《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第二章拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射學(xué)習(xí)筆記

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1、1 第 2 章度量空間與連續(xù)映射 從數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)熟知單變量和多變量的連續(xù)函數(shù)，它們的定義域和值域 都是歐氏空間（直線，平面或空間等等）或是其中的一部分“在這一章中我們 首先將連續(xù)函數(shù)的定義域和值域主要特征抽象出來(lái)用以定義度量空間， 將連續(xù) 函數(shù)的主要特征抽象出來(lái)用以定義度量空間之間的連續(xù)映射 （參見(jiàn) 2.1 ） “然 后將兩者再度抽象，給出拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射 （參見(jiàn) 2.2 ） “隨 后再逐步提出拓?fù)淇臻g中的一些基本問(wèn)題如鄰域，閉包，內(nèi)部，邊界，基和子 基，序列等等. 2.1 度量空間與連續(xù)映射 本節(jié)重點(diǎn)：掌握拓?fù)鋵W(xué)中度量的概念及度量空間中的連續(xù)映射的概念. 注意區(qū)別：數(shù)學(xué)分析

2、中度量、連續(xù)映射的概念與本節(jié)中度量、連續(xù)映射的 概念. 注意，在本節(jié)的證明中，應(yīng)細(xì)細(xì)體會(huì)證明的方法. 首先讓我們回憶一下在數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)過(guò)的連續(xù)函數(shù)的定義. 函數(shù)f : FHR 稱為在點(diǎn)R處是連續(xù)的，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù) & 0,存在實(shí)數(shù)S 0,使 得對(duì)于任何x R,當(dāng)|x-| S時(shí),有|f（x）-f（ ）| .在這個(gè)定義中只涉及 兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的距離（即兩個(gè)實(shí)數(shù)之差的絕對(duì)值）這個(gè)概念；為了驗(yàn)證一個(gè)函 數(shù)在某點(diǎn)處的連續(xù)性往往只要用到關(guān)于上述距離的最基本的性質(zhì)， 而與實(shí)數(shù)的 其它性質(zhì)無(wú)關(guān)，關(guān)于多元函數(shù)的連續(xù)性情形也完全類似“以下，我們從這一考 察出發(fā)，抽象出度量和度量空間的概念. 定義2.1.1 設(shè)X

3、是一個(gè)集合，p : XXX-R如果對(duì)于任何x, y, z X, 有 (1) (正定性)，p (x,y)0并且p (x,y) = 0當(dāng)且僅當(dāng)x=y; (2) (對(duì)稱性)p (x,y)= p (y,x); (3) (三角不等式)p (x,z) p (x,y)+ p (y,z) 則稱p是集合X的一個(gè)度量. 如果p是集合X的一個(gè)度量，稱(X, p )是一個(gè)度量空間，或稱X是一 個(gè)對(duì)于p而言的度量空間“有時(shí)，或者度量 p早有約定，或者在行文中已作 交代，不提它不至于引起混淆，這時(shí)我們稱 X是一個(gè)度量空間“此外，對(duì)于任 意兩點(diǎn)x，y X，實(shí)數(shù)p (x，y)稱為從點(diǎn)x到點(diǎn)y的距離. 著重理解：度量的本質(zhì)是什

4、么？ 例2.1.1 實(shí)數(shù)空間R. 對(duì)于實(shí)數(shù)集合R,定義p : RX FHR如下：對(duì)于任意x，y R,令 p (x, y) =|x-y| “容易驗(yàn)證p是R的一個(gè)度量，因此偶對(duì)(R, p )是一個(gè) 度量空間.這個(gè)度量空間特別地稱為實(shí)數(shù)空間或直線. 這里定義的度量p ,稱 為R的通常度量，并且常常略而不提，逕稱 R為實(shí)數(shù)空間“(今后我們說(shuō)實(shí)數(shù) 空間，均指具有通常度量的實(shí)數(shù)空間“) 例2.1.2 n維歐氏空間丁 . 對(duì)于實(shí)數(shù)集合R的n重笛卡兒積 / = RX RX-XR3 定義p : 如下：對(duì)于任意X= （I ；）， 鳥(niǎo)=: 、 . - -b 令 p （X, y ）= 容易驗(yàn)證（詳見(jiàn)課本本節(jié)最后部分的

5、附錄） p是J的一個(gè)度量，因此偶 對(duì)（T, p）是一個(gè)度量空間.這個(gè)度量空間特別地稱為n維歐氏空間.這里定 義的度量p，稱為J的通常度量，并且常常略而不提，逕稱 J為n維歐氏空 間.2維歐氏空間通常稱為歐氏平面或平面“（今后說(shuō)通常度量，均指滿足這 種公式的度量） 例 2.1.3 Hilbert 空間 H. 記H為平方收斂的所有實(shí)數(shù)序列構(gòu)成的集合，即 0 Y Y 盂逹應(yīng)化矢,# H= x=（ - 一 ）| 二 vx 定義p如下：對(duì)于任意 x=（一一），y =（八丿:）H 令 P (x,y)= 0使得p (x, y) 亠對(duì)于任何y X, XM y,成立. 例如我們假定X是一個(gè)集合，定義p : XX

6、 XR使得對(duì)于任何 x, y X, 有 jo x P (x,y)= I- 容易驗(yàn)證p是X的一個(gè)離散的度量，因此度量空間(X, p)是離散的. 通過(guò)這幾個(gè)例子，可知，度量也是一種映射，但它的象空間是實(shí)數(shù). 離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過(guò)的一類空間， 但今后會(huì)發(fā)現(xiàn)它 的性質(zhì)是簡(jiǎn)單的. 定義2.1.2 設(shè)(X, p)是一個(gè)度量空間，x X.對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù) & 0,集合 y X| p (x, y) 0, B (x, Q 是x的一個(gè)球形 鄰域，所以x5 至少有一個(gè)球形鄰域；由于 p (x, x) =0,所以x屬于它的每一 個(gè)球形鄰域. (2) 如果B (x, -J和B (x, L )是xX的

7、兩個(gè)球形鄰域，任意選取實(shí) 數(shù) 0,使得 V min H，則易見(jiàn)有 B (x, & ) _B (x, )n B (x,) 即B (x, & )滿足要求. (3) 設(shè) y B (x, & ).令 t = &- p (x, y).顯然.0.如果 zB (y,-),則 g p (Z, x) 0使得B( a, & )匚 A,則稱A是度量空間X中的一個(gè)開(kāi)集. 注意：此處的開(kāi)集僅是度量空間的開(kāi)集. 例2.1.5 實(shí)數(shù)空間R中的開(kāi)區(qū)間都是開(kāi)集. 設(shè)a, b R, avb.我們說(shuō)開(kāi)區(qū)間 (a, b) =x R|av xv b 是R中的一個(gè)開(kāi)集.這是因?yàn)槿绻鹸( a, b),若令 & = minx-a , b-x

8、, 則有B (x, )_ (a, b) “也同樣容易證明無(wú)限的開(kāi)區(qū)間 (a,x)= x R|x a, (- , b) =x R|x v b (-g, x)= R 都是R中的開(kāi)集“然而閉區(qū)間 a , b=x R|ax0, B (x, & ) a,b都不成立“類似地，半開(kāi)半閉的區(qū)間 (a, b=x R|avx b, a , b) = x R|a a, ( g , b=x R|x b 都不是R中的開(kāi)集. 定理2.1.2 度量空間X中的開(kāi)集具有以下性質(zhì)： (1) 集合X本身和空集0都是開(kāi)集； (2) 任意兩個(gè)開(kāi)集的交是一個(gè)開(kāi)集； (3) 任意一個(gè)開(kāi)集族(即由開(kāi)集構(gòu)成的族)的并是一個(gè)開(kāi)集. 證明根據(jù)定理

9、2.1.1 (1) X中的每一個(gè)元素x都有一個(gè)球形鄰域，這個(gè)球形鄰域當(dāng)然包含在 X 中，所以X滿足開(kāi)集的條件；空集二中不包含任何一個(gè)點(diǎn)，也自然地可以認(rèn)為 它滿足開(kāi)集的條件. (2) 設(shè)U和V是X中的兩個(gè)開(kāi)集.如果x un V,則存在x的一個(gè)球形鄰 域B (x, -)包含于U,也存在x的一個(gè)球形鄰域B (x,二)包含于V.根據(jù) 定理,x有一個(gè)球形鄰域B (x, )同時(shí)包含于B (x, )和B (x,二), 因此 B (x, )_ B (x, 0,存在實(shí)數(shù)30使得對(duì)于任何xX只要p (x, )V S (即 x B C. , S)便有 L(f(x),f( ) V .(即 f(x) B (f( ：)

10、, ). 下面的這個(gè)定理是把度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為 拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的出發(fā)點(diǎn). 定理2.1.4 設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f : X-Y以及心 X.貝U下述條件 (1) 和(2)分別等價(jià)于條件(1) *和(2) * : (1) f在點(diǎn)九處是連續(xù)的； (1) *f(陽(yáng))的每一個(gè)鄰域的原象是九的一個(gè)鄰域； (2) f是連續(xù)的； (2) *Y中的每一個(gè)開(kāi)集的原象是 X中的一個(gè)開(kāi)集. 證明 條件(1)蘊(yùn)涵(1) * :設(shè)(1)成立.令U為f ()的一個(gè)鄰域.根 據(jù)定理2.1.3 , f ( T )有一個(gè)球形鄰域 B (f ( ), & )包含于U.由于f 在點(diǎn)處是連

11、續(xù)的，所以有一個(gè)球形鄰域 B ( , S )使得 f (B ( , S) B (f ()， ).然而，(B (f （, ）“（ U）,所以 9 B （ , $）_“（ U）,這證明 （U）是的一個(gè)鄰域. 條件（1） *蘊(yùn)涵（1）.設(shè)條件（1） *成立“任意給定f）的一個(gè)鄰 域B（ f（ ：i）, ），則（B（ f（），）是的一個(gè)鄰域.根據(jù)定理2.1.3 , 有一個(gè)球形鄰域B （ , S）包含于 1 （B （f），）. 因此f （B c I , S） _ B （f （）， ）.這證明f在點(diǎn)處連續(xù). 條件（2）蘊(yùn)涵（2） * .設(shè)條件（2）成立.令V為丫中的一個(gè)開(kāi)集， 1 （V） .對(duì)于每一個(gè)x

12、U,我們有f （x） V由于V是一個(gè)開(kāi)集， 所 以V是f （x）的一個(gè)鄰域“由于f在每一點(diǎn)處都連續(xù)，故根據(jù)（1） * , U是x 的一個(gè)鄰域.于是有包含x的某一個(gè)開(kāi)集Ux使得Ux_ U.易見(jiàn)U=U x UUx由 于每一個(gè)Ux都是開(kāi)集，根據(jù)定理2.1.2 , U是一個(gè)開(kāi)集. 條件（2） *蘊(yùn)涵（2）.設(shè)（2） *成立，對(duì)于任意x X,設(shè)U是f （x）的 一個(gè)鄰域，即存在包含f （x）的一個(gè)開(kāi)集V _U“從而x （V） _（ U） “根 據(jù)條件（2） * , / （V）是一個(gè)開(kāi)集，所以 （U）是x的一個(gè)鄰域，對(duì)于x 而言，條件（1） *成立，于是f在點(diǎn)x處連續(xù).由于點(diǎn)x是任意選取的，所以 f是一個(gè)

13、連續(xù)映射. 從這個(gè)定理可以看出：度量空間之間的一個(gè)映射是否是連續(xù)的，或者在某 一點(diǎn)處是否是連續(xù)的，本質(zhì)上只與度量空間中的開(kāi)集有關(guān)（注意，鄰域是通過(guò) 開(kāi)集定義的）.這就導(dǎo)致我們甩開(kāi)度量這個(gè)概念，參照度量空間中開(kāi)集的基本 性質(zhì)（定理 作業(yè)： P47 2.2 拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射 本節(jié)重點(diǎn)： 拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g的概念，并在此空間上建立起來(lái)的連續(xù)映射的概念 注意區(qū)別： 拓?fù)淇臻g的開(kāi)集與度量空間開(kāi)集的異同；連續(xù)映射概念的異同 . 現(xiàn)在我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，即從開(kāi)集及其基本性質(zhì)（定理 定義2.2.1 設(shè)X是一個(gè)集合，T是X的一個(gè)子集族“如果 T滿足如下 條件： （l ） X, 0T ； （2） 若 A,

14、 B T ，則 AH BT ; （3） 若匚丁戶u的矢T 則稱T是X的一個(gè)拓?fù)? 如果T是集合X的一個(gè)拓?fù)洌瑒t稱偶對(duì)（X, T ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，或 稱集合X是一個(gè)相對(duì)于拓?fù)銽而言的拓?fù)淇臻g；此外T的每一個(gè)元素都叫做 拓?fù)淇臻g（X，T ）或（X）中的一個(gè)開(kāi)集“即：A T ： A是開(kāi)集 （此定義與度量空間的開(kāi)集的性質(zhì)一樣嗎？留給大家思考） 經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的歸納立即可見(jiàn)，以上定義中的條件（2）蘊(yùn)涵著：有限多個(gè)開(kāi) 集的交仍是開(kāi)集，條件（3）蘊(yùn)涵著：任意多個(gè)開(kāi)集的并仍是開(kāi)集.11 現(xiàn)在首先將度量空間納入拓?fù)淇臻g的范疇. 定義2.2.2 設(shè)（X, p）是一個(gè)度量空間“令 耳為由X中的所有開(kāi)集構(gòu) 度量p誘導(dǎo)出來(lái)

15、的拓?fù)洹按送馕覀兗s定： 如果沒(méi)有另外的說(shuō)明， 我們提到度 量空間 （X, p ）的拓?fù)鋾r(shí)， 指的就是拓?fù)鋷祝?在稱度量空間 （x,p）為拓?fù)?空間時(shí)， 指的就是拓?fù)淇臻g （X,幾） 因此，實(shí)數(shù)空間R, n維歐氏空間（特別，歐氏平面：/）, Hilbert空 間H都可以叫做拓?fù)淇臻g，它們各自的拓?fù)浔闶怯衫?2.1.1 ,例 例2.2.1 平庸空間. 設(shè)X是一個(gè)集合“令T=X,二 “容易驗(yàn)證，T是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為 X的平庸拓?fù)?并且我們稱拓?fù)淇臻g（X, T）為一個(gè)平庸空間“在平庸空間（X, T）中，有且僅有兩個(gè)開(kāi)集，即 X本身和空集二. 例2.2.2 離散空間. 設(shè)X是一個(gè)集合.令T=P （X

16、）,即由X的所有子集構(gòu)成的族.容易驗(yàn)證， T是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的離散拓?fù)?；并且我們稱拓?fù)淇臻g（X, T）為一 個(gè)離散空間.在離散空間（X, T）中，X的每一個(gè)子集都是開(kāi)集. 例 2.2.3 設(shè) X=a , b, c.令 T =二,a , a , b, a , b, c. 容易驗(yàn)證，T是X的一個(gè)拓?fù)?，因此（X, T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g.這個(gè)拓?fù)?空間既不是平庸空間又不是離散空間. 成的集族“根據(jù)定理2.1.2， （X,幾）是X的一個(gè)拓?fù)洹拔覀兎Q 例2.2.4 有限補(bǔ)空間. 設(shè)X是一個(gè)集合“首先我們重申：當(dāng)我們考慮的問(wèn)題中的基礎(chǔ)集自明時(shí)， 我們并不每次提起.因此在后文中對(duì)于X的每一個(gè)子集A，它的

17、補(bǔ)集X A我們 寫(xiě)為-“令 T =U _ X|是X的一個(gè)有限子集 U 先驗(yàn)證T是X的一個(gè)拓?fù)洌?（1） X T （因?yàn)橐?二）；另外，根據(jù)定義便有 二 T. （2） 設(shè)A, B T如果A和B之中有一個(gè)是空集，則 AH B T,假定A和B 都不是空集“這時(shí) 是X的一個(gè)有限子集，所以AH B T . （3） 設(shè)：令： ：,顯然有 U的/ =。刪/ 如果:，則 設(shè)二 r 任意選取二二- 一.這時(shí)“ 八、1 1 =門2 J H 是X 的一個(gè)有限子集，所以 根據(jù)上述（1），（2）和（3），P是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的有限補(bǔ)拓 撲.拓?fù)淇臻g（X，P）稱為一個(gè)有限補(bǔ)空間. 例2.2.5 可數(shù)補(bǔ)空間. 設(shè)X

18、是- -個(gè)集合.令 T =U X|是X的一個(gè)可數(shù)子集 U 通過(guò)與例是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)?拓?fù)淇臻g（X，T ） 稱為一個(gè)可數(shù)補(bǔ)空間. 13 一個(gè)令人關(guān)心的問(wèn)題是拓?fù)淇臻g是否真的要比度量空間的范圍更廣一 點(diǎn)？換句話就是問(wèn)：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g的拓?fù)涠伎梢杂赡骋粋€(gè)度量誘導(dǎo)出 來(lái)？ 定義223 設(shè)（X，P）是一個(gè)拓?fù)淇臻g“如果存在 X的一個(gè)度量p使 得拓?fù)銹即是由度量p誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)?&，則稱（X, P）是一個(gè)可度量化空 根據(jù)這個(gè)定義，前述問(wèn)題即是：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g都是可度量化空間？ 從 2. 1中的習(xí)題2和3可以看出，每一個(gè)只含有限個(gè)點(diǎn)的度量空間作為拓?fù)?空間都是離散空間“然而一個(gè)平

19、庸空間如果含有多于一個(gè)點(diǎn)的話，它肯定不是 離散空間，因此它不是可度量化的；例，但不是離散空間，也不是可度量化的.由 此可見(jiàn)，拓?fù)淇臻g是比可度量空間的范圍要廣泛“進(jìn)一步的問(wèn)題是滿足一些什 么條件的拓?fù)淇臻g是可度量化的？這是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的重要問(wèn)題之一， 以后我 們將專門討論. 現(xiàn)在我們來(lái)將度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g之間的連 續(xù)映射. 定義2.2.4 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X f Y.如果Y中每一個(gè)開(kāi)集U 的原象廠（U）是X中的一個(gè)開(kāi)集，則稱f是X到丫的一個(gè)連續(xù)映射，或簡(jiǎn)稱 映射f連續(xù). 按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射，明顯是受到了 2. 1中的定理, 如果f:X fY是

20、從度量空間X到度量空間Y的一個(gè)連續(xù)映射，那么它也是從拓 撲空間X到拓?fù)淇臻g丫的一個(gè)連續(xù)映射，反之亦然.（按照約定，涉及的拓?fù)?當(dāng)然都是指誘導(dǎo)拓?fù)洌?下面的這個(gè)定理盡管證明十分容易， 但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的 性質(zhì). 定理2.2.1 設(shè)X, 丫和Z都是拓?fù)淇臻g“則 (1) 恒同映射：L :X X是一個(gè)連續(xù)映射； (2) 如果f:X Y和g:YZ都是連續(xù)映射，則 gof:X Z也是連續(xù)映射. 證明(I )丸，所以 連續(xù). (2) 設(shè)f:X Y,g:Y Z都是連續(xù)映射 匸壯爲(wèi)北叮尸娜廠(尹( E耳 這證明gof連續(xù). 在數(shù)學(xué)科學(xué)的許多學(xué)科中都要涉及兩類基本對(duì)象. 如在線性代數(shù)中我們考 慮線性

21、空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集 合和映射，在不同的幾何學(xué)中考慮各自的圖形和各自的變換等等. 并且對(duì)于后 者都要提出一類來(lái)予以重視，例如線性代數(shù)中的(線性)同構(gòu)，群論中的同構(gòu), 集合論中的一一映射，以及初等幾何學(xué)中的剛體運(yùn)動(dòng)(即平移加旋轉(zhuǎn))等等. 我們現(xiàn)在已經(jīng)提出了兩類基本對(duì)象， 即拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射.下面將從連 續(xù)映射中挑出重要的一類來(lái)給予特別的關(guān)注. 定義2.2.5 設(shè)X和丫是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果f : XY是一個(gè)一一映射, 并且f和廣：YX都是連續(xù)的，則稱f是一個(gè)同胚映射或同胚. 定理2.2.2 設(shè)X, 丫和Z都是拓?fù)淇臻g.則 (1) 恒同映射L : XX是一

22、個(gè)同胚； (2) 如果f : XY是一個(gè)同胚，貝1 : YX也是一個(gè)同胚; (3) 如果f : XY和g : YZ都是同胚，貝U gof : XZ也是一個(gè)同胚. 證明 以下證明中所涉及的根據(jù)，可參見(jiàn)定理 2.2.1 ,定理 I . 5. 3和定理 1. 5. 4. (I ) I是一個(gè)一一映射，并且 v t ，都是連續(xù)的，從而 是同胚. 15 (2) 設(shè)f : XY是一個(gè)同胚.因此f是一個(gè)一一映射，并且f和1都 是連續(xù)的.于是： 也是一個(gè)一一映射并且和一也都是連續(xù)的， 所以也是一個(gè)同胚. (3) 設(shè)f : XY和g: Y-Z都是同胚.因此f和g都是一一映射，并且f， 1，g和J都是連續(xù)的.因此g

23、of也是一一映射，并且gof和 :廠廠 ：丁都是連續(xù)的.所以gof是一個(gè)同胚. 定義2.2.6 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果存在一個(gè)同胚 f : X-Y,則 稱拓?fù)淇臻gX與拓?fù)淇臻g丫是同胚的，或稱X與丫同胚，或稱X同胚于丫. 粗略地說(shuō)，同胚的兩個(gè)空間實(shí)際上便是兩個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間. 定理2.2.3 設(shè)X, 丫和Z都是拓?fù)淇臻g.則 (1) X與X同胚； (2) 如來(lái)X與丫同胚，貝U 丫與X同胚； (3) 如果X與丫同胚，丫與Z同胚，貝U X與Z同胚. 證明從定理 根據(jù)定理2.2.3，我們可以說(shuō)：在任意給定的一個(gè)由拓?fù)淇臻g組成的族中， 兩個(gè)拓?fù)淇臻g是否同胚這一關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系. 因而同胚關(guān)

24、系將這個(gè)拓?fù)淇?間族分為互不相交的等價(jià)類，使得屬于同一類的拓?fù)淇臻g彼此同胚，屬于不同 類的拓?fù)淇臻g彼此不同胚. 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)P,如果為某一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則必為與其同胚 的任何一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則稱此性質(zhì) P是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)“換言之，拓 撲不變性質(zhì)即為同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì). 拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì). 至此我們已經(jīng)做完了將數(shù)學(xué)分析中我們熟知的歐氏空間和歐氏空間之間 的連續(xù)函數(shù) 的概念，經(jīng)由度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射，一直抽象為拓 撲空間和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射這樣一個(gè)在數(shù)學(xué)的歷史上經(jīng)過(guò)了很長(zhǎng)的一 段時(shí)期才完成的工作.在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中對(duì)所研究的問(wèn)題不斷地加以

25、抽象這 種做法是屢見(jiàn)不鮮的，但每一次的抽象都是把握住舊的研究對(duì)象（或其中的某 一個(gè)方面）的精粹而進(jìn)行的一次提升，是一個(gè)去粗取精的過(guò)程.也正因?yàn)槿绱? 新的概念和理論往往有更多的包容. 拓?fù)鋵W(xué)無(wú)疑也是如此，一方面它使我們對(duì)空間和連續(xù)有更為純正 的認(rèn)識(shí)，另一方面也包含了無(wú)法列入以往的理論中的新的研究對(duì)象（特別是許 多無(wú)法作為度量空間處理的映射空間）“這一切讀者在學(xué)習(xí)的過(guò)程中必然會(huì)不 斷地加深體會(huì). 作業(yè)： P55 2,5,6,8,9,10 2.3 鄰域與鄰域系 本節(jié)重點(diǎn)： 掌握鄰域的概念及鄰域的性質(zhì)； 掌握連續(xù)映射的兩種定義； 掌握證明開(kāi)集與鄰域的證明方法（今后證明開(kāi)集常用定理 我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中定

26、義映射的連續(xù)性是從局部到整體的， 也就是 說(shuō)先定義映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性， 然后再定義這個(gè)映射本身的連續(xù)性. 然而 對(duì)于拓?fù)淇臻g的映射而言，先定義映射本身的連續(xù)性更為方便， 所以我們先在 2.2中做好了；現(xiàn)在輪到給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的定義了 .在定理， 為此只要有一個(gè)適當(dāng)?shù)姆Q之為鄰域的概念，而在 2.1中定義度量空間的 鄰域時(shí)又只用到開(kāi)集.因此我們先在拓?fù)淇臻g中建立鄰域的概念然后再給 出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念，這些概念的給出一點(diǎn)也不會(huì)使我們感到突 然. 17 定義2.3.1 設(shè)（X，P）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x X.如果U是X的一個(gè)子集， 滿足條件：存在一個(gè)開(kāi)集 V P使得xV _ U,

27、則稱U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域.點(diǎn)x 的所有鄰域構(gòu)成的x的子集族稱為點(diǎn)x的鄰域系.易見(jiàn)，如果U是包含著點(diǎn)x 的一個(gè)開(kāi)集，那么它一定是x的一個(gè)鄰域，于是我們稱U是點(diǎn)x的一個(gè)開(kāi)鄰域. 首先注意，當(dāng)我們把一個(gè)度量空間看作拓?fù)淇臻g時(shí)（這時(shí)，空間的拓?fù)涫?由度量誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)洌?，一個(gè)集合是否是某一個(gè)點(diǎn)的鄰域，無(wú)論是按 2.1 中的定義或者是按這里的定義，都是一回事. 定理2.3.1 拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集U是開(kāi)集的充分必要條件是U是它的 每一點(diǎn)的鄰域，即只要x U, U便是x的一個(gè)鄰域. 證明 定理中條件的必要性是明顯的.以下證明充分性.如果U是空集二， 當(dāng)然U是一個(gè)開(kāi)集.下設(shè)UM二.根據(jù)定理中的條件， 故：，根

28、據(jù)拓?fù)涞亩x，U是一個(gè)開(kāi)集. 定理 定理232 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g“記x為點(diǎn)xX的鄰域系“貝 （1）對(duì)于任何x X, S 工0 ;并且如果U，則x U; (2)如果U, V S，貝U UP V S ； (3)如果U 6 并且 UU V,貝U V ； （4）如果U S，則存在V S 滿足條件：（a）V匚U和（b）對(duì)于任何 y V,有 V S . 證明（1） 丄X,X P,二X厶，“厶 工二且由定義,如果 U 二，貝U xU （2） 設(shè)U,VJ則存在U. - P和 X P使得 -和i.- 成立.從而我們有 - - . - L -=“ UP V （3） 設(shè)u上，并且：-二二一二一 I仁 （4） 設(shè)U

29、厶.令V P滿足條件/ - ? . V已經(jīng)滿足條件（a）,根 據(jù)定理2.3.1，它也滿足條件（b）. 以下定理表明，我們完全可以從鄰域系的概念出發(fā)來(lái)建立拓?fù)淇臻g理論， 這種做法在點(diǎn)集拓?fù)浒l(fā)展的早期常被采用.這種做法也許顯得自然一點(diǎn)，但不 如現(xiàn)在流行的從開(kāi)集概念出發(fā)定義拓?fù)鋪?lái)得簡(jiǎn)潔. 定理2.3.3 設(shè)X是一個(gè)集合.又設(shè)對(duì)于每一點(diǎn) xX指定了 x的一個(gè)子 集族5，并且它們滿足定理，子集族 x恰是點(diǎn)x在拓?fù)淇臻g（X，P）中的鄰 域系.（證明略） 現(xiàn)在我們來(lái)將度量空間之間的連續(xù)映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念推廣到 拓?fù)淇臻g之間的映射中去. 定義232 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X -Y, x X.如果

30、 f (x )Y的每一個(gè)鄰域U的原象(U)是xX的一個(gè)鄰域，則稱映射f 是一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射，或簡(jiǎn)稱映射f在點(diǎn)x處連續(xù). 與連續(xù)映射的情形一樣，按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的映射在某一點(diǎn)處 的連續(xù)性也明顯地是受到了 2.1中的定理，如果f: X -Y是從度量空間X到 度量空間丫的一個(gè)映射，它在某一點(diǎn) xX處連續(xù)，那么它也是從拓?fù)淇臻g X 到拓?fù)淇臻g丫的一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射；反之亦然. 這里我們也有與定理 定理234 設(shè)X, 丫和Z都是拓?fù)淇臻g.則 19 (1) 恒同映射L : X-X在每一點(diǎn)xX處連續(xù)； (2) 如果f : X-Y在點(diǎn)xX處連續(xù)，g: Y-Z在點(diǎn)f (x)處連續(xù)，則 gof

31、 : X-Z在x處連續(xù). 證明請(qǐng)讀者自己補(bǔ)上. 以下定理則建立了局部的連續(xù)性概念和整體的連續(xù)性概念之間 的聯(lián)系. 定理235 設(shè)X和丫是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f : X-Y.貝U映射f連續(xù)當(dāng)且僅 當(dāng)對(duì)于每一點(diǎn)x X,映射f在點(diǎn)x處連續(xù). 證明必要性：設(shè)映射f連續(xù)， 這證明f在點(diǎn)X處連續(xù). 充分性：設(shè)對(duì)于每一點(diǎn)x X,映射f在點(diǎn)x處連續(xù). VETeTiVze 廣(UU e Uf滬氏)叫于 e Tx 這就證明了 f連續(xù). 作業(yè)： 掌握證明一個(gè)子集是鄰域的方法，掌握證明一個(gè)映射是否連續(xù)的方法. 2.4 導(dǎo)集，閉集，閉包 本節(jié)重點(diǎn)： 熟練掌握凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、閉集、閉包的概念； 區(qū)別一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉包的概念上的

32、不同； 掌握一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉集或閉包的充要條件; 掌握用閉集敘述的連 續(xù)映射的充要條件. 如果在一個(gè)拓?fù)淇臻g中給定了一個(gè)子集， 那么拓?fù)淇臻g中的每一個(gè)點(diǎn)相對(duì) 于這個(gè)子集而言處境各自不同，因此可以對(duì)它們進(jìn)行分類處理. 定義2.4.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，ACX.如果點(diǎn)xX的每一個(gè)鄰域U 中都有A中異于x的點(diǎn)，即Un（ A-x）工0，則稱點(diǎn)x是集合A的一個(gè)凝 聚點(diǎn)或極限點(diǎn).集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為 A的導(dǎo)集，記作d（ A） “如 果xA并且x不是A的凝聚點(diǎn)，即存在x的一個(gè)鄰域U使得Un（ A-x）= 0，則稱x為A的一個(gè)孤立點(diǎn). 即:（牢記） 0目亡6刀門（乂 X）H0 群曲&0血總久門

33、（/-何）=0 在上述定義之中，凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、以及孤立點(diǎn)的定義無(wú)一例外地都依賴于 它所在的拓?fù)淇臻g的那個(gè)給定的拓?fù)洹耙虼?，?dāng)你在討論問(wèn)題時(shí)涉及了多個(gè)拓 撲而又談到某個(gè)凝聚點(diǎn)時(shí)，你必須明確你所談的凝聚點(diǎn)是相對(duì)于哪個(gè)拓?fù)涠?言，不容許產(chǎn)生任何混淆“由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于 給定拓?fù)涞?，因此類似于這里談到的問(wèn)題今后幾乎時(shí)時(shí)都會(huì)發(fā)生，我們不每次 都作類似的注釋，而請(qǐng)讀者自己留心. 某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過(guò)剛剛定義的這些概念， 但絕不 要以為對(duì)歐氏空間有效的性質(zhì)，例如歐氏空間中凝聚點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)一般的拓?fù)?空間都有效“以下兩個(gè)例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象. 例

34、241 離散空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集. 設(shè)X是一個(gè)離散空間，A是X中的一個(gè)任意子集.由于 X中的每一個(gè)單點(diǎn) 集都是開(kāi)集，因此如果xX,則X有一個(gè)鄰域X，使得 上二匸.二皿丄，以上論證說(shuō)明，集合 A沒(méi)有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)， 從而A的導(dǎo)集是空集，即d (A)=二. 21 例2.4.2 平庸空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集. 設(shè)X是一個(gè)平庸空間，A是X中的一個(gè)任意子集.我們分三種情形討論： 第1種情形：A二二.這時(shí)A顯然沒(méi)有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，亦即 d (A)二.(可以參見(jiàn)定理 第2種情形：A是一個(gè)單點(diǎn)集，令A(yù) = 如果x X, XM ，點(diǎn)x只有 惟一的一個(gè)鄰域 X,這時(shí).二上二 ，所以第.丁 ;因此x 是A的一個(gè)

35、凝聚點(diǎn)，即x d ( A).然而對(duì)于 T 的惟一鄰域X有： .“所以 d (A) =X-A. 第3種情形：A包含點(diǎn)多于一個(gè)“請(qǐng)讀者自己證明這時(shí) X中的每一個(gè)點(diǎn)都 是A的凝聚點(diǎn)，即d( A)= X. 定理241 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A_X.貝U (I ) d (二)二二; (2) A_B蘊(yùn)涵 d (A) _ d ( B); (3) d (AU B)= d (A)U d ( B); (4) d (d (A) _ AU d (A). 證明 (1)由于對(duì)于任何一點(diǎn)xX和點(diǎn)x的任何一個(gè)鄰域U, 有 un；二7二 一： (2) 設(shè)A_B.如果；門二二匚七= - - _ 二-這證明了 d (A) _ d (

36、B). (3) 根據(jù)(2),因?yàn)?A, B_AU B,所以有 d (A) , d (B) _ d (AU B), 從而 d (A)U d ( B) _ d (AU B) 另一方面，如果 3 Dn(ilu5-(x) -Dn(jl-x) u(B -() u(Pn(3-(x) uc(d-國(guó))u(Fn(5-(x)y) =0 .- x) = 0 n x毎 = d(占uE) crf(j4)urf(5) 綜上所述，可見(jiàn)(3)成立.(這是證明一個(gè)集合包含于另一個(gè)集合的另一 方法:要證_ -,只要證-即可.) (4) 設(shè):3UeUKsUn(A-(x) = 0 =D 23 心皿 g :; 嚴(yán)心d)=0 y7yry

37、(A-) = 0eTt：.yeUy：.yd(A)f =VcdA) = 00 c(N(& -)=0 .；x 毎 d(d(/4) n d(d(y4) aAjd(A) 成立. 定義2.4.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A_X.如果A的每一個(gè)凝聚點(diǎn)都屬于 A,即d（A） _ A,則稱A是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)閉集. 例如，根據(jù)例，離散空間中的任何一個(gè)子集都是閉集，而平庸空間中的任 何一個(gè)非空的真子集都不是閉集. 定理2.4.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A_X.則A是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng) A 的補(bǔ)集二是一個(gè)開(kāi)集. 證明必要性：設(shè) A是一 一個(gè)閉集 PXE 開(kāi)隹 A/:d（A）匚 A xd（A）,3UeUUn（iA-x）

38、 = 0 :,UnA = 0U cAAfeT 充分性：設(shè)： AriA = Zt An（A -x） = 0= x 隹 d（& “:禮4）匚蟲(chóng) 即A是一個(gè)閉集. 例2.4.3 實(shí)數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間. 設(shè)a，b R, avb.閉區(qū)間a，b是實(shí)數(shù)空間R中的一個(gè)閉集，因?yàn)閍， b的補(bǔ)集I丄討=（-%，a）n（ b,x）是一個(gè)開(kāi)集. 即（4） 同理，(-g, a , b ,x)都是閉集，(-8,s)= R顯然更是一個(gè)閉 集“然而開(kāi)區(qū)間(a, b)卻不是閉集，因?yàn)閍是(a, b)的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但aA (a，b).同理區(qū)間(a, b , a , b),( -g, &)和(b,g)都不是閉集. 定理243

39、 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g“記F為所有閉集構(gòu)成的族“貝 (1) X,二 F (2) 如果 A, B F,則 AUBE F (從而如果 -亠-.- ) (3) 如果二工二 在此定理的第(3)條中，我們特別要求 二Mi的原因在于當(dāng) =二時(shí)所涉及的交運(yùn)算沒(méi)有定義. 證明 根據(jù)定理2.4.2，我們有T=_ |U F其中，T為X的拓?fù)? (1) v X,二 “ - 廠工二廠 ( 2 ) 若 A 、 B F , 則 ABieTl=AirB,eTfAuB = AuB(A/nBTEF (3) 令： n Hjkjj = =(U軸 Ay E F 定理證明完成. 總結(jié)：(1)有限個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集，任意個(gè)開(kāi)集的并是開(kāi)集“其

40、余情形 不一定. (2) 有限個(gè)閉集的并是閉集，任意個(gè)閉集的交是閉集“其余情形不一定.25 定義243 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A _X,集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并 AU d(A)稱為集合A的閉包,記作一或二 容易看出， “八 ：(注意：與x d(A)的區(qū)別) 定理244 拓?fù)淇臻gX的子集A是閉集的充要條件是A=/l 證明：定理成立是因?yàn)椋杭螦為閉集當(dāng)且僅當(dāng)d(A) _ A而這又當(dāng)且僅當(dāng) A=AJ d(A) 定理2.4.5 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,則對(duì)于任意A,B X,有: (3) 成立是因?yàn)?(4) 成立是因?yàn)?=AJ d (A)J d (d (A) =AJ d ( A)= 在第(3)條和第(4

41、)條的證明過(guò)程中我們分別用到了定理 (2)成立是根據(jù)閉包的定義. AuB 5(A)Q (丄5(&23 AuB 定理246 拓?fù)淇臻gX的任何一個(gè)子集A的閉包都是閉集. 證明根據(jù)定理 定理247 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構(gòu)成的族， 則對(duì)于X的每一個(gè)子集A,有 刁叩ieFJb 即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交. 證明 因?yàn)锳包含于 T 壬一:丄，而后者是一個(gè)閉集，由定理 有r 另一方面，由于是一個(gè)閉集，并且二一：，所以 -I交包含于形成交的任一個(gè)成員） 綜合這兩個(gè)包含關(guān)系，即得所求證的等式. 由定理，X是一個(gè)包含著A的閉集，它又包含于任何一個(gè)包含 A的閉集之 中，在這種意義

42、下我們說(shuō)：一個(gè)集合的閉包乃是包含著這個(gè)集合的最小的閉集. 在度量空間中，集合的凝聚點(diǎn)，導(dǎo)集和閉包都可以通過(guò)度量來(lái)刻畫(huà). 定義245 設(shè)（X，p ） 一個(gè)度量空間.X中的點(diǎn)x到X的非空子集A的 距離p （x，A）定義為 p （x，A）= inf p （x，y） |y A 根據(jù)下確界的性質(zhì)以及鄰域的定義易見(jiàn)： p （x, A） 二0當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任 意實(shí)數(shù)& 0,存在yA使得p （x，y） M時(shí)有xi U,則稱點(diǎn)x是序列；：， 的一個(gè)極限點(diǎn)(或極限)，也稱為序列 ；:.收斂于X,記作 r r lim ； = x 或；x(i x) 如果序列至少有一個(gè)極限，則稱這個(gè)序列是一個(gè)收斂序列. 拓?fù)淇臻g中序列的

43、收斂性質(zhì)與以前我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中熟悉的有很大的差 別.例如，容易驗(yàn)證平庸空間中任何一個(gè)序列都收斂，并且收斂于這個(gè)空間中 的任何一個(gè)點(diǎn).這時(shí)極限的惟一性當(dāng)然無(wú)法保證了. 定義2.7.3 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，S, X是X中的兩個(gè)序列.女口 果存在一個(gè)嚴(yán)格遞增的映射 N:； (即對(duì)于任意；，如果I ：;j， 則有N (l)v N (旳)， 使得1 = SoN則稱序列$是序列S的一個(gè)子序列. 假如我們將此定義中的序列 S記作；那么序列丨自然可以記作 :-，也就是說(shuō)，序列第i個(gè)點(diǎn)恰是序列第N(i )個(gè)點(diǎn). 我們已經(jīng)看到，我們以前熟悉的序列的性質(zhì)有許多對(duì)于拓?fù)淇臻g中的序列 是不適合的.但總有一些性質(zhì)還保留著

44、，其中最主要的可見(jiàn)于以下三個(gè)定理中. 定理2.7.1 設(shè)；：是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列.則 37 (1) 如果二.是一個(gè)常值序列，即對(duì)于某一個(gè)x X,有I =x,i ， 貝U lim : =x； (2) 如果序列收斂于x X,則序列：二的每一個(gè)子序列也 收斂于x. 證明(略). 定理2.7.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A _X,x X.如果有一個(gè)序列 J :- 在A-x中(此意即，對(duì)于每一個(gè)i 有I A-x)，并且收斂于x，則x 是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn). 證明設(shè)序列 二,在A-x中并且收斂于x.如果U是x的一個(gè)鄰域，則 存在 M 使得 J/ .L-J _U，因此 J/ .L-J - UP (A-x)，

45、從而 UP (A - x)工-.這證明x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn). 例2.7.1 定理 設(shè)X是一個(gè)不可數(shù)集，考慮它的拓?fù)錇榭蓴?shù)補(bǔ)拓?fù)?，這時(shí) X的一個(gè)子集是 閉集當(dāng)且僅當(dāng)或者它是X本身或者它是一個(gè)可數(shù)集.我們先指出可數(shù)補(bǔ)空間 X 的兩個(gè)特征： (1) X中的一個(gè)序列 收斂于xX的充分必要條件是存在 M 使 得當(dāng)i M時(shí)，I =x. 條件的充分性是顯然的.以下證明必要性.設(shè)lim =x由于集合 -一一二二是一個(gè)可數(shù)集，因此D的補(bǔ)集：是x的一個(gè)鄰域，從而 存在M .使得當(dāng)i M時(shí)有廠匚，此時(shí)必有.:=x. (2)如果A是X的一個(gè)不可數(shù)子集，則集合 A的導(dǎo)集d (A)= X. 這是因?yàn)閄中任何一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)

46、鄰域中都包含著某一個(gè)非空開(kāi)集， 而 拓?fù)淇臻gX中的每一個(gè)非空開(kāi)集都是一個(gè)可數(shù)集的補(bǔ)集， 所以任何一個(gè)點(diǎn)的任 何一個(gè)鄰域都是某一個(gè)可數(shù)集的補(bǔ)集.由于 A是一個(gè)不可數(shù)集，它將與任何一 個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域有非空的交，因此 X中任何一個(gè)點(diǎn)都是集合A的凝聚點(diǎn)， 即 d (A)= X. 現(xiàn)在我們來(lái)指出， 在這個(gè)拓?fù)淇臻gX中， 定理：， 它是一個(gè)不可數(shù)集.根 據(jù)(2)，我們有 d (A),也就是說(shuō)，是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)；然而根據(jù) (1)，在A (=X-)中不可能有序列收斂于 這個(gè)例子表明，在一般的拓?fù)淇臻g中不能像在數(shù)學(xué)分析中那樣通過(guò)序列收 斂的性質(zhì)來(lái)刻畫(huà)凝聚點(diǎn). 定理2.7.3 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X

47、f Y.貝U (1) 如果f在點(diǎn)X處連續(xù)，則X中的一個(gè)序列收斂于蘊(yùn)涵 著Y中的序列- |收斂于f (-)； (2) 如果f連續(xù)，則X中的一個(gè)序列 收斂于xX蘊(yùn)涵著Y中的序 列人收斂于f(x). 證明(1)設(shè)f在點(diǎn)處連續(xù)，二是X中的一個(gè)收斂于的序列“如 果U是f()的一個(gè)鄰域，貝U / (U)是的一個(gè)鄰域“這時(shí)存在 M使得 當(dāng)i M時(shí)有 m (2)成立是因?yàn)檫B續(xù)即在每一點(diǎn)處連續(xù)(參見(jiàn)定理 2. 3. 5). 例2.7.2 定理 現(xiàn)在設(shè)X是實(shí)數(shù)集合，并且考慮它的拓?fù)錇榭蓴?shù)補(bǔ)拓?fù)洹翱紤]從拓?fù)淇臻g X到實(shí)數(shù)空間R的恒同映射i : X R由于如果拓?fù)淇臻g X中的序列收 斂于x X,則有：存在M ： “使

48、得當(dāng)i M時(shí)有二x,因此此時(shí)序列J 在實(shí) 數(shù)空間R中也收斂于x “這就是說(shuō)映射i滿足定理 39 ，只要不是R本身，那么(U)=U在拓?fù)淇臻gX中不能包含任何一個(gè)開(kāi)集(因 為U的補(bǔ)集一不是可數(shù)集)，也就不能作為任何一個(gè)點(diǎn)的鄰域. 上述例子表明，在一般的拓?fù)淇臻g中不能像在數(shù)學(xué)分析中那樣通過(guò)序列收 斂的性質(zhì)來(lái)刻畫(huà)映射的連續(xù)性. 至于在什么樣的條件下，定理，也就是說(shuō)可以用序列收斂的性質(zhì)來(lái)刻畫(huà)凝 聚點(diǎn)和映射的連續(xù)性，我們今后還要進(jìn)行進(jìn)一步的研究. 此外，在度量空間中，序列的收斂可以通過(guò)度量來(lái)加以描述. 定理2.7.4 設(shè)(X，p )是一個(gè)度量空間，“：是X中的一個(gè)序列， x X.則以下條件等價(jià)： (1)

49、序列：收斂于x； (2) 對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)& 0,存在N使得當(dāng)i N時(shí) 川、 P ( L ,X) ； （3） lim p （ ；,x）=O（i 證明（略） 作業(yè)： P. 88 1,3（記住習(xí)題3的結(jié)論） 本章總結(jié)： 1. 本章的研究對(duì)象是一個(gè)任意的集合，在其上定義了一個(gè)開(kāi)集族結(jié) 構(gòu)（為了能夠運(yùn)算，所定義的開(kāi)集必須滿足 P. 48定義2. 2. 1）.這個(gè)集合就 成了拓?fù)淇臻g.（注意它與通常的實(shí)數(shù)空間不同） 2. 在拓?fù)淇臻g中由開(kāi)集衍生定義出鄰域 ，閉集，閉包，導(dǎo)集，序列等概 念.（要掌握這些概念的等價(jià)命題） 3. 為了進(jìn)一步研究開(kāi)集的結(jié)構(gòu)，又引進(jìn)了基與子基的概念.（要掌握基與 開(kāi)集的關(guān)系） 4. 此時(shí)拓?fù)淇臻g的序列有哪些性質(zhì)？與實(shí)數(shù)空間的序列有哪些不同？ 5. 兩個(gè)空間的關(guān)系用一個(gè)映射來(lái)聯(lián)系，怎樣的映射是連續(xù)的？有幾種方法 可以判斷映射是連續(xù)的？ 6. 為了向?qū)崝?shù)空間看齊，可以在集合中引進(jìn)度量這個(gè)概念.度量空間 有哪些性質(zhì)？ 按以上這些要點(diǎn)復(fù)習(xí)一遍.然后記住以下幾個(gè)常見(jiàn)的空間的性質(zhì) ： 實(shí)數(shù)空間,平庸空間，離散空間，有限補(bǔ)空間，可數(shù)補(bǔ)空間； 開(kāi)集，閉集,鄰域是怎樣的？