高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航 四 轉(zhuǎn)化與化歸思想講學(xué)案 理

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1、 四、轉(zhuǎn)化與化歸思想   轉(zhuǎn)化與化歸思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題,將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題. 方法一 一般與特殊的轉(zhuǎn)化問(wèn)題 模型解法 一般和特殊之間的轉(zhuǎn)化法是在解題的過(guò)程中將某些一般問(wèn)題進(jìn)行特殊化處理或是將某些特殊問(wèn)題進(jìn)行一般化處理的方法.此方法多用于選擇題和填空題的解答.破解此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn): ①確立轉(zhuǎn)化對(duì)象,一般將要解決的問(wèn)題作為轉(zhuǎn)化對(duì)象. ②尋找轉(zhuǎn)化元素,由一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題時(shí),尋找“特殊元素”;由

2、特殊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般問(wèn)題時(shí),尋找“一般元素”. ③轉(zhuǎn)化為新問(wèn)題,根據(jù)轉(zhuǎn)化對(duì)象與“特殊元素”或“一般元素”的關(guān)系,將其轉(zhuǎn)化為新的需要解決的問(wèn)題. ④得出結(jié)論,求解新問(wèn)題,根據(jù)所得結(jié)論求解原問(wèn)題,得出結(jié)論. 典例1 已知函數(shù)f(x)=(a-3)x-ax3在[-1,1]上的最小值為-3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,-1] B.[12,+∞) C.[-1,12] D. 解析 當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=-3x,x∈[-1,1],顯然滿(mǎn)足條件,故排除選項(xiàng)A,B; 當(dāng)a=-時(shí),函數(shù)f(x)=x3-x, f′(x)=x2-=(x2-1), 當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f′(x)≤0,

3、 所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減, 所以f(x)min=f(1)=-=-3,滿(mǎn)足條件, 故排除C. 綜上,故選D. 答案 D 思維升華 常用的“特殊元素”有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.對(duì)于選擇題,在題設(shè)條件都成立的情況下,用特殊值探求正確選項(xiàng),即通過(guò)對(duì)特殊情況的研究來(lái)判斷一般規(guī)律;對(duì)于填空題,當(dāng)結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí),可以用特殊值代替變化的不定量. 跟蹤演練1 若x,y滿(mǎn)足約束條件 則的取值范圍為(  ) A. B. C.∪ D.∪[1,+∞) 答案 B 解析 可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分,設(shè)z=,因?yàn)辄c(diǎn)

4、(-2,-1)在可行域內(nèi),所以z==0,排除C,D;又點(diǎn)A(0,-2)在可行域內(nèi),所以z==1,排除A. 方法二 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化問(wèn)題 模型解法 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化包含由數(shù)到形和由形到數(shù)兩個(gè)方面.由數(shù)到形就是把問(wèn)題的數(shù)量信息轉(zhuǎn)換為圖形信息,由形到數(shù)就是把圖形信息進(jìn)行代數(shù)化處理,用數(shù)量關(guān)系刻畫(huà)事物的本質(zhì)特征,從而得解.破解此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn): ①數(shù)形轉(zhuǎn)化,確定需要等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)量關(guān)系(解析式)與圖形關(guān)系. ②轉(zhuǎn)化求解,通過(guò)降維等方式合理轉(zhuǎn)化,使問(wèn)題簡(jiǎn)單化并進(jìn)行分析與求解. ③回歸結(jié)論,回歸原命題,得出正確結(jié)論. 典例2 某工件的三視圖如圖所示,現(xiàn)將該工件通過(guò)切削,加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體

5、新工件,并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi),則原工件的材料利用率為(材料利用率=新工件的體積/原工件的體積)(  ) A. B. C. D. 解析 由三視圖知該幾何體是一個(gè)底面半徑為r=1,母線長(zhǎng)為l=3的圓錐,則圓錐的高為h===2. 由題意知加工成的體積最大的正方體ABCD—A1B1C1D1的一個(gè)底面A1B1C1D1在圓錐的底面上,過(guò)平面AA1C1C的軸截面如圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x, 則有=, 即=,解得x=, 則原工件的材料利用率為 ==,故選A. 答案 A 思維升華 數(shù)與形轉(zhuǎn)化問(wèn)題,特別是空間轉(zhuǎn)化問(wèn)題,往往在解決空間幾何體問(wèn)題的過(guò)程中將某些空間幾何體問(wèn)題

6、進(jìn)行特殊化處理,轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)處理,降低維度,簡(jiǎn)化求解過(guò)程,降低難度. 跟蹤演練2 已知直線l:y=kx+1(k≠0)與橢圓3x2+y2=a相交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),記直線l與y軸的交點(diǎn)為C. (1)若k=1,且|AB|=,求實(shí)數(shù)a的值; (2)若=2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積的最大值及此時(shí)橢圓的方程. 解 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由 得4x2+2x+1-a=0, 則x1+x2=-,x1x2=, 從而|AB|=|x1-x2| = ==, 解得a=2. (2)由 得(3+k2)x2+2kx+1-a=0, 則x1+x2=-,x1x2=.

7、 易知C(0,1),由=2, 得(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1), 解得x1=-2x2, 所以x1+x2=-x2=-, 則x2=. △AOB的面積S△AOB=|OC||x1-x2| =|x2|==≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)k2=3時(shí)取等號(hào),此時(shí)x2=, x1x2=-2x=-2=-, 又x1x2==,則=-,解得a=5. 所以△AOB面積的最大值為, 此時(shí)橢圓的方程為3x2+y2=5. 方法三 形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化問(wèn)題 模型解法 形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化法是針對(duì)幾何問(wèn)題采用的一種特殊轉(zhuǎn)化方法.主要適用于涉及平行、垂直的證明,如常見(jiàn)線面平行、垂直的推理與證明實(shí)際就是充分利用線面

8、位置關(guān)系中的判定定理、性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化.破解此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn): ①分析特征,一般要分析形體特征,根據(jù)形體特征確立需要轉(zhuǎn)化的對(duì)象. ②位置轉(zhuǎn)化,將不規(guī)則幾何體通過(guò)切割、挖補(bǔ)、延展等方式轉(zhuǎn)化為便于觀察、計(jì)算的常見(jiàn)幾何體.由于新的幾何體是轉(zhuǎn)化而來(lái),一般需要對(duì)新的幾何體的位置關(guān)系、數(shù)據(jù)情況進(jìn)行必要分析,準(zhǔn)確理解新的幾何體的特征. ③得出結(jié)論,在新的幾何結(jié)構(gòu)中解決目標(biāo)問(wèn)題. 典例3 如圖,已知三棱錐P—ABC,PA=BC=2,PB=AC=10,PC=AB=2,則三棱錐P—ABC的體積為_(kāi)_________. 解析 因?yàn)槿忮F三組對(duì)邊兩兩相等,則可將三棱錐放在一個(gè)特定的長(zhǎng)方體中(如圖所示

9、). 把三棱錐P—ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體AEBG—FPDC, 易知三棱錐P—ABC的各棱分別是長(zhǎng)方體的面對(duì)角線. 不妨令PE=x,EB=y(tǒng),EA=z, 由已知有 解得x=6,y=8,z=10, 從而知三棱錐P—ABC的體積為 V三棱錐P—ABC=V長(zhǎng)方體AEBG—FPDC-V三棱錐P—AEB-V三棱錐C—ABG-V三棱錐B—PDC-V三棱錐A—FPC =V長(zhǎng)方體AEBG-FPDC-4V三棱錐P—AEB=6810-46810=160. 答案 160 思維升華 形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化常將空間問(wèn)題平面化、不規(guī)則幾何體特殊化,使問(wèn)題易于解決.同時(shí)也要注意方法的選取,否則會(huì)跳入自己設(shè)的“陷阱”中. 跟蹤演練3 如圖,在棱長(zhǎng)為5的正方體ABCD—A1B1C1D1中,EF是棱AB上的一條線段,且EF=2,點(diǎn)Q是A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P是棱C1D1上的動(dòng)點(diǎn),則四面體PQEF的體積(  ) A.是變量且有最大值 B.是變量且有最小值 C.是變量且有最大值和最小值 D.是常數(shù) 答案 D 解析 點(diǎn)Q到棱AB的距離為常數(shù),所以△EFQ的面積為定值.由C1D1∥EF,可得棱C1D1∥平面EFQ,所以點(diǎn)P到平面EFQ的距離是常數(shù),于是可得四面體PQEF的體積為常數(shù).

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