精校版數(shù)學人教A版選修45優(yōu)化練習：第三講 達標檢測 Word版含解析

4、2＋12＋12)≥(＋＋2)2， ∴(＋＋2)2≤3，＋＋2≤，當且僅當a＝，b＝，c＝時取等號． 答案：B 8．函數(shù)y＝3＋4的最大值為(　　) A. B．5 C．7 D．11 解析：函數(shù)的定義域為[5,6]，且y>0. y＝3＋4≤＝5. 當且僅當＝. 即x＝時取等號．所以ymax＝5. 答案：B 9．若x，y，z是非負實數(shù)，且9x2＋12y2＋5z2＝9，則函數(shù)u＝3x＋6y＋5z的最大值為(　　) A．9 B．10 C．14 D．15 解析：u2＝(3x＋6y＋5z)2≤[(3x)2＋(2y)2＋(z)2][12＋()2＋()2]＝99＝81，當且僅

5、當x＝，y＝，z＝1時等號成立．故所求的最大值為9. 答案：A 10．若5x1＋6x2－7x3＋4 x4＝1，則3x＋2x＋5x＋x的最小值是(　　) A. B． C．3 D． 解析：因為(3x＋2x＋5x＋x)≥ 2＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1， 所以3x＋2x＋5x＋x≥. 答案：B 11．設(shè)c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均為正數(shù))，則＋＋…＋的最小值是(　　) A. B．n C．1 D．不能確定 解析：不妨設(shè)0

6、＋…＋≥＋＋…＋＝n. 答案：B 12．已知a，b，c∈R＋，設(shè)P＝2(a3＋b3＋c3)，Q＝a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)，則(　　) A．P≤Q B．PQ 解析：設(shè)a≥b≥c，a2≥b2≥c2， 順序和a3＋b3＋c3，亂序和a2b＋b2c＋c2a與a2c＋b2a＋c2b， ∴a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a， a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b， 2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)， ∴P≥Q，選C. 答案：C 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案

7、填在題中的橫線上) 13．已知x>0，y>0，且2x＋y＝6，則＋的最小值為________． 解析：＋＝(2x＋y)＝[()2＋()2]≥2 ＝(＋1)2＝， 當且僅當＝，即x＝6－3，y＝6－6時取等號． 答案：(3＋2) 14．如圖所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，則陰影部分的矩形的面積之和________空白部分的矩形的面積之和． 解析：由圖可知，陰影面積＝a1b1＋a2b2，而空白面積＝a1b2＋a2b1，根據(jù)順序和≥反序和知，應(yīng)填“≥”． 答案：≥ 15．設(shè)實數(shù)a1，a2，a3滿足條件a1＋a2＋a3＝2，則a1a2＋a2a3＋a3a1的最大值為_

8、_______． 解析：由柯西不等式，得(a＋a＋a)(12＋12＋12)≥(a1＋a2＋a3)2＝4， 于是a＋a＋a≥. 故a1a2＋a2a3＋a3a1＝[(a1＋a2＋a3)2－(a＋a＋a)]＝22－(a＋a＋a)≤2－＝. 當且僅當a1＝a2＝a3＝時取等號． 答案： 16. 已知正實數(shù)x1，x2，…，xn滿足x1＋x2＋…＋xn＝P，P為定值． 則F＝＋＋…＋＋的最小值為________． 解析：不妨設(shè)00. 且0

9、 ＝x1＋x2＋…＋xn ＝P(定值)， 即式子F＝＋＋…＋＋的最小值為P. 答案：P 三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)已知a>0，b>0，且a＋b＝1.求證：＋≤2. 證明：由柯西不等式得： (1＋1)2≤(2a＋1＋2b＋1)(1＋1)＝8. 所以＋≤2. 18．(12分)若正數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值． 解析：因為正數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1， 所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋ (3c＋2)] ＝ ≥ 2＝9. 又3a＋2＋3b＋2＋3c＋2＝3(a＋b＋c)

10、＋6＝9， 故＋＋≥1，當且僅當3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝時上式取等號． 19．(12分)設(shè)a、b、c∈R＋，利用排序不等式證明： (1)aabb>abba(a≠b)； (2)a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b. 證明：(1)不妨設(shè)a>b>0，則lg a>lg B． 從而alg a＋blg b>alg b＋blg a， ∴l(xiāng)g aa＋lg bb>lg ba＋lg ab， 即lg aabb>lg baab，故aabb>abba. (2)不妨設(shè)a≥b≥c>0，則lg a≥lg b≥lg c. ∴alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg

11、b＋alg c， alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c. ∴2alg a＋2blg b＋2clg c ≥(b＋c)lg a＋(a＋c)lg b＋(a＋b)lg c. ∴l(xiāng)g(a2ab2bc2c)≥lg(ab＋cba＋cca＋b)． 故a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b. 20．(12分)已知正數(shù)x、y、z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范圍． 解析：＋＋≤＋＋ ＝ ≤ ＝，λ的取值范圍是. 21．(13分)設(shè)a1，a2，…，an是1,2，…，n的一個排列，求證：＋＋…＋≤＋＋…＋. 證明：設(shè)b1，b2

12、，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一個排列，且b1>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n， 利用排序不等式有： ＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋. 22．(13分)某自來水廠要制作容積為500 m3的無蓋長方體水箱，現(xiàn)有三種不同規(guī)格的長方形金屬制箱材料(單位：m)： ①1919；②3010；③2512. 請你選擇其中的一種規(guī)格材料，并設(shè)計出相應(yīng)的制作方案(要求：①用料最?。虎诤啽阋仔?． 解析：設(shè)無蓋長方體水箱的長、

13、寬、高分別為a m、b m、c m， 由題意，可得abc＝500， 長方體水箱的表面積為：S＝2bc＋2ac＋ab. 由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥3＝3＝300. 當且僅當2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5時， S＝2bc＋2ca＋ab＝300為最小， 這表明將無蓋長方體的尺寸設(shè)計為10105(即2∶2∶1)時，其用料最?。? 如何選擇材料并設(shè)計制作方案，就要研究三種供選擇的材料，哪一種更易制作成長方體水箱的平面展開圖． 逆向思維，先將無蓋長方體展開成平面圖，如圖(1)，進一步剪拼成圖(2)的長30 m，寬10 m(長∶寬＝3∶1)的長方形．因此，應(yīng)選擇規(guī)格3010的制作材料，制作方案如圖(3)． 可以看出，圖(3)這種“先割后補”的方案不但可使用料最省，而且簡便易行． 最新精品資料