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1、最新精選優(yōu)質數(shù)學資料
最新精選優(yōu)質數(shù)學資料
1.2.3 直線與平面的位置關系（2）
教學目標：
1．掌握直線與直線垂直的概念；了解點到平面的距離；直線到平面的距離；
2．掌握直線與平面垂直的判定定理；
3．能夠初步運用線面垂直的定義和判定定理證明簡單命題．
教材分析及教材內容的定位：
垂直關系是歷年高考的核心內容之一，空間的垂直有三種：線線垂直、線面垂直和面面垂直；線面垂直是聯(lián)系線線垂直和面面垂直的橋梁，因而本節(jié)課是重中之重. 線面垂直判定定理運用的關鍵在于證明直線和平面內的兩條相交直線垂直；對于線面垂直的定義，用它來證明線面垂直較為困難，而已知線面垂直時，根據(jù)定義可知這條
2、直線垂直于這個平面內的所有直線，提供了一種證明線線垂直的方法，即要證明線線垂直，則需要證明線面垂直.線面垂直的性質定理則為證明線線平行提供了一種重要方法.
教學重點：
直線與平面垂直的概念、判定定理和性質定理；
教學難點：
直線與平面垂直的概念及判定定理的歸納和概括.
教學方法：
問題探究，自主發(fā)現(xiàn)式．
教學過程：
一、問題情境
1．復習：線面平行的定義，判定定理與性質定理
2．在如圖所示的長方體中，除了認識的線面平行、線在平面內外，是否存在線面垂直呢？如何判定一條直線與平面垂直呢？
二、學生活動
1．圓錐的旋轉軸OA與底面上的任意一條直線是否垂直？為什么
3、？思考：如何定義一條直線與一個平面垂直？
D1
C1
B
A
C
D
B1
A1
2．平面中,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.那么,在空間：(1)過一點有幾條直線與已知平面垂直? (2)過一點有幾個平面與已知直線垂直？
3．在長方體AC1中，棱BB1與底面ABCD 垂直．觀察BB1與AB、BC 的位置關系，由此你認為保證BB1⊥底面ABCD的條件是什么？
4. 如何將一張長方形賀卡直立于桌面？由此，你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？
三、建構數(shù)學
1．直線與平面垂直的定義．
如果一條直線 l 和一個平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與
4、平面α互相垂直. 記作：l⊥α．
直線l 叫做平面的垂線，
平面α叫做直線l 的垂面．
垂線l和平面α的交點稱為垂足.
2．在空間：
(1) 過一點有且只有一條直線與已知平面垂直；
(2) 過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.
3．直線與平面垂直的判定定理
n
P
m
如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面．
符號語言：
圖形語言：
簡記為：線線垂直線面垂直
4．點到平面的距離：從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足之間的距離，叫做這個點到這個平面的距離．
5．直線與平面垂直的性質：
（1）定義：如果一條直線垂直于
5、一個平面，則這條直線垂直于這個平面內的所有直線；
a
b
α
（2）性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.
符號語言：a⊥α，b⊥αa∥b ；圖形語言：
（用反證法證明）
6．直線到平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離.
四、數(shù)學運用
1．例題.
a
b
α
例1 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．
已知：a⊥α，a∥b ；
求證：b⊥α .
例2 已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥AB，PA⊥AC，M，N分別是AB，PC的中點， (
6、1)證明：BC⊥面PAB；(2)求證：MN⊥AB．
例3 已知直線l∥平面α，求證：直線l上各點到平面α的距離相等.
l
α
2．練習.
（1）下列說法中正確的有 .
①如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線，那么,這條直線就與這個平面垂直.
②過一點有且只有一條直線和已知直線垂直.
③若A，B兩點到平面α的距離相等，則直線AB∥α.
④已知直線a在平面α內，若l⊥α，則l⊥α.
⑤已知直線l和平面α，若l⊥α，則l和α相交.
（2）若AB的中點到平面α的距離為4cm，點A到平面α的距離為6cm，則點B到平
7、面α的距離為_______cm．
P
A
B
l
α
β
（3）如圖，已知PA⊥a,PB⊥b,垂足分別為A、B，且a∩b＝l, 求證：l⊥平面PAB．
（4）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求證：AC⊥BD.
A
B
C
D
思考：能否構造出一個三棱錐A—BCD，使它的四個面均為直角三角形？
五、要點歸納與方法小結
本節(jié)課學習了以下內容：
1．直線與平面垂直的定義；
2．直線與平面垂直的判定定理；
3. 直線與平面垂直的性質：
（1）定義：如果一條直線垂直一個平面，則這條直線垂直于這個平面內的所有直線；
（2）性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.
4. 證明線線垂直通常通過線面垂直來證明；而證明線面垂直則通過線線垂直來證明.
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