高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案53】拋物線含答案

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1、學(xué)案53　拋物線 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想． 自主梳理 1．拋物線的概念 平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(F?l)距離______的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的__________，直線l叫做拋物線的________． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn) O(0,0) 對稱軸 y＝0

2、x＝0 焦點(diǎn) F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－) 離心率 e＝1 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 開口方向 向右 向左 向上 向下 自我檢測 1．(2010四川)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 2．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 3．(2011陜西)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)

3、線方程為x＝－2，則拋物線的方程是(　　) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 4．已知拋物線y2＝2px (p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1||FP3| 5．(2011佛山模擬)已知拋物線方程為y2＝2px (p>0)，過該拋物線焦點(diǎn)F且不與x軸垂直的直線AB交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過

4、點(diǎn)A、點(diǎn)B分別作AM、BN垂直于拋物線的準(zhǔn)線，分別交準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，那么∠MFN必是(　　) A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．以上皆有可能 探究點(diǎn)一　拋物線的定義及應(yīng)用 例1　已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時P點(diǎn)的坐標(biāo)． 變式遷移1　已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A. B. C．(1,2) D．(1，－2) 探究點(diǎn)二　求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2

5、　(2011蕪湖調(diào)研)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m，－3)到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程． 變式遷移2　根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)拋物線的焦點(diǎn)F是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點(diǎn)； (2)過點(diǎn)P(2，－4)． 探究點(diǎn)三　拋物線的幾何性質(zhì) 例3　過拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F的直線和拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示． (1)若A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，求證：y1y2＝－p2； (2)若直線AO與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，求證

6、：BC∥x軸． 變式遷移3　已知AB是拋物線y2＝2px (p>0)的焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．求證： (1)x1x2＝； (2)＋為定值． 分類討論思想的應(yīng)用 例　(12分)過拋物線y2＝2px (p>0)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過B點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ？ 多角度審題　這是一道探索存在性問題，應(yīng)先假設(shè)存在，設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出直線AB的方程，利用方程組和向量條件求出λ.

7、 【答題模板】 解　假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ. 拋物線方程為y2＝2px (p>0)， 則F，準(zhǔn)線l：x＝－， (1)當(dāng)直線AB的斜率不存在，即AB⊥x軸時， 交點(diǎn)A、B坐標(biāo)不妨設(shè)為：A，B. ∵BD⊥l，∴D， ∴＝，＝，∴存在λ＝1使＝λ.[4分] (2)當(dāng)直線AB的斜率存在時， 設(shè)直線AB的方程為y＝k (k≠0)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D，x1＝，x2＝， 由　得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝，[8分] ＝(－x1，－y1)＝，＝＝， 假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則，解得λ＝，∴存在實(shí)數(shù)λ＝，使＝λ. 綜上所述，

8、存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ.[12分] 【突破思維障礙】 由拋物線方程得其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，按斜率存在和不存在討論，由直線方程和拋物線方程組成方程組，研究A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，求出和的坐標(biāo)，判斷λ是否存在． 【易錯點(diǎn)剖析】 解答本題易漏掉討論直線AB的斜率不存在的情況，出現(xiàn)錯誤的原因是對直線的點(diǎn)斜式方程認(rèn)識不足． 1．關(guān)于拋物線的定義 要注意點(diǎn)F不在定直線l上，否則軌跡不是拋物線，而是一條直線． 2．關(guān)于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式，這四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別在于： (1)p的幾何意義：參數(shù)p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p恒為正數(shù)． (2)方程右邊一次項(xiàng)的變量

9、與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向． 3．關(guān)于拋物線的幾何性質(zhì) 拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握，但由于拋物線的離心率等于1，所以拋物線的焦點(diǎn)弦具有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛．例如： 已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝等． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2011大綱全國)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝2x－4

10、與C交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AFB等于(　　) A. B. C．－ D．－ 2．(2011湖北)將兩個頂點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p>0)上，另一個頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形個數(shù)記為n，則(　　) A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3 3．已知拋物線y2＝2px，以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定 4．(2011泉州月考)已知點(diǎn)A(－2,1)，y2＝－4x的焦點(diǎn)是F，P是y2＝－4x上的點(diǎn)，為使|PA|＋|PF|取得最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A.

11、 B．(－2,2) C. D．(－2，－2) 5．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(　　) A．(2，) B．(1，2) C．(1,2) D．(2，) 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2011重慶)設(shè)圓C位于拋物線y2＝2x與直線x＝3所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為________． 7．(2011濟(jì)寧期末)已知A、B是拋物線x2＝4y上的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(2,2)，則|AB|＝________. 8．(2010浙江)設(shè)拋物線y2＝2px(p>0

12、)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，2)．若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線截直線y＝2x＋1所得的弦長為，求拋物線方程． 10．(12分)(2011韶關(guān)模擬)已知拋物線C：x2＝8y.AB是拋物線C的動弦，且AB過F(0,2)，分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點(diǎn)為Q，證明：AQ⊥BQ. 11．(14分)(2011濟(jì)南模擬)已知定點(diǎn)F(0,1)和直線l1：y＝－1，過定點(diǎn)F與直

13、線l1相切的動圓圓心為點(diǎn)C. (1)求動點(diǎn)C的軌跡方程； (2)過點(diǎn)F的直線l2交軌跡C于兩點(diǎn)P、Q，交直線l1于點(diǎn)R，求的最小值． 學(xué)案53　拋物線 自主梳理 1．相等　焦點(diǎn)　準(zhǔn)線 自我檢測 1．C 2．B　[因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以拋物線的方程是y2＝8x.所以選B.] 3．B　4.C　5.B 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　重視定義在解題中的應(yīng)用，靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價轉(zhuǎn)化，是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑． 解　 將x＝3代入拋物線方程 y

14、2＝2x，得y＝. ∵>2，∴A在拋物線內(nèi)部． 設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l： x＝－的距離為d，由定義知 |PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 當(dāng)PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為， 即|PA|＋|PF|的最小值為， 此時P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2， ∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2)． 變式遷移1　A　[ 點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，如圖，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三點(diǎn)共線時取得，此時P，Q的縱坐標(biāo)都是－1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.] 例2　解題導(dǎo)引　(1)求拋物線方程時，若由已知條件可知所求曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)

15、法．若由已知條件可知所求曲線的動點(diǎn)的軌跡，一般用軌跡法； (2)待定系數(shù)法求拋物線方程時既要定位(即確定拋物線開口方向)，又要定量(即確定參數(shù)p的值)．解題關(guān)鍵是定位，最好結(jié)合圖形確定方程適合哪種形式，避免漏解； (3)解決拋物線相關(guān)問題時，要善于用定義解題，即把|PF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，這種“化斜為直”的轉(zhuǎn)化方法非常有效，要注意領(lǐng)會和運(yùn)用． 解　方法一　設(shè)拋物線方程為 x2＝－2py (p>0)， 則焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為y＝. ∵M(jìn)(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5， ∴　解得 ∴拋物線方程為x2＝－8y，m＝2， 準(zhǔn)線方程為y＝2. 方法二　如圖所示，

16、設(shè)拋物線方程為x2＝－2py (p>0)， 則焦點(diǎn)F， 準(zhǔn)線l：y＝，作MN⊥l，垂足為N. 則|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋， ∴3＋＝5，∴p＝4.∴拋物線方程為x2＝－8y， 準(zhǔn)線方程為y＝2.由m2＝(－8)(－3)，得m＝2. 變式遷移2　解　(1)雙曲線方程化為－＝1， 左頂點(diǎn)為(－3,0)，由題意設(shè)拋物線方程為y2＝－2px (p>0)且－＝－3，∴p＝6.∴方程為y2＝－12x. (2)由于P(2，－4)在第四象限且對稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)方程為y2＝mx (m>0)或x2＝ny (n<0)，代入P點(diǎn)坐標(biāo)求得m＝8，n＝－1， ∴所求拋物線方程為y2＝8

17、x或x2＝－y. 例3　解題導(dǎo)引　解決焦點(diǎn)弦問題時，拋物線的定義有著廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)．焦點(diǎn)弦有以下重要性質(zhì)(AB為焦點(diǎn)弦，以y2＝2px (p>0)為例)： ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②|AB|＝x1＋x2＋p. 證明　(1)方法一　由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F.設(shè)過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)． ①當(dāng)斜率存在時，過焦點(diǎn)的直線方程可設(shè)為 y＝k，由 消去x，得ky2－2py－kp2＝0.(*) 當(dāng)k＝0時，方程(*)只有一解，∴k≠0， 由韋達(dá)定理，得y1y2＝－p2； ②當(dāng)斜率不存在時，得兩交

18、點(diǎn)坐標(biāo)為 ，，∴y1y2＝－p2. 綜合兩種情況，總有y1y2＝－p2. 方法二　由拋物線方程可得焦點(diǎn)F，設(shè)直線AB的方程為x＝ky＋，并設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則A、B坐標(biāo)滿足 消去x，可得y2＝2p， 整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2. (2)直線AC的方程為y＝x， ∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，yC＝－＝. ∵點(diǎn)A(x1，y1)在拋物線上，∴y＝2px1. 又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yC＝＝y(tǒng)2，∴BC∥x軸． 變式遷移3　證明　(1)∵y2＝2px (p>0)的焦點(diǎn)F，設(shè)直線方程為y＝k (k≠0)， 由，消去x，得ky2－2py－

19、kp2＝0. ∴y1y2＝－p2，x1x2＝＝， 當(dāng)k不存在時，直線方程為x＝，這時x1x2＝. 因此，x1x2＝恒成立． (2)＋＝＋ ＝. 又∵x1x2＝，代入上式得＋＝＝常數(shù)， 所以＋為定值． 課后練習(xí)區(qū) 1．D　[方法一　由得或 令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)， ∴由兩點(diǎn)間距離公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝3. ∴cos∠AFB＝＝ ＝－. 方法二　由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(xiàn)(1,0)， ∴＝(3,4)，＝(0，－2)， ∴||＝＝5，||＝2. ∴cos∠AFB＝＝＝－.] 2．C　[ 如圖所示，

20、A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，設(shè)A(m，)(m>0)，則由拋物線定義， |AF|＝|AA1|， 即m＋＝|AF|. 又|AF|＝|AB|＝2， ∴m＋＝2，整理，得m2－7pm＋＝0，① ∴Δ＝(－7p)2－4＝48p2>0， ∴方程①有兩相異實(shí)根，記為m1，m2，且m1＋m2＝7p>0，m1m2＝>0， ∴m1>0，m2>0，∴n＝2.] 3．C 4．A　[過P作PK⊥l (l為拋物線的準(zhǔn)線)于K，則|PF|＝|PK|， ∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PK|. ∴當(dāng)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時，|PA|＋|PK|最小，此時P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，把y＝1

21、代入y2＝－4x，得x＝－，即當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為時，|PA|＋|PF|最小．] 5．B 6.－1 解析　如圖所示，若圓C的半徑取到最大值，需圓與拋物線及直線x＝3同時相切，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)(a<3)，則圓的方程為(x－a)2＋y2＝(3－a)2，與拋物線方程y2＝2x聯(lián)立得x2＋(2－2a)x＋6a－9＝0，由判別式Δ＝(2－2a)2－4(6a－9)＝0，得a＝4－，故此時半徑為3－(4－)＝－1. 7．4 解析　由題意可設(shè)AB的方程為y＝kx＋m，與拋物線方程聯(lián)立得x2－4kx－4m＝0，線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，x1＋x2＝4k＝4，得k＝1. 又∵y1＋y2＝k(

22、x1＋x2)＋2m＝4， ∴m＝0.從而直線AB：y＝x，|AB|＝2|OM|＝4. 8. 解析　拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，代入拋物線方程得1＝2p，解得p＝，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為＋＝. 9．解　設(shè)直線和拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)， (1)當(dāng)拋物線開口向右時，設(shè)拋物線方程為y2＝2px (p>0)，則，消去y得， 4x2－(2p－4)x＋1＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝，(4分) ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝，(7分) 則 ＝，p2－4p－12＝0，解得p＝6(p＝－2舍去)， 拋物線方程為

23、y2＝12x.(9分) (2)當(dāng)拋物線開口向左時，設(shè)拋物線方程為y2＝－2px (p>0)，仿(1)不難求出p＝2， 此時拋物線方程為y2＝－4x.(11分) 綜上可得， 所求的拋物線方程為y2＝－4x或y2＝12x.(12分) 10．證明　因?yàn)橹本€AB與x軸不垂直， 設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.(4分) 拋物線方程為y＝x2，求導(dǎo)得y′＝x.(7分) 所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是 k1＝x1，k2＝x2，k1k2＝x1x2 ＝x1x2＝－1.(10

24、分) 所以AQ⊥BQ.(12分) 11．解　(1)由題設(shè)點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離， 所以點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線的拋物線， ∴所求軌跡的方程為x2＝4y.(5分) (2)由題意直線l2的方程為y＝kx＋1，與拋物線方程聯(lián)立消去y得x2－4kx－4＝0. 記P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.(8分) 因?yàn)橹本€PQ的斜率k≠0，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為.(9分) ＝ ＝＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4 ＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4 ＝4＋8，(11分) ∵k2＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝1時取到等號． ≥42＋8＝16，即的最小值為16. (14分)