周運(yùn)動過程中，當(dāng)桿與豎直方向夾角為時，受力情況如圖2-18所示．于是法向運(yùn)動方程為 得　　　　 顯然，當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，有最大值，即 得　　　　　　　　 2-19 人造衛(wèi)星發(fā)射到半徑為R的環(huán)繞地球的圓形軌道上，另一衛(wèi)星發(fā)射到半徑為1.01R的軌道上，求二衛(wèi)星的轉(zhuǎn)

48、動周期之比． 分析 衛(wèi)星運(yùn)動服從萬有引力定律，除地球引力外，不受其他力作用的情況下，如果作圓周運(yùn)動，速率不變，轉(zhuǎn)動周期與角速度關(guān)系為． 解 設(shè)地球質(zhì)量為m0，二衛(wèi)星質(zhì)量分別為m1和m2，繞地球轉(zhuǎn)動的周期分別為和，向心加速度分別為和，應(yīng)用萬有引力定律和牛頓第二定律，得運(yùn)動方程分別為 兩式相比，得　　　　　　　 2-20 若要把一人造衛(wèi)星發(fā)射到赤道正上方，使其成為相對于地球靜止不動的同步衛(wèi)星，應(yīng)把它發(fā)射到距地面多高的地方？若衛(wèi)星軌道半徑的誤差為200m，求它在一年內(nèi)將向東或向西漂移的角度．（地球半徑R = 6.37106 m） 分析 同步衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速

49、度相同，通常作為通訊衛(wèi)星使用．由軌道半徑的誤差引起的位置漂移，要用到誤差理論中的誤差傳遞公式． 解 設(shè)地球質(zhì)量為m0，衛(wèi)星質(zhì)量為m，繞地球轉(zhuǎn)動的周期等于地球自轉(zhuǎn)周期，距地面高度為h時，轉(zhuǎn)動半徑為，應(yīng)用萬有引力定律和牛頓第二定律，得衛(wèi)星運(yùn)動方程為 (1) 在地球表面，有 (2) 由于，由(1)和(2)式可得 (3) 由(3)可得繞地球轉(zhuǎn)動的周期為 若衛(wèi)星軌道半徑的誤差 m時，根據(jù)誤差理論，引起的周期誤差為

50、衛(wèi)星回轉(zhuǎn)一周的弧度為，所以一年內(nèi)漂移的角度為 　　2-21 一水平圓盤的半徑r = 0.2 m，邊緣處放有一質(zhì)量m’= 0.5 kg的滑塊，滑塊與圓盤間的靜摩擦系數(shù)= 0.2，光滑細(xì)繩的一端連接滑塊，另一端穿過圓盤中心的小孔懸掛質(zhì)量m =1.0kg的物體．當(dāng)圓盤繞通過中心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動時，若滑塊仍處在圓盤邊緣無相對滑動，求圓盤轉(zhuǎn)動角速度的最大值和最小值． FT F’T mg 圖2-21 分析 靜摩

51、擦力始終與相對滑動的趨勢方向相反，在達(dá)到最大靜摩擦力之前其量值與物體所受外力和運(yùn)動狀態(tài)有關(guān)． 解 分別以滑塊和懸掛的重物為研究對象，受力情況如圖2-21所示，滑塊在豎直方向受重力和圓盤支承力的作用，水平方向所受的圓盤摩擦力方向可能與繩的張力方向相同，也可能相反，圖中都沒有畫出． 當(dāng)滑塊在圓盤邊緣無相對滑動時，重物處于靜止?fàn)顟B(tài)，有　　 設(shè)圓盤角速度為，物體隨圓盤轉(zhuǎn)動的法向運(yùn)動方程為 對于光滑細(xì)繩，．最大靜摩擦力，因此可得 2-22 如圖2-22（a）所示的平板拖車上距車尾3m處放有一木箱，木箱質(zhì)量為5kg，與車廂板的摩擦系數(shù)為0.15，拖車起動時，勻加速前進(jìn)，速度由零

52、變?yōu)?0m/s用了10s，若車一起動，木箱就開始滑動，求:(1)木箱相對于地面的加速度；(2)木箱到達(dá)車尾滑落之前所經(jīng)過的時間；(3)木箱達(dá)地面時速度的水平分量． 3m a 1m Ff （a） （b） 圖2-22 分析 摩擦力始終與物體相對運(yùn)動趨勢方向相反，但是從其他參考系觀察，可能摩擦力方向與物體運(yùn)動方向相同．應(yīng)用牛頓定律時，必須在慣性參考系中建立運(yùn)動方程，即其中的加速度只能是物體對慣性參考系的加速度． 解 (1) 木

53、箱滑落前只受摩擦力作用，方向與木箱相對汽車運(yùn)動方向相反，即指向汽車運(yùn)動方向，如圖2-22(b)所示．設(shè)木箱對地加速度為a，因，則運(yùn)動方程為 得　　　　　　　　　 (2) 汽車對地的加速度為 應(yīng)用相對運(yùn)動加速度合成定理，木箱對汽車的加速度為 負(fù)號表示木箱相對于汽車向車尾方向加速運(yùn)動．木箱滑落所需時間為 (3) 木箱離開車廂后作平拋運(yùn)動，達(dá)到地面時速度的水平分量與脫離車廂時的速度相同，則 2-23 質(zhì)量m2 = 2.0 kg，長L = 1 m的木板放在傾角的斜面上，木板上質(zhì)量m1 = 5.0 kg 的重物在沿斜面方向恒力F =100 N的作用下從木板下端由靜止開始

54、運(yùn)動，如圖2-23（a）所示．重物與木板間的滑動摩擦系數(shù)，木板與斜面間的滑動摩擦系數(shù)．求當(dāng)重物離開木板時，木板的速度． 分析 有相對運(yùn)動的物體之間的摩擦力和壓力成對出現(xiàn)，在各物體運(yùn)動中起到不同的作用，采用隔離物體法，作出示力圖后，可以準(zhǔn)確地建立各物體的運(yùn)動方程． FN2 a2 a1 y

55、 L FN1 x m2 F F’f1 F Ff1 F’N1 m1 m1g m2g

56、 Ff2 (a) (b) 題2-23 圖 解 分別以重物與木板為研究對象，受力情況如圖2-23（b）所示，m1和m2之間的摩擦力與壓力關(guān)系為及，取xy坐標(biāo)系如圖，重物對地加速度為a1，木板對地加速度為a2，應(yīng)用牛頓第二定律，重物的運(yùn)動方程為 x方向： y方向： 木板的運(yùn)動方程為 x方向： y方向： 由于，，聯(lián)立以上各式，解得 根據(jù)相對運(yùn)動的加速度合成定理，重物對木板的加速度為 重物離開木板前運(yùn)動時間為 重物離開木板時木板速度為