【名校資料】人教A版理科數(shù)學高效訓練:89 直線與圓錐曲線的位置關系

上傳人:仙*** 文檔編號:44876328 上傳時間:2021-12-06 格式:DOC 頁數(shù):8 大?。?07.50KB
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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆ [A組 基礎演練能力提升] 一、選擇題 1.過點P(4,4)且與雙曲線-=1只有一個公共點的直線有(  ) A.1條          B.2條 C.3條 D.4條 解析:結合圖形知,過P(4,4)與雙曲線只有一個公共點的直線,有兩條與雙曲線相切,另兩條與漸近線平行,共4條. 答案:D 2.已知以F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓與直線x+y+4=0有且僅有一個交點,則橢圓的長軸長為(  ) A.3 B.2 C.2 D. 解析:依題意知c=2,可設橢圓方程為+=1, 由消去y得: (4a2-4)x2+8a

2、2x+16a2-3a2(a2-4)=0. ∵直線與橢圓僅有一個交點, ∴Δ=(8a2)2-4(4a2-4)[16a2-3a2(a2-4)]=0, ∴解得a2=7.∴a=. ∴長軸長為2a=2. 答案:C 3.已知雙曲線-=1的右焦點為F,若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此直線斜率的取值范圍是(  ) A. B.(-,)[來源:] C. D.[-,] 解析:由題意知,F(xiàn)(4,0),雙曲線的兩條漸近線方程為y=x.當過點F的直線與漸近線平行時,滿足與右支只有一個交點,畫出圖象,數(shù)形結合可知應選C. 答案:C 4.直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x

3、交于A,B兩點,若|AB|=4,則弦AB的中點到直線x+=0的距離等于(  ) A. B.2 C. D.4 解析:易知直線4kx-4y-k=0過拋線y2=x的焦點.∴|AB|為焦點弦. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則AB中點N[來源:數(shù)理化網(wǎng)] ∴|AB|=x1+x2+p=4.∴=. ∴AB中點到直線x+=0的距離為+=. 答案:C 5.(2014年泰安模擬)斜率為的直線與雙曲線-=1恒有兩個公共點,則雙曲線離心率的取值范圍是(  ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(1,) D.(,+∞) 解析:要使直線與雙曲線恒有兩個公共點,則漸近線的斜率的

4、絕對值應大于,所以>,∴e=>2,即e∈(2,+∞).故選B. 答案:B 6.已知拋物線y2=8x的焦點為F,直線y=k(x-2)與此拋物線相交于P,Q兩點,則+=(  ) A. B.1 C.2 D.4 解析:設P(x1,y1),Q(x2,y2),由題意可知, |PF|=x1+2,|QF|=x2+2,則+=+=,聯(lián)立直線與拋物線方程消去y得,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故+===.故選A. 答案:A 二、填空題 7.已知F1為橢圓C:+y2=1的左焦點,直線l:y=x-1與橢圓C交于A、B兩點,則|F1A|+|F1B|的值為________.

5、 解析:設點A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程得消去y,得3x2-4x=0,解得x1=0,x2=,易得點A(0,-1),B.又點F1(-1,0),因此|F1A|+|F1B|=+ =. 答案: 8.直線l:x-y=0與橢圓+y2=1相交于A、B兩點,點C是橢圓上的動點,則△ABC面積的最大值是________. 解析:由得3x2=2, ∴x=, ∴A,B, ∴|AB|=. 設點C(cos θ,sin θ),則點C到AB的距離 d==≤, ∴S△ABC=|AB|d≤=. 答案: 9.已知雙曲線-=1的離心率為p,焦點為F的拋物線y2=2px與直線y=k(x-)交于

6、A,B兩點,且=p,則k的值為________. 解析:易知p=2,拋物線方程為y2=4x,焦點F(1,0),直線方程為y=k(x-1),∵=2,∴=2,又|yAyB|=4,∴yA=2,∴xA=2,∴k==2. 答案:2 三、解答題 10.已知圓C:(x+)2+y2=16,點A(,0),Q是圓上一動點,AQ的垂直平分線交CQ于點M,設點M的軌跡為E. (1)求軌跡E的方程; (2)過點P(1,0)的直線l交軌跡E于兩個不同的點A,B,△AOB(O是坐標原點)的面積S=,求直線AB的方程. 解析:(1)由題意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4>2, 所以軌跡E是

7、以A,C為焦點,長軸長為4的橢圓, 即軌跡E的方程為+y2=1. (2)記A(x1,y1),B(x2,y2), 由題意,直線AB的斜率不可能為0,而直線x=1也不滿足條件, 故可設AB的方程為x=my+1. 由消去x得(4+m2)y2+2my-3=0, 所以 S=|OP||y1-y2|= =. 由S=,解得m2=1,即m=1.[來源:] 故直線AB的方程為x=y(tǒng)+1, 即x+y-1=0或x-y-1=0為所求. 11.如圖所示,已知點A(1,)是離心率為的橢圓C:+=1(a>b>0)上的一點,斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點,且A、B、D三點不重合. (1)求

8、橢圓C的方程; (2)△ABD的面積是否存在最大值;若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由; (3)求證:直線AB、AD斜率之和為定值. 解析:(1)由題意,可得e==,+=1,a2=b2+c2, 解得a=2,b=,c=, 所以橢圓C的方程為+=1. (2)設直線BD的方程為y=x+m,D(x1,y1)、B(x2,y2), 由得4x2+2mx+m2-4=0, 所以Δ=-8m2+64>0,所以-2

9、,當且僅當8-m2=m2,即m=2時取等號. 因為2∈(-2,2),所以當m=2時,△ABD的面積最大,最大值為. (3)證明:設直線AB、AD的斜率分別為kAB、kAD,則 kAD+kAB=+=+=2+m,(*) 將(2)中①、②式代入(*)式,整理得 2+m=0,即kAD+kAB=0. 故直線AB、AD斜率之和為定值. 12.(能力提升)如圖所示,橢圓C:+=1(a>b>0),A1、A2為橢圓C的左、右頂點. (1)設F1為橢圓C的左焦點,證明:當且僅當橢圓C上的點P在橢圓的左、右頂點時,|PF1|取得最小值與最大值; (2)若橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3,最

10、小值為1,求橢圓C的標準方程; (3)若直線l:y=kx+m與(2)中所述橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左、右頂點),且滿足AA2⊥BA2,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標. 解析:(1)證明:設點P的坐標為(x,y),令f(x)=|PF1|2=(x+c)2+y2. 又點P在橢圓C上,故滿足+=1, 則y2=b2-x2. 代入f(x)得, f(x)=(x+c)2+b2-x2=x2+2cx+a2, 則其對稱軸方程為x=-, 由題意,知-<-a恒成立, ∴f(x)在區(qū)間[-a,a]上單調遞增. ∴當且僅當橢圓C上的點P在橢圓的左、右頂點時,|PF1|取得最小值與最大值

11、. (2)由已知與(1)得a+c=3,a-c=1, ∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3. ∴橢圓C的標準方程為+=1. (3)如圖所示,設A(x1,y1),B(x2,y2), [來源:] 聯(lián)立 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,則 又y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k2x1x2+mk(x1+x2)+m2 =. ∵橢圓的右頂點為A2(2,0),AA2⊥BA2, ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0. ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0. ∴+++4=0. ∴7m2+16km+4k2=0, 解得m1=-2k,m2

12、=-,且均滿足3+4k2-m2>0. 當m1=-2k時,l的方程為y=k(x-2), 直線過定點(2,0),與已知矛盾.[來源:] 當m2=-時,l的方程為y=k, 直線過定點, ∴直線l過定點,定點坐標為. [B組 因材施教備選練習] 1.若拋物線y=ax2-1上恒有關于直線x+y=0對稱的相異的兩點A,B,則a的取值范圍是________. 解析:設拋物線上的兩點為A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程為y=x+b,代入拋物線方程y=ax2-1,得ax2-x-(b+1)=0,則x1+x2=.設AB的中點為M(x0,y0),則x0=,y0=x0+b=+b.由于M(x0,y0)在直線x+y=0上,故x0+y0=0,由此得b=-,此時ax2-x-(b+1)=0變?yōu)閍x2-x-=0.由Δ=1+4a>0,解得a>. 答案: 2.當x>1時,直線y=ax-a恒在拋物線y=x2的下方,則a的取值范圍是________. 解析:聯(lián)立整理可得x2-ax+a=0,令Δ=a2-4a=0,解得a=0或a=4,此時直線與拋物線相切,因為直線恒過定點(1,0),結合圖形可知,當a∈(-∞,4),x>1時,直線y=ax-a恒在拋物線y=x2的下方. 答案:(-∞,4) 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品

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