一輪北師大版理數(shù)學教案：第2章 第3節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 Word版含解析

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1、 第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 [考綱傳真]　1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性． 1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念 圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)． 圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)． 2．奇(偶)函數(shù)的性質(zhì) (1)對于函數(shù)f(x)，f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)； f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)． (2)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性． (3)如果奇函數(shù)y＝f(x)在原

2、點有定義，則f(0)＝0. 3．函數(shù)的周期性 (1)對于函數(shù)f(x)，如果存在非零實數(shù)T，對定義域內(nèi)的任意一個x值，都有f(x＋T)＝f(x)，則f(x)為周期函數(shù)． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． (3)若T是函數(shù)y＝f(x)的一個周期，則nT(n∈Z，且n≠0)也是函數(shù)y＝f(x)的一個周期． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)偶函數(shù)圖像不一定過原點，奇函數(shù)的圖像一定過原點．(　　) (2)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直

3、線x＝a對稱．(　　) (3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(b,0)中心對稱．(　　) (4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(　　) 【導學號：57962035】 A．－　　　B.　　　C.　　　　D．－ B　[依題意b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴b＝0且a＝，則a＋b＝.] 3．(20xx廣東高考)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的

4、是(　　) A．y＝ B．y＝x＋ C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex D　[A選項定義域為R，由于f(－x)＝＝＝f(x)，所以是偶函數(shù)．B選項定義域為{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以是奇函數(shù)．C選項定義域為R，由于f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以是偶函數(shù)．D選項定義域為R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝－x，所以是非奇非偶函數(shù)．] 4．(20xx四川高考)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0

5、0)＝0，∴f＋f(2)＝－2＋0＝－2.] 5．(教材改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則x＜0時，f(x)＝________. x(1－x)　[當x＜0時，則－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)．] 函數(shù)奇偶性的判斷 　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝x3－2x； (2)f(x)＝(x＋1)； (3)f(x)＝ [解]　(1)定義域為R，關(guān)于原點對稱， 又f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x

6、＝－(x3－2x)＝－f(x)． ∴該函數(shù)為奇函數(shù). 4分 (2)由≥0可得函數(shù)的定義域為(－1,1]． ∵函數(shù)定義域不關(guān)于原點對稱， ∴函數(shù)為非奇非偶函數(shù). 8分 (3)易知函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱，又當x＞0時，f(x)＝x2＋x， 則當x＜0時，－x＞0， 故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 當x＜0時，f(x)＝x2－x，則當x＞0時，－x＜0， 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù). 12分 [規(guī)律方法]　1.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 2．判斷分段函數(shù)的奇偶性應分段分別證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有對各

7、段上的x都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性；也可以利用函數(shù)的圖像進行判斷． [變式訓練1]　(1)(20xx全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) (2)判斷函數(shù)f(x)＝＋的奇偶性． (1)C　[A：令h(x)＝f(x)g(x)，則h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(huán)(x)， ∴h(x)是奇函數(shù)，A錯． B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(

8、－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，B錯． C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，C正確． D：令h(x)＝|f(x)g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，D錯．] (2)由得x2＝3，∴x＝，3分 即函數(shù)f(x)的定義域為{－，}， 從而f(x)＝＋＝0. 8分 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

9、∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 12分 函數(shù)奇偶性的應用 　(1)(20xx全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________. (2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝x2－4x，則f(x)＝________. (1)1　(2)　[(1)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立， ∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴l(xiāng)n a＝0，即a＝1. (2)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0. 又當x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)為奇函數(shù)，

10、∴f(－x)＝－f(x)， 即f(x)＝－x2－4x(x＜0)， ∴f(x)＝] [規(guī)律方法]　1.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，一般采用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)f(x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值； 2．已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方程(組)，從而可得f(x)的值或解析式． [變式訓練2]　設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝(　　) A．－3 B．－1　　　C．1　　

11、　D．3 A　[因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以有f(0)＝20＋20＋b＝0，解得b＝－1，所以當x≥0時，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋21－1)＝－3.] 函數(shù)的周期性及其應用 　設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________. 【導學號：57962036】 1 009　[∵f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期T＝2. 又當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)

12、＋f(1)＝1. ∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.] [遷移探究1]　若將本例中“f(x＋2)＝f(x)”改為“f(x＋1)＝－f(x)”，則結(jié)論如何？ [解]　∵f(x＋1)＝－f(x)， ∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x). 5分 故函數(shù)f(x)的周期為2. 8分 由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009. 12分 [遷移探究2]　若將本例中“f(x＋2)＝f(x)”改為“

13、f(x＋1)＝”，則結(jié)論如何？ [解]　∵f(x＋1)＝， ∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝f(x). 5分 故函數(shù)f(x)的周期為2. 8分 由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009. 12分 [規(guī)律方法]　1.判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)． 2．函數(shù)周期性的三個常用結(jié)論： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a， (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a， (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a＞0)． [變式

14、訓練3]　定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x＜3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________. 339　[∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵當－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2； 當－1≤x＜3時，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋

15、f(2 016)＝1＝336. 又f(2 017)＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝3， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.] [思想與方法] 1．函數(shù)奇偶性的三個常用性質(zhì) (1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0. (2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(|x|)＝f(x)． (3)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇． 2．利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題 (1)求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫函數(shù)圖像，確定函數(shù)單調(diào)性． 3．在解決具體問題時，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應用． [易錯與防范] 1．判斷函數(shù)的奇偶性，應首先判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱．定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件． 2．f(0)＝0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件．應用時要注意函數(shù)的定義域并進行檢驗． 3．判斷分段函數(shù)的奇偶性時，要以整體的觀點進行判斷，不能用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性．