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第五節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
考點(diǎn)一
指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值
[例1] 化簡(jiǎn)：(1)(a＞0，b＞0)；
(2)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
[自主解答] (1)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1.
(2)原式＝－＋－－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.[來(lái)源:]
【方法規(guī)律】
指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)律
指數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，要注意與其他代數(shù)式的化簡(jiǎn)規(guī)則相結(jié)合，遇到同底數(shù)冪相乘或相除，可依據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn)，一般情況下，宜化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．對(duì)于
2、化簡(jiǎn)結(jié)果，形式力求統(tǒng)一．
計(jì)算：(1) ；
(2)(0.027)－－－2＋－(－1)0；
(3)已知m＋m－＝4，求.
解：(1)原式＝(aa－)(a－a)＝(a3)(a2)＝aa＝1.
(2)原式＝－－72＋－1＝－49＋－1＝－45.
(3)∵m＋m－＝4，∴m＋m－1＋2＝16，
∴m＋m－1＝14，
∴＝＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15.
考點(diǎn)二
指數(shù)函數(shù)的圖象
[例2] (1)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是( )
A B
3、C D
(2)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒(méi)有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________．
[自主解答] (1)由已知并結(jié)合圖象可知0
4、y＝|2x－1|”，且與直線y＝b有兩個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍．
解：曲線y＝|2x－1|與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(0,1)．
【方法規(guī)律】
指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用
(1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到其圖象．
(2)一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解．
1．若函數(shù)y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則a、b的取值范圍分別是________．
解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax＋b－1
5、(a＞0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，所以即
答案：a∈(0,1) b∈(－∞，0)
2．(2014金華模擬)若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a＞0，a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：分底數(shù)0＜a＜1與a＞1兩種情況，分別在同一直角坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，如圖，
圖1 圖2
從圖中可以看出，只有當(dāng)0＜a＜1，且0＜2a＜1，即0＜a＜時(shí)，兩函數(shù)才有兩個(gè)交點(diǎn)．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
答案：
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
1．高考常以選擇題或填空題的形式考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
6、及應(yīng)用，難度偏小，屬中低檔題．[來(lái)源:]
2．高考對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：
(1)比較指數(shù)式的大?。?
(2)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式；
(3)求解指數(shù)型函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．
[例3] (1)(2012天津高考)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
(2)(2014紹興模擬)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x＜－2或x＞4} B．
7、{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
(3)(2012山東高考)若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________.
[自主解答] (1)∵a＝21.2，b＝－0.8＝20.8，
∴a＞b＞1.
又c＝2log52＝log54＜1，∴a＞b＞c.
(2)f(x)為偶函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝[來(lái)源:]
當(dāng)f(x－2)＞0時(shí)，
有或
解得x＞4或x＜0.
(3)g(x)
8、在[0，＋∞)上為增函數(shù)，則1－4m>0，即m<.若a>1，則函數(shù)f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增，最小值為＝m，最大值為a2＝4，解得a＝2，m＝，與m<矛盾；當(dāng)0
9、范圍問(wèn)題．在解決涉及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或最值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意對(duì)底數(shù)a的分類(lèi)討論．
1．設(shè)a＝40.8，b＝80.46，c＝－1.2，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
解析：選A ∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝－1.2＝21.2，又∵1.6＞1.38＞1.2，∴21.6＞21.38＞21.2.即a＞b＞c.
2．若函數(shù)f(x)＝則不等式－≤f(x)≤的解集為( )
A．[－1,2)∪[3，＋∞) B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C.
10、 D．(1， ]∪[3，＋∞)
解析：選B 函數(shù)f(x)＝和函數(shù)g(x)＝的圖象如圖所示，從圖象上可以看出不等式的解集是兩個(gè)無(wú)限區(qū)間．當(dāng)x<0時(shí)，是區(qū)間(－∞，－3]，當(dāng)x≥0時(shí)，是區(qū)間[1，＋∞)，故不等式－≤f(x)≤的解集為(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
3.(2014紹興模擬)設(shè)a＞0且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，則a的值為_(kāi)_______．
解析：令t＝ax(a＞0且a≠1)，
則原函數(shù)化為y＝(t＋1)2－2(t＞0)．
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此時(shí)f(t)在上為增函數(shù)．
所以f(t)max＝f
11、＝2－2＝14.
所以2＝16，
即a＝－或a＝.
又因?yàn)閍＞0，所以a＝.
②當(dāng)a＞1時(shí)，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此時(shí)f(t)在上是增函數(shù)．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
所以(a＋1)2＝16，即a＝－5或a＝3，[來(lái)源:]
又因?yàn)閍>0，所以a＝3.
綜上得a＝或a＝3.
答案：或3
—————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)關(guān)系——分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系
根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算．
2個(gè)注意點(diǎn)——應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)
(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與0
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第二章 ：第五節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)突破熱點(diǎn)題型
