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1、專題升級訓(xùn)練 隨機變量及其分布列
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)[來源:]
1.已知P(ξ=1)=,P(ξ=-1)=,則D(ξ)等于( )
A.2 B.4 C.1 D.6
2.同時擲3枚均勻硬幣,恰好有2枚正面向上的概率為( )
A.0.5 B.0.25 C.0.125 D.0.375
3.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次,記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是( )
A. B. C. D.
4.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件A=“取到的
2、2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=( )
A. B. C. D.
5.兩個實習(xí)生每人加工一個零件,加工為一等品的概率分別為,兩個零件是否加工為一等品相互獨立,則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為( )
A. B. C. D.
6.設(shè)10≤x1D(ξ2)
B.D(ξ1)=D(ξ2)
C.D(ξ1)
3、D(ξ2)的大小關(guān)系與x1,x2,x3,x4的取值有關(guān)
二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
7.隨機變量ξ的分布列如下:
ξ
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差數(shù)列,若E(ξ)=,則D(ξ)的值為 .
8.設(shè)整數(shù)m是從不等式x2-2x-8≤0的整數(shù)解的集合S中隨機抽取的一個元素,記隨機變量ξ=m2,則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)= .
9.小王參加了2014年春季招聘會,分別向A,B兩個公司投遞個人簡歷.假定小王得到A公司面試的概率為,得到B公司面試的概率為p,且兩個公司是否讓其面試是獨立的.記ξ為小王得到面試的公司個數(shù).若
4、ξ=0時的概率P(ξ=0)=,則隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)= .
三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
10.(本小題滿分15分)已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和.
(1)求X的分布列;
(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).
[來源:][來源:]
11.(本小題滿分15分)(2013廣東廣州模擬,20)為了解某市民眾對政府出臺樓市限購令的情況,在該市隨機抽取了50名市民進(jìn)行調(diào)查,他們月收入(單位
5、:百元)的頻數(shù)分布及對樓市限購令贊成的人數(shù)如下表:
月收入
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
頻數(shù)
5
10
15
10
5
5
贊成
人數(shù)
4
8
12
5
2
1
將月收入不低于55的人群稱為“高收入族”,月收入低于55的人群稱為“非高收入族”.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表,問能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“非高收入族”贊成樓市限購令?
非高收入族
高收入族
總計
贊成
不贊成
總計
(2)現(xiàn)從
6、月收入在[15,25)和[25,35)的兩組人群中各隨機抽取兩人進(jìn)行問卷調(diào)查,記參加問卷調(diào)查的4人中不贊成樓市限購令的人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:K2=;
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005[來源:]
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
12.(本小題滿分16分)“神舟十號”的順利升空標(biāo)志著我國火箭運載的技術(shù)日趨完善.為了確保發(fā)射萬無一失,科學(xué)家對運載火箭進(jìn)行了多項技術(shù)狀態(tài)更改,增加了某項新技術(shù).該項新技術(shù)要進(jìn)入試用階段前必須對其中三項不同指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行通過量化檢測.假設(shè)該項新技術(shù)的指標(biāo)甲
7、、乙、丙獨立通過檢測合格的概率分別為,指標(biāo)甲、乙、丙檢測合格分別記4分、2分、4分,若某項指標(biāo)不合格,則該項指標(biāo)記0分,各項指標(biāo)檢測結(jié)果互不影響.
(1)求該項技術(shù)量化得分不低于8分的概率;
(2)記該項技術(shù)的三個指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個數(shù)為隨機變量ξ,求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.
##
1.C 解析:E(ξ)=1+(-1)=0,
D(ξ)=12+(-1)2=1.
2.D 解析:擲3枚均勻硬幣,設(shè)正面向上的個數(shù)為X,則X服從二項分布,即X~B,
∴P(X=2)==0.375.
3.C 解析:事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是
1-P()=1-.
4.B 解析:∵P(A)=,P(
8、AB)=,
∴P(B|A)=.
5.B 解析:記兩個零件中恰有一個一等品的事件為A,
則P(A)=.
6.A
7. 解析:由題意知解得
∴D(ξ)=.
8.5 解析:S={-2,-1,0,1,2,3,4},ξ的分布列為
ξ
0
1
4
9
16
P
所以E(ξ)=5.
9. 解析:由題意,得P(ξ=2)=p,P(ξ=1)=(1-p)+p=,
ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
p
由p=1,得p=.
所以E(ξ)=0+1+2p=.
10.解:(1)由題意得X取3,4,5,6,且
P(X=3)=,
P(
9、X=4)=,
P(X=5)=,
P(X=6)=.
所以X的分布列為
X
3
4
5
6
P
(2)由(1)知E(X)=3+4+5+6.
11.解:(1)由題意得列聯(lián)表如下:
非高收入族
高收入族
總計
贊成
29
3
32
不贊成
11
7
18
總計
40
10
50
假設(shè)“非高收入族”與贊成樓市限購令沒有關(guān)系,
則K2=
==6.272<6.635,
∴不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“非高收入族”贊成樓市限購令.
(2)由題意得隨機變量ξ的所有取值為0,1,2,3,
P(ξ=0)=,
10、
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
∴隨機變量ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
∴E(ξ)=0+1+2+3.
12.解:(1)記該項新技術(shù)的三個指標(biāo)甲、乙、丙獨立通過檢測合格分別為事件A,B,C,則事件“得分不低于8分”表示為ABC+AC.
∵ABC與AC為互斥事件,且A,B,C彼此獨立,
∴P(ABC+AC)=P(ABC)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P()P(C)=.
(2)該項新技術(shù)的三個指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個數(shù)ξ的取值為0,1,2,3.
∵P(ξ=0)=P()=,
P(ξ=1)=P(A C)
=,
P(ξ=2)=P(AB+AC+BC)
=,
P(ξ=3)=P(ABC)=,[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
∴隨機變量ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
∴E(ξ)=.