精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修三教學(xué)案:第三章167;1 隨機(jī)事件的概率 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 [核心必知] 1.概率 在相同的條件下,大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動,即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.這時(shí),我們把這個常數(shù)叫作隨機(jī)事件A的概率,記為P(A). 2.頻率與概率的關(guān)系 頻率反映了一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度,但頻率是隨機(jī)的,而概率是一個確定的值,因此,人們用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.在實(shí)際問題中,某些隨機(jī)事件的概率往往難以確切得到,常常通過做大量的重復(fù)試驗(yàn),用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率作為它的概率的估計(jì)值. 3.隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的,但是隨機(jī)性中含有規(guī)律性.認(rèn)識了這種隨機(jī)性中的規(guī)律性,

2、就能使我們比較準(zhǔn)確地預(yù)測隨機(jī)事件發(fā)生的可能性.概率只是度量事件發(fā)生的可能性的大小,不能確定是否發(fā)生. 4.任何事件的概率是區(qū)間[0,1]上的一個確定數(shù),它度量該事件發(fā)生的可能性大小.小概率(接近于0)事件不是不發(fā)生,而是很少發(fā)生,大概率(接近于1)事件不是一定發(fā)生,而是經(jīng)常發(fā)生. [問題思考] 1.把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)擲1 000次,其中有498次正面朝上,502次反面朝上,那么說此次試驗(yàn)正面朝上的頻率為0.498,擲一次硬幣正面朝上的概率為0.5,這樣理解正確嗎? 提示:正確.由題意,正面朝上的頻率為=0.498,通過做大量的試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn),正面朝上的頻率都在0.5附近擺動,故擲一

3、次硬幣,正面朝上的概率是0.5.即0.498是1 000次試驗(yàn)中正面朝上的頻率;而概率是一個確定的常數(shù),是客觀存在的,與每次試驗(yàn)無關(guān). 2.如果某種病治愈的概率是0.3,那么10個人中,前7個人沒有治愈,后3個人一定能夠治愈嗎?如何理解治愈的概率是0.3? 提示:如果把治療一個病人作為一次試驗(yàn),對于一次試驗(yàn)來說,其結(jié)果是隨機(jī)的,因此前7個人沒有治愈是可能的,對后3個人來說,其結(jié)果仍然是隨機(jī)的,有可能治愈,也可能沒有治愈. “治愈的概率是0.3”指隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,即治療人數(shù)的增加,大約有30%的人能夠治愈,如果患病的有1 000人,那么我們根據(jù)治愈的頻率應(yīng)在治愈的概率附近擺動這一前提,

4、就可以認(rèn)為這1 000個人中大約有300人能治愈. 講一講 1.下面的表中列出10次拋擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果.n為拋擲硬幣的次數(shù),m為硬幣正面向上的次數(shù).計(jì)算每次試驗(yàn)中“正面向上”這一事件的頻率,并考查它的概率. 實(shí)驗(yàn)序號 拋擲的次數(shù)n 正面向上的次數(shù)m “正面向上”出現(xiàn)的頻率 1 500 251 2 500 249 3 500 256 4 500 253 5 500 251 6 500 246 7 500 244 8 500 258 9 500 262 10 500 247

5、 [嘗試解答] 利用頻率的定義,可分別得出這10次試驗(yàn)中“正面向上”這一事件出現(xiàn)的頻率依次為: 0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494,這些數(shù)字在0.5附近左右擺動,由概率的統(tǒng)計(jì)定義可得,“正面向上”的概率為0.5. 頻數(shù)、頻率和概率三者之間的關(guān)系: (1)頻數(shù)是指在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),頻率是頻數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值,而概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的規(guī)律體現(xiàn); (2)隨機(jī)事件的頻率在每次試驗(yàn)中都可能會有不同的結(jié)果,但它具有一定的穩(wěn)定性;概率是頻率的穩(wěn)定值,不會隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化. 練一

6、練 1.某籃球運(yùn)動員在最近幾場大賽中罰球投籃的結(jié)果如下: 投籃次數(shù)n 8 10 12 9 10 16 進(jìn)球次數(shù)m 6 8 9 7 7 12 進(jìn)球頻率 (1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率; (2)這位運(yùn)動員投籃一次進(jìn)球的概率是多少? 解:(1)進(jìn)球的頻率依次是:0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75. (2)這位運(yùn)動員投籃一次進(jìn)球的概率P≈0.76. 講一講  2.擲一顆均勻的正方體骰子得到6點(diǎn)的概率是,是否意味著把它擲6次能得到1次6點(diǎn)? [嘗試解答] 把一顆均勻的骰子擲6次相當(dāng)于做6次試驗(yàn),因?yàn)槊?/p>

7、次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的,所以做6次試驗(yàn)的結(jié)果也是隨機(jī)的.這就是說,每擲一次總是隨機(jī)地出現(xiàn)一個點(diǎn)數(shù),可以是1點(diǎn),2點(diǎn),也可以是其他點(diǎn)數(shù),不一定出現(xiàn)6點(diǎn).所以擲一顆骰子得到6點(diǎn)的概率是,并不意味著把它擲6次能得到1次6點(diǎn). 隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的,但隨機(jī)中含有規(guī)律性,而概率恰是其規(guī)律在數(shù)量上的反映,概率是客觀存在的,它與試驗(yàn)次數(shù)沒有關(guān)系. 練一練 2.?dāng)S一枚硬幣,連續(xù)出現(xiàn)5次正面向上,有人認(rèn)為下次出現(xiàn)反面向上的概率大于,這種理解正確嗎? 解:不正確.?dāng)S一次硬幣,作為一次試驗(yàn),其結(jié)果是隨機(jī)的,但通過做大量的試驗(yàn),呈現(xiàn)一定的規(guī)律性,即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性

8、都為.連續(xù)5次正面向上這種結(jié)果是可能的,對下一次試驗(yàn)來說,仍然是隨機(jī)的,其出現(xiàn)正面和反面的可能性還是,不會大于. 講一講 3.為了估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量,可以使用以下方法:先從該保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝,如200只,給每只天鵝作上記號且不影響其存活,然后放回保護(hù)區(qū).經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間,讓它們和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合,再從保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝,如150只.查看其中有記號的天鵝,設(shè)有20只.試根據(jù)上述數(shù)據(jù),估計(jì)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量. [嘗試解答] 設(shè)保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量為n,假定每只天鵝被捕到的可能性是相等的,從保護(hù)區(qū)中任捕一只,設(shè)事件A={捕到帶有記號的天鵝},

9、則P(A)=. 第二次從保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝,其中有20只帶有記號,由概率的定義可知P(A)≈. 所以,≈,解得n≈1 500, 所以該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1 500. 利用頻率近似等于概率的關(guān)系求未知量: (1)抽出m個樣本進(jìn)行標(biāo)記,設(shè)總體容量為n,則標(biāo)記概率為; (2)隨機(jī)抽取n1個個體,發(fā)現(xiàn)其中m1個被標(biāo)記,則標(biāo)記頻率為; (3)用頻率近似等于概率建立關(guān)系式≈; (4)求出n≈,注意這個n值僅是真實(shí)值的近似. 練一練 3.為了估計(jì)水庫中的魚的條數(shù),可以使用以下的方法:先從水庫中捕出一定數(shù)量的魚,如2 000條,給每條魚作上記號且不影響其存活,然后放回水庫

10、.經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間,讓它們和水庫中其余的魚充分混合,再從水庫中捕出一定數(shù)量的魚,如500條,查看其中有記號的魚,設(shè)有40條.試根據(jù)上述數(shù)據(jù),估計(jì)水庫中魚的條數(shù). 解:設(shè)水庫中魚的條數(shù)為n,從水庫中任捕一條,捕到標(biāo)記魚的概率為.第二次從水庫中捕出500條,帶有記號的魚有40條,則捕到帶記號的魚的頻率(代替概率)為,由≈,得n≈25 000,所以水庫中約有魚25 000條. 【解題高手】【易錯題】 一家保險(xiǎn)公司連續(xù)多年對某城市出租車事故做了調(diào)查,發(fā)現(xiàn)出租車發(fā)生事故的頻率總是在0.001左右.如果這個調(diào)查繼續(xù)做下去,10年后發(fā)生事故的頻率就會等于0.001(假定出租車發(fā)生事故都不會隨著時(shí)間的改變

11、而改變).你覺得這種看法對嗎?說出你的理由. [錯解] 這種看法是正確的,10年后發(fā)生事故的頻率等于0.001. [錯因] 頻率會在某個常數(shù)附近擺動,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,擺動會越來越小,但不一定等于該常數(shù). [正解] 這種看法是錯誤的.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率會穩(wěn)定于一個常數(shù)附近,這個常數(shù)就是概率,但穩(wěn)定于不一定是等于,況且0.001未必是出租車發(fā)生事故的概率. 1.下列事件: ①長度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形; ②經(jīng)過有信號燈的路口,遇上紅燈; ③從10個玻璃杯(其中8個正品,2個次品)中,任取3個,3個都是次品; ④下周六是晴天. 其中,是隨機(jī)事

12、件的是(  ) A.①②  B.②③ C.③④ D.②④ 解析:選D ①為必然事件;對于③,次品總數(shù)為2,故取到的3個不可能都是次品,所以③是不可能事件;②④為隨機(jī)事件. 2.在某市的天氣預(yù)報(bào)中有“降水概率預(yù)報(bào)”,例如預(yù)報(bào)“明天降水概率為90%”,這是指(  ) A.明天該地區(qū)約有90%的地方會降水,其余地方不降水 B.明天該地區(qū)約有90%的時(shí)間會降水,其余時(shí)間不降水 C.在氣象臺的專家中,有90%認(rèn)為明天會降水,其余專家認(rèn)為不降水 D.明天該地區(qū)降水的可能性為90% 解析:選D 明天降水的概率為90%指的是明天該地區(qū)降水的可能性為90%. 3.在5張不同的彩票

13、中有2張獎票,5個人依次從中各抽取1張,則每個人抽到獎票的概率(  ) A.遞減 B.遞增 C.相等 D.不確定 解析:選C 因?yàn)槊總€人獲得獎票的概率均為,即抽到獎票的概率與抽取順序無關(guān). 4.下列事件:①明天進(jìn)行的某場足球賽的比分是3∶1;②下周一某地的最高氣溫與最低氣溫相差10 ℃;③同時(shí)擲兩枚大小相同的骰子,向上一面的兩個點(diǎn)數(shù)之和不小于2;④射擊一次,命中靶心;⑤當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí),x2+4x+4<0.其中必然事件有________,不可能事件有________,隨機(jī)事件有________.(填序號) 答案:③?、荨、佗冖? 5.某工廠為了節(jié)約用電,規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1

14、 000度,按照上個月的用電記錄,在30天中有12天的用電量超過指標(biāo),若第二個月仍沒有具體的節(jié)電措施,則該月的第一天用電量超過指標(biāo)的概率是________. 解析:由頻率定義可知用電量超過指標(biāo)的頻率為=0.4,頻率約為概率. 答案:0.4 6.某質(zhì)檢員從一批種子中抽取若干組種子,在同一條件下進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn),有關(guān)數(shù)據(jù)如下(單位:粒): 種子粒數(shù) 25 70 130 700 2 000 3 000 發(fā)芽粒數(shù) 24 60 116 639 1 806 2 713 發(fā)芽率 (1)計(jì)算各組種子的發(fā)芽率,填入上表;(精確到0.01) (2

15、)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計(jì)種子的發(fā)芽率. 解:(1)種子發(fā)芽率從左到右依次為0.96,0.86,0.89,0.91,0.90,0.90. (2)由(1)知,發(fā)芽率逐漸穩(wěn)定在0.90,因此可以估計(jì)種子的發(fā)芽率為0.90. 一、選擇題 1.“某彩票的中獎概率為”意味著(  ) A.買100張彩票就一定能中獎 B.買100張彩票能中一次獎 C.買100張彩票一次獎也不中 D.購買彩票中獎的可能性為 答案:D 2.拋擲一枚骰子兩次,用隨機(jī)模擬方法估計(jì)上面的點(diǎn)數(shù)和為7的概率,共進(jìn)行了兩次試驗(yàn),第一次產(chǎn)生了60組隨機(jī)數(shù),第二次產(chǎn)生了200組隨機(jī)數(shù),那么這兩次估計(jì)的結(jié)果相比較(  )

16、A.第一次準(zhǔn)確 B.第二次準(zhǔn)確 C.兩次的準(zhǔn)確率相同 D.無法比較 解析:選B 用隨機(jī)模擬方法估計(jì)概率時(shí),產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)越多,估計(jì)的結(jié)果越準(zhǔn)確. 3.下列結(jié)論正確的是(  ) A.事件A發(fā)生的概率P(A)滿足0<P(A)<1 B.事件A發(fā)生的概率P(A)=0.999,則事件A是必然事件 C.用某種藥物對患有胃潰瘍的500 名病人進(jìn)行治療,結(jié)果有380人有明顯的療效,現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥,則估計(jì)有明顯療效的可能性為76% D.某獎券的中獎率為50%,則某人購買此獎券10張,一定有5張中獎 解析:選C A不正確,因?yàn)?≤P(A)≤1;B不正確,若事件A是必然事件

17、,則P(A)=1;D不正確,某獎券的中獎率為50%,10張獎券可能會有5張中獎,但不一定會發(fā)生. 4.給出下列三個命題,其中正確命題的個數(shù)為(  ) ①設(shè)有一批產(chǎn)品,已知其次品率為0.1,則從中任取100件,必有10件是次品;②做7次拋硬幣的試驗(yàn),結(jié)果3次出現(xiàn)正面朝上,則硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率是;③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率. A.0    B.1    C.2    D.3 解析:選A ①②③均不正確. 5.在給病人動手術(shù)之前,外科醫(yī)生會告知病人或家屬一些情況,其中有一項(xiàng)是說這種手術(shù)的成功率大約是99%,下列解釋正確的是(  ) A.100個手術(shù)有99個手術(shù)成

18、功,有1個手術(shù)失敗 B.這個手術(shù)一定成功 C.99%的醫(yī)生能做這個手術(shù),另外1%的醫(yī)生不能做這個手術(shù) D.這個手術(shù)成功的可能性是99% 解析:選D 成功率大約是99%,說明手術(shù)成功的可能性是99%. 二、填空題 6.一個口袋裝有除顏色外其他均相同的白球、紅球共100個,若摸出一個球?yàn)榘浊虻母怕蕿椋瑒t估計(jì)這100個球內(nèi),有白球________個. 解析:100=75. 答案:75 7.在200件產(chǎn)品中,有192件一級品,8件二級品,則下列事件: ①在這200件產(chǎn)品中任意選出9件,全部是一級品;②在這200件產(chǎn)品中任意選出9件,全部是二級品;③在這200件產(chǎn)品中任意選出9件,

19、不全是二級品;④在這200件產(chǎn)品中任意選出9件,其中不是一級品的件數(shù)小于10; 其中________是必然事件;________是不可能事件;________是隨機(jī)事件. 解析:200件產(chǎn)品中,8件是二級品,現(xiàn)從中任意選出9件,當(dāng)然不可能全是二級品,不是一級品的件數(shù)最多為8,小于10. 答案:③④ ②?、? 8.下列說法: ①一年按365天計(jì)算,兩名學(xué)生的生日相同的概率是; ②甲乙兩人做游戲:拋一枚骰子,向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù),甲勝,向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù),乙勝,這種游戲是公平的; ③乒乓球比賽前,決定誰先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個數(shù)字中各抽取1個,再比較大小,這種抽簽方法是公平的;

20、 ④昨天沒有下雨,則說明昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)“降水概率為90%”是錯誤的. 其中正確的有________(填序號). 解析:對于②,甲勝、乙勝的概率都是,是公平的;對于④,降水概率為90%只說明下雨的可能性很大,但也可能不下雨,故④錯誤. 答案:①②③ 三、解答題 9.高一(2)班有50名同學(xué),其中男、女各25人,今有這個班的一個學(xué)生在街上碰到一位同班同學(xué),試問:碰到異性同學(xué)的概率大還是碰到同性同學(xué)的概率大?有人說可能性一樣大,這種說法對嗎? 解:這種說法不正確.這個同學(xué)在街上碰到的同班同學(xué)是除了自己以外的49個人中的一個,其中碰到同性同學(xué)有24種可能,碰到異性同學(xué)有25種可能,每

21、碰到一個同學(xué)相當(dāng)于做了一次試驗(yàn),因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果是隨機(jī)的,所以碰到異性同學(xué)的可能性大,碰到同性同學(xué)的可能性?。? 10.某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1 000支,該公司對這些燈管的使用壽命(單位:小時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示: 分組 [500,900) [900,1 100) [1 100,1 300) [1 300,1 500) [1 500,1 700) [1 700,1 900) [1 900,+∞) 頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42 頻率 (1)將各組的頻率填入表中; (2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果,估計(jì)燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率. 解:(1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)樣本中壽命不足1 500小時(shí)的頻數(shù)是 48+121+208+223=600, 所以樣本中壽命不足1 500小時(shí)的頻率是=0.6,即燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率約為0.6.

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