新版高中數學北師大版必修四教學案：第二章 167;2 第2課時 向量的減法 Word版含答案

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1、新版數學北師大版精品資料 第2課時　向量的減法 [核心必知] 1．相反向量 (1)定義：與a長度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量．記作：－a． (2)相反向量的性質 ①－00，－(－a)＝a； ②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ③如果a，b互為相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． 2．向量的減法 定義 向量a加上b的相反向量，叫作向量a與b的差，即a－b＝a＋(－b)．求兩個向量差的運算，叫作向量的減法. 作法 如果把向量a與b的起點放在O點，那么從向量b的終點B指向被減向量a的終點A，得到的向量就是a－b. 圖示 [問題思考]

2、 1．向量減法的實質是什么？ 提示：向量減法的實質是加法的逆運算，即a－b＝a＋(－b)． 2．如何運用三角形法則進行向量的減法運算？ 提示：如已知向量a，b，求a－b，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，連接AB，則＝a－b. 講一講 1．已知向量a，b，c求作向量a＋b－c. [嘗試解答]　 法一：在平面內任取一點O，作＝a，＝b， 連接OB，則＝a＋b. 再作＝c，連接BC，則＝－＝a＋b－c 即為所求(如圖) 法二：在平面內任取一點O，作＝a，＝b，以OA，OB為鄰邊，作?OACB，連接OC，則＝a＋b. 再作＝c，連接CD. 則＝－

3、＝a＋b－c即為所求(如圖)． 法三：在平面內任取一點O，作＝a，＝b，連接OB，則＝a＋b.再作＝－c，連接OC. 則＝＋＝a＋b－c即為所求(如圖)． 1．向量減法的實質是向量加法的逆運算．利用相反向量的定義，－＝就可以把減法化為加法．在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點，箭頭指向被減向量”即可． 2．以向量＝a、＝b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為＝a＋b，＝b－a，＝a－b，這一結論在以后應用非常廣泛，應該加強理解并記住． 3．三角形法則和平行四邊形法則對于向量的減法同樣適用． 練一練 1．如圖，已知正方形ABCD的邊長等于1，＝

4、a，＝b，＝c，試作向量a－b＋c. 講一講 2．化簡下列各式： 1．計算向量的加減法時應謹記以下口訣： (1)加法口訣：首尾相接，箭頭從始點指向最后一個終點． (2)減法口訣：始點相同連接終點，箭頭指向被減向量． 2．多個向量作加減運算時，應把首尾相連的放在一起計算，起點相同的放在一起計算．必要時，可畫出圖形，結合圖形觀察，將使問題更為直觀． 練一練 講一講 3．已知?ABCD中，∠ABC＝60，設＝a，＝b，若|a|＝|a＋b|＝2，求|a－b|的值． [嘗試解答]　 依題意， ||＝|a＋b|＝2， 而

5、||＝|a|＝2， ∵∠ABC＝60，∴△ABC是等邊三角形．∴BC＝AB. ?ABCD為菱形，AC⊥BD， ∴|a|2＝(|a＋b|)2＋(|a－b|)2 即4＝1＋，∴|a－b|＝2. 本題的解答是利用了向量加法與減法的幾何意義，一般地，若a，b是兩個不共線的向量，在平面內任取一點A作＝a，＝b，以AB、AD為鄰邊作?ABCD，那么＝a＋b，＝a－b.恰當地構造平行四邊形，尋找|a|，|b|，|ab|的關系，靈活運用平面圖形的性質是解答本題的關鍵． 練一練 3．已知非零向量a，b滿足|a|＝＋1，|b|＝－1，且 |a－b|＝4，求|a＋b|的值． 解：

6、 所以△OAB是以∠AOB為直角的直角三角形， 從而OA⊥OB， 所以?OACB是矩形． 根據矩形的對角線相等有＝4， 即|a＋b|＝4. 如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，. 試用a，b，c表示向量. [錯解]　∵ ＝c＋b－a. [錯因]　錯誤地使用了向量的減法法則，誤認為，在應用三角形法則作向量減法時，應注意“連接兩向量終點，箭頭指向被減向量”． ＝a－b＋c. 1．在四邊形ABCD中，設等于(　　) A．a－b＋c　　B．a＋b＋c C．b－(a＋c) D．b－a＋c 解析：選A　 ＝－b＋a＋c. 4．已知|a|＝

7、1，|b|＝2，|a＋b|＝，則|a－b|＝________． 解析：∵()2＝12＋22. ∴以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形， 那么|a－b|＝|a＋b|＝. 答案： 5．給出下列運算： ∴①，②正確，③不正確． 答案： ①② 6．如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c. 解：法一：如圖①，在平面內任取一點O，作＝b，則＝a＋b， 再作＝c，則＝a＋b－c. 法二：如圖②，在平面內任取一點O，作＝b，則＝a＋b，再作＝c，連接OC，則＝a＋b－c. 一、選擇題 A．①②　　　　　　　　B．②③ C．③④

8、 D．①④ 3．如圖，D，E，F分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則(　　) 4．a與b是非零向量，下列結論正確的是(　　) A．|a|＋|b|＝|a＋b| B．|a|－|b|＝|a－b| C．|a|＋|b|>|a＋b| D．|a|＋|b|≥|a＋b| 解析：選D　 當a，b共線時，若a，b同向，則|a＋b|＝|a|＋|b|，a，b反向時， |a＋b|<|a|＋|b|； 當a，b不共線時，如圖有： |a＋b|<|a|＋|b|. 故|a|＋|b|≥|a＋b|. 二、填空題 5．若菱形ABCD的邊長為2，則＝________.

9、 答案：2 6．若A、B、C、D是平面內任意四點，給出下列式子：①＋其中所有正確的式子的序號是________． 答案：②③ 7．在?ABCD中，＝b，|a|＝|b|＝2，∠BAD＝120，則|a－b|＝________. 解析： 如圖，依題意?ABCD是菱形，∴∠DAO＝60，∴DO＝ADsin 60＝2＝， 故|a－b|＝||＝2DO＝2. 答案：2 8. 如圖，已知O為平行四邊形ABCD內一點，＝c，試用a，b，c表示＝________. ＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 三、解答題 9．如圖，在正五邊形ABCDE中，若＝c，＝e，求作向量a

10、－c＋b－d－e. 解： a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e) . 如圖，連接AC，并延長至點F， 使CF＝AC，則. 所以，即為所求作的向量a－c＋b－d－e. 10. 如圖，?ABCD中，＝b， (1)用a、b表示； (2)當a、b滿足什么條件時，a＋b與a－b的所在直線互相垂直？ (3)當a、b滿足什么條件時，|a＋b|＝|a－b|. (4)a＋b與a－b有可能為相等向量嗎？為什么？ 解：(1)＝a－b. (2)由(1)知a＋b＝，a－b＝. a＋b與a－b的所在直線垂直，即AC⊥BD. 又∵ABCD為平行四邊形， ∴四邊形ABCD為菱形，即a、b應滿足|a|＝|b|. (3)|a＋b|＝|a－b|，即||＝||. ∵矩形的對角線相等． ∴當a與b的所在直線垂直時， 滿足|a＋b|＝|a－b|. (4)不可能，因為?ABCD的兩對角線不可能平行，因此a＋b與a－b不可能為共線向量，也就不可能為相等向量．