北師大八年級上勾股定理單元測試(五)含答案解析

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1、第1章 勾股定理 　 一、選擇題（共11小題） 1．如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 2．下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是（　?。? A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 3．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（　?。? A．1

2、3cm B．2cm C． cm D．2cm 4．△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，如果a2+b2=c2，那么下列結(jié)論正確的是（　?。? A．csinA=a B．bcosB=c C．a(chǎn)tanA=b D．ctanB=b 5．一圓錐體形狀的水晶飾品，母線長是10cm，底面圓的直徑是5cm，點A為圓錐底面圓周上一點，從A點開始繞圓錐側(cè)面纏一圈彩帶回到A點，則彩帶最少用多少厘米（接口處重合部分忽略不計）（　?。? A．10πcm B．10cm C．5πcm D．5cm 6．下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D

3、．1，，3 7．a(chǎn)、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，且a：b：c=1：：，則cosB的值為（　?。? A． B． C． D． 8．如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計）為（　?。? A．12m B．13m C．16m D．17m 9．下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（　?。? A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4 10．如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b

4、的距離為3，AB=．試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 11．如圖，在6個邊長為1的小正方形及其部分對角線構(gòu)成的圖形中，如圖從A點到B點只能沿圖中的線段走，那么從A點到B點的最短距離的走法共有（　?。? A．1種 B．2種 C．3種 D．4種 　 二、填空題（共11小題） 12．已知A，B，C三地位置如圖所示，∠C=90，A，C兩地的距離是4km，B，C兩地的距離是3km，則A，B兩地的距離是　　km；若A地在C地的正東方向，則B地在C地的　　方向． 13．

5、太原市公共自行車的建設速度、單日租騎量等四項指標穩(wěn)居全國首位．公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示，AB⊥AD，AD⊥DC，點B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，則點A到地面的距離是　　cm． 14．如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標系，公園的入口位于坐標原點O，古塔位于點A（400，300），從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B，從盆景園B向左轉(zhuǎn)90后直行400m到達梅花閣C，則點C的坐標是　?。? 15．如圖，小明從A地沿北偏東60方向走2千米到B地，再從B地正南方向走3千米到C地，此時小明距離

6、A地　　千米（結(jié)果可保留根號）． 16．如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為　?。? 17．如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行　　米． 18．如圖，小聰用一塊有一個銳角為30的直角三角板測量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距3米，小聰身高AB為1.7米，則這棵樹的高度=　　米． 19．如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45，∠MBC=30，則警示牌的高CD

7、為　　米（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73）． 20．在底面直徑為2cm，高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為　　cm．（結(jié)果保留π） 21．圖①所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為　　cm． 22．如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=　　度． 　 三、解答

8、題（共8小題） 23．如圖，有兩條公路OM、ON相交成30角，沿公路OM方向離O點80米處有一所學校A．當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心50米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時． （1）求對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離； （2）求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間． 24．“為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某直線路段MN限速60千米/小時，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設立了觀測點C，從觀測點C測得一小車

9、從點A到達點B行駛了5秒鐘，已知∠CAN=45，∠CBN=60，BC=200米，此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73） 25．校車安全是近幾年社會關(guān)注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學九年級數(shù)學活動小組進行了測試汽車速度的實驗，如圖，先在筆直的公路l旁選取一點A，在公路l上確定點B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60，再在AC上確定點D，使得∠BDC=75，測得AD=40米，已知本路段對校車限速是50千米/時，若測得某校車從B到C勻速行駛用時10秒，問這輛車在本路段是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73） 26．如圖，一根長6米的

10、木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60．當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′． （1）求OB的長； （2）當AA′=1米時，求BB′的長． 27．小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說：“這樓起碼20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數(shù)數(shù)就知道了！”小明說：“有本事，你不用數(shù)也能明白！”小華想了想說：“沒問題！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點，測量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30，∠B=45，（A、C、D、B四點在同一直線上）問： （1

11、）樓高多少米？ （2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41，≈2.24） 28．如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進度，想在小山的另一側(cè)同時施工．為了使山的另一側(cè)的開挖點C在AB的延長線上，設想過C點作直線AB的垂線L，過點B作一直線（在山的旁邊經(jīng)過），與L相交于D點，經(jīng)測量∠ABD=135，BD=800米，求直線L上距離D點多遠的C處開挖？（≈1.414，精確到1米） 29．小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設計了如下問題：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C

12、，再從青山站C坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站B．設AB=80km，BC=20km，∠ABC=120．請你幫助小明解決以下問題： （1）求A、C之間的距離；（參考數(shù)據(jù)=4.6） （2）若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短時間到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車方案？請說明理由．（不計候車時間） 30．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊，當a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當a2+b2≠c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）． （1）當△ABC

13、三邊分別為6、8、9時，△ABC為　　三角形；當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為　　三角形． （2）猜想，當a2+b2　　c2時，△ABC為銳角三角形；當a2+b2　　c2時，△ABC為鈍角三角形． （3）判斷當a=2，b=4時，△ABC的形狀，并求出對應的c的取值范圍． 　 第1章 勾股定理 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共11小題） 1．如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（　?。? A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【考點】勾股定理的應用． 【專題】應用

14、題． 【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出． 【解答】解：如圖，設大樹高為AB=10m， 小樹高為CD=4m， 過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形， 連接AC， ∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m， 在Rt△AEC中，AC==10m， 故選B． 【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關(guān)鍵． 　 2．下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是（　?。? A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6

15、 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形． 【解答】解：A、∵302+402=502，∴該三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正確； B、∵72+122≠132，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯誤； C、∵52+92≠122，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯誤； D、∵32+42≠62，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯誤； 故選A． 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用

16、勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷． 　 3．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（　?。? A．13cm B．2cm C． cm D．2cm 【考點】平面展開-最短路徑問題． 【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求． 【解答】解：如圖： ∵高為12cm，底面

17、周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒， 此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm， ∴將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′， 連接A′B，則A′B即為最短距離， A′B= = =13（Cm）． 故選：A． 【點評】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力． 　 4．△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，如果a2+b2=c2，那么下列結(jié)論正確的是（　?。? A．csinA

18、=a B．bcosB=c C．a(chǎn)tanA=b D．ctanB=b 【考點】勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】由于a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到正確選項． 【解答】解：∵a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90． A、sinA=，則csinA=a．故本選項正確； B、cosB=，則cosBc=a．故本選項錯誤； C、tanA=，則=b．故本選項錯誤； D、tanB=，則atanB=b．故本選項錯誤． 故選A． 【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的逆定理．判

19、斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可． 　 5．一圓錐體形狀的水晶飾品，母線長是10cm，底面圓的直徑是5cm，點A為圓錐底面圓周上一點，從A點開始繞圓錐側(cè)面纏一圈彩帶回到A點，則彩帶最少用多少厘米（接口處重合部分忽略不計）（　　） A．10πcm B．10cm C．5πcm D．5cm 【考點】平面展開-最短路徑問題；圓錐的計算． 【專題】計算題． 【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長等于底面圓的周長，進而得出扇形圓心角的度數(shù)，再利用勾股定理求出AA′的長． 【解答】解：由兩點間直線距離最短可知，圓錐側(cè)面展開圖AA′最短， 由題意可得

20、出：OA=OA′=10cm， ==5π， 解得：n=90， ∴∠AOA′=90， ∴AA′==10（cm）， 故選：B． 【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，得出∠AOA′的度數(shù)是解題關(guān)鍵． 　 6．下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（　?。? A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 【考點】勾股定理的逆定理． 【專題】計算題． 【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可． 【解答】解：A、42+52=41≠62，不可以構(gòu)成直角三角形，故A選項錯誤； B、1.52+22=6.25=2.52，

21、可以構(gòu)成直角三角形，故B選項正確； C、22+32=13≠42，不可以構(gòu)成直角三角形，故C選項錯誤； D、12+（）2=3≠32，不可以構(gòu)成直角三角形，故D選項錯誤． 故選：B． 【點評】本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形． 　 7． a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，且a：b：c=1：：，則cosB的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義． 【專題】計算題． 【分析】先由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用余弦函數(shù)的定義即可求解． 【

22、解答】解：∵a：b：c=1：：， ∴b=a，c=a， ∴a2+b2=a2+（a）2=3a2=c2， ∴△ABC是直角三角形，∠C=90， ∴cosB===． 故選：B． 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形，同時考查了余弦函數(shù)的定義：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA． 　 8．（2013?濟南）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計）為（　?。? A．1

23、2m B．13m C．16m D．17m 【考點】勾股定理的應用． 【專題】應用題． 【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設旗桿高度為x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x． 【解答】解：設旗桿高度為x，則AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2， 解得：x=17， 即旗桿的高度為17米． 故選：D． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線． 　 9．下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的

24、邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（　?。? A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是． 【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤； B、12+（）2=（）2，能構(gòu)成直角三角形，故正確； C、62+72≠82，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤； D、22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤． 故選：B． 【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的

25、逆定理加以判斷即可． 　 10．（2013?鄂州）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=．試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 【考點】勾股定理的應用；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；平行線之間的距離． 【專題】壓軸題． 【分析】MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足AM+NB的值最小即可，作點A關(guān)于直線a的對稱點A′，并延長AA′，過點B作BE⊥AA′于點E，連接A′B交直線b于點N，過點N作N

26、M⊥直線a，連接AM，則可判斷四邊形AA′NM是平行四邊形，得出AM=A′N，由兩點之間線段最短，可得此時AM+NB的值最?。^點B作BE⊥AA′，交AA′于點E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB． 【解答】解：作點A關(guān)于直線a的對稱點A′，并延長AA′，過點B作BE⊥AA′于點E，連接A′B交直線b于點N，過點N作NM⊥直線a，連接AM， ∵A到直線a的距離為2，a與b之間的距離為4， ∴AA′=MN=4， ∴四邊形AA′NM是平行四邊形， ∴AM+NB=A′N+NB=A′B， 過點B作BE⊥AA′，交AA′于點E， 易得AE=2+4+3

27、=9，AB=2，A′E=2+3=5， 在Rt△AEB中，BE==， 在Rt△A′EB中，A′B==8． 故選：B． 【點評】本題考查了勾股定理的應用、平行線之間的距離，解答本題的關(guān)鍵是找到點M、點N的位置，難度較大，注意掌握兩點之間線段最短． 　 11．如圖，在6個邊長為1的小正方形及其部分對角線構(gòu)成的圖形中，如圖從A點到B點只能沿圖中的線段走，那么從A點到B點的最短距離的走法共有（　?。? A．1種 B．2種 C．3種 D．4種 【考點】勾股定理的應用． 【專題】計算題． 【分析】如圖所示，找出從A點到B點的最短距離的走法即可． 【解答】解：根據(jù)題意得出最短路程如

28、圖所示， 最短路程長為+1=2+1， 則從A點到B點的最短距離的走法共有3種， 故選：C． 【點評】此題考查了勾股定理的應用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵． 　 二、填空題（共11小題） 12．（2015?廈門）已知A，B，C三地位置如圖所示，∠C=90，A，C兩地的距離是4km，B，C兩地的距離是3km，則A，B兩地的距離是　5　km；若A地在C地的正東方向，則B地在C地的　正北　方向． 【考點】勾股定理的應用；方向角． 【分析】根據(jù)勾股定理來求AB的長度．由于∠C=90，A地在C地的正東方向，則B地在C地的正北方向． 【解答】解：∵∠C=90，A，C兩地的距離是4km

29、，B，C兩地的距離是3km， ∴AB===5（km）． 又∵A地在C地的正東方向，則B地在C地的 正北方向． 故答案是：5；正北． 【點評】本題考查了勾股定理的應用和方向角．勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題． 　 13．太原市公共自行車的建設速度、單日租騎量等四項指標穩(wěn)居全國首位．公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示，AB⊥AD，AD⊥DC，點B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，則點A到地面的距離是　　cm． 【考點】勾股定理的應用． 【分析】分別過點A作AM⊥BF于

30、點M，過點C作CN⊥AB于點N，利用勾股定理得出BN的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出即可． 【解答】解：過點A作AM⊥BF于點M，過點C作CN⊥AB于點N， ∵AD=24cm，則NC=24cm， ∴BN===7（cm）， ∵∠AMB=∠CNB=90，∠ABM=∠CBN， ∴△BNC∽△BMA， ∴=， ∴=， 則：AM==， 故點A到地面的距離是： +4=（m）． 故答案為：． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△BNC∽△BMA是解題關(guān)鍵． 　 14．如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標系，公園的入口位于坐標原點

31、O，古塔位于點A（400，300），從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B，從盆景園B向左轉(zhuǎn)90后直行400m到達梅花閣C，則點C的坐標是?。?00，800）?。? 【考點】勾股定理的應用；坐標確定位置；全等三角形的應用． 【分析】根據(jù)題意結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AOD≌△ACB（SAS），進而得出C，A，D也在一條直線上，求出CD的長即可得出C點坐標． 【解答】解：連接AC， 由題意可得：AB=300m，BC=400m， 在△AOD和△ACB中 ∵， ∴△AOD≌△ACB（SAS）， ∴∠CAB=∠OAD， ∵B、O在一條直線上， ∴C，A，D也在一條直

32、線上， ∴AC=AO=500m，則CD=AC=AD=800m， ∴C點坐標為：（400，800）． 故答案為：（400，800）． 【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，得出C，A，D也在一條直線上是解題關(guān)鍵． 　 15．如圖，小明從A地沿北偏東60方向走2千米到B地，再從B地正南方向走3千米到C地，此時小明距離A地　　千米（結(jié)果可保留根號）． 【考點】勾股定理的應用；方向角． 【分析】根據(jù)題意利用銳角三角函數(shù)得出BD，AD的長，再利用勾股定理得出AC的長． 【解答】解：如圖所示，由題意可得：AB=2，∠B=60， 則BD=ABcos60=1（k

33、m）， AD=ABsin60=（km）， 故DC=2km， 則AC===（km）． 故答案為：． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用以及解直角三角形的應用，得出AD，DC的長是解題關(guān)鍵． 　 16．如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為　?。? 【考點】平面展開-最短路徑問題． 【專題】計算題． 【分析】將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個面上，此時AB最短，根據(jù)三角形MCB與三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的長，利用勾股定理求出AC的長即可． 【解答】解

34、：將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個面上，展開圖如圖所示，此時AB最短， ∵△BCM∽△ACN， ∴=，即==2，即MC=2NC， ∴CN=MN=， 在Rt△ACN中，根據(jù)勾股定理得：AC==， 故答案為：． 【點評】此題考查了平面展開﹣最短路徑問題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練求出CN的長是解本題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行　10　米． 【考點】勾股定理的應用． 【專題】幾何圖形問題；轉(zhuǎn)化思想． 【分析】根據(jù)“兩點之間

35、線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出． 【解答】解：如圖，設大樹高為AB=12m， 小樹高為CD=6m， 過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形， 連接AC， ∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m）， 在Rt△AEC中， AC==10（m）． 故小鳥至少飛行10m． 故答案為：10． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，根據(jù)實際得出直角三角形，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力． 　 18．如圖，小聰用一塊有一個銳角為30的直角三角板測量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距3米，

36、小聰身高AB為1.7米，則這棵樹的高度=　4.7　米． 【考點】勾股定理的應用． 【分析】先根據(jù)題意得出AD的長，在Rt△ACD中利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，由CE=CD+DE即可得出結(jié)論． 【解答】解：由題意，易知∠CAD=30，∠CDA=90，AD=3，CE⊥BE，DE=AB=1.7米， ∴tan∠CAD=， ∴CD=3=3， ∴CE=3+1.7=4.7（米）． 即這棵樹的高度為4.7米． 故答案為：4.7． 【點評】本題考查的是解直角三角形在實際生活中的應用，難度適中，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵． 　 19．如圖，是矗立在高速公

37、路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45，∠MBC=30，則警示牌的高CD為　2.9　米（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73）． 【考點】勾股定理的應用． 【分析】首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DM=AM=4m，再根據(jù)勾股定理可得MC2+MB2=（2MC）2，代入數(shù)可得答案． 【解答】解：由題意可得：∵AM=4米，∠MAD=45， ∴DM=4m， ∵AM=4米，AB=8米， ∴MB=12米， ∵∠MBC=30， ∴BC=2MC， ∴MC2+MB2=（2MC）2， MC2+122=（2MC）2， ∴MC

38、=4， 則DC=4﹣4≈2.9（米）， 故答案為：2.9． 【點評】此題主要考查了勾股定理得應用，關(guān)鍵是掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方． 　 20．在底面直徑為2cm，高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為　3　cm．（結(jié)果保留π） 【考點】平面展開-最短路徑問題． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)繞兩圈到C，則展開后相當于求出直角三角形ACB的斜邊長，并且AB的長為圓柱的底面圓的周長的1.5倍，BC的長為圓柱的高，根據(jù)勾股定理求出即可． 【解答】解：如圖所示， ∵無彈性的絲帶從A至C，繞了1.5圈，

39、 ∴展開后AB=1.52π=3πcm，BC=3cm， 由勾股定理得：AC===3cm． 故答案為：3． 【點評】本題考查了平面展開﹣最短路線問題和勾股定理的應用，能正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵，用了數(shù)形結(jié)合思想． 　 21．圖①所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為　（3+3）　cm． 【考點】平面展開-最短路徑問題；截一個幾何體． 【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合． 【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．

40、 【解答】解：如圖所示： △BCD是等腰直角三角形，△ACD是等邊三角形， 在Rt△BCD中，CD==6cm， ∴BE=CD=3cm， 在Rt△ACE中，AE==3cm， ∴從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（3+3）cm． 故答案為：（3+3）． 【點評】考查了平面展開﹣最短路徑問題，本題就是把圖②的幾何體表面展開成平面圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解決問題． 　 22．如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=　135　度． 【考點】

41、勾股定理的逆定理；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，△EBE′是直角三角形，進而得出∠BEE′=∠BE′E=45，即可得出答案． 【解答】解：連接EE′ ∵△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到△CBE′ ∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形， ∵△ABE與△CE′B全等 ∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C ∴∠BEE′=∠BE′E=45， ∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3， ∴EC2=E′C2+EE′2， ∴△EE′C是直角三角形， ∴∠EE′C=90， ∴∠AEB=135． 故答案為：135

42、． 【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)已知得出△EBE′是直角三角形是解題關(guān)鍵． 　 三、解答題（共8小題） 23．如圖，有兩條公路OM、ON相交成30角，沿公路OM方向離O點80米處有一所學校A．當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心50米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時． （1）求對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離； （2）求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間． 【考點】勾股定理的應用；垂徑定理的應用． 【分析】

43、（1）直接利用直角三角形中30所對的邊等于斜邊的一半求出即可； （2）根據(jù)題意可知，圖中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30，OA=80m；再利用垂徑定理及勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）過點A作AD⊥ON于點D， ∵∠NOM=30，AO=80m， ∴AD=40m， 即對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離為40米； （2）由圖可知：以50m為半徑畫圓，分別交ON于B，C兩點，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m， ∵在Rt△AOD中，∠AOB=30， ∴AD=OA=80=40m， 在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得

44、：BD===30m， 故BC=230=60米，即重型運輸卡車在經(jīng)過BC時對學校產(chǎn)生影響． ∵重型運輸卡車的速度為18千米/小時，即=300米/分鐘， ∴重型運輸卡車經(jīng)過BC時需要60300=0.2（分鐘）=12（秒）． 答：卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間為12秒． 【點評】此題考查的是垂徑定理與勾股定理在實際生活中的運用，解答此題的關(guān)鍵是卡車在哪段路上運行時對學校產(chǎn)生影響． 　 24． “為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某直線路段MN限速60千米/小時，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設立了觀測點C，從觀測點C測得一小車從點A到達點B

45、行駛了5秒鐘，已知∠CAN=45，∠CBN=60，BC=200米，此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73） 【考點】勾股定理的應用． 【分析】根據(jù)題意結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BH，CH，AB的長進而求出汽車的速度，進而得出答案． 【解答】解：此車沒有超速． 理由：過C作CH⊥MN， ∵∠CBN=60，BC=200米， ∴CH=BC?sin60=200=100（米）， BH=BC?cos60=100（米）， ∵∠CAN=45， ∴AH=CH=100米， ∴AB=100﹣100≈73（m）， ∵60千米/小時=m/s， ∴=14.6（m/s）＜≈1

46、6.7（m/s）， ∴此車沒有超速． 【點評】此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系的應用，得出AB的長是解題關(guān)鍵． 　 25．校車安全是近幾年社會關(guān)注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學九年級數(shù)學活動小組進行了測試汽車速度的實驗，如圖，先在筆直的公路l旁選取一點A，在公路l上確定點B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60，再在AC上確定點D，使得∠BDC=75，測得AD=40米，已知本路段對校車限速是50千米/時，若測得某校車從B到C勻速行駛用時10秒，問這輛車在本路段是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73） 【考點】勾股定理的應用． 【分析】

47、過點D作DE⊥AB于點E，證明△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，繼而得出CD，計算出AC的長度后，在Rt△ABC中求出BC，繼而可判斷是否超速． 【解答】解：過點D作DE⊥AB于點E， ∵∠CDB=75， ∴∠CBD=15，∠EBD=15， 在Rt△CBD和Rt△EBD中， ∵， ∴△CBD≌△EBD， ∴CD=DE， 在Rt△ADE中，∠A=60，∴∠ADE=30，AD=40米， 則AE=AD=20米， ∴DE==20米， ∴AC=AD+CD=AD+DE=（40+20）米， 在Rt△ABC中，∵∠A=60， ∴∠ABC=30， ∴AB=2AC=80+4

48、0， ∴BC==（40+60）米， 則速度==4+6≈12.92米/秒， ∵12.92米/秒=46.512千米/小時， ∴該車沒有超速． 【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，求出BC的長度，需要多次解直角三角形，有一定難度． 　 26．如圖，一根長6米的木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60．當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′． （1）求OB的長； （2）當AA′=1米時，求BB′的長． 【考點】勾股定理的應用；解直角三角形的應用． 【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)解直

49、角三角形AOB即可； （2）首先求出OA的長和OA′的長，再根據(jù)勾股定理求出OB′的長即可． 【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：AB=6，∠ABO=60，∠AOB=90， 在Rt△AOB中，∵cos∠ABO=， ∴OB=ABcos∠ABO=6cos60=3米， ∴OB的長為3米； （2）根據(jù)題意可知A′B′=AB=6米， 在Rt△AOB中，∵sin∠ABO=， ∴OA=ABsin∠ABO=6sin60=9米， ∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米， ∴OA′=8米， 在Rt△A′OB′中，OB′=2米， ∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣3）米． 【點評】本題考查了勾股

50、定理的應用和特殊角的銳角三角函數(shù)，是中考常見題型． 　 27．小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說：“這樓起碼20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數(shù)數(shù)就知道了！”小明說：“有本事，你不用數(shù)也能明白！”小華想了想說：“沒問題！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點，測量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30，∠B=45，（A、C、D、B四點在同一直線上）問： （1）樓高多少米？ （2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41，≈2.24） 【考點】勾股定理的

51、應用． 【專題】應用題． 【分析】（1）設樓高為x，則CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分別用x表示AC、BD的值，然后根據(jù)AC+CD+BD=150，求出x的值即可； （2）根據(jù)（1）求出的樓高x，然后求出20層樓的高度，比較x和20層樓高的大小即可判斷誰的觀點正確． 【解答】解：（1）設樓高為x米，則CF=DE=x米， ∵∠A=30，∠B=45，∠ACF=∠BDE=90， ∴AC=x米，BD=x米， ∴x+x=150﹣10， 解得x==70（﹣1）（米）， ∴樓高70（﹣1）米． （2）x=70（﹣1）≈70（1.73﹣1）=700.73=51.1米＜32

52、0米， ∴我支持小華的觀點，這樓不到20層． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用方程思想求解，難度一般． 　 28．如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進度，想在小山的另一側(cè)同時施工．為了使山的另一側(cè)的開挖點C在AB的延長線上，設想過C點作直線AB的垂線L，過點B作一直線（在山的旁邊經(jīng)過），與L相交于D點，經(jīng)測量∠ABD=135，BD=800米，求直線L上距離D點多遠的C處開挖？（≈1.414，精確到1米） 【考點】勾股定理的應用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得CD2

53、+BC2=BD2，然后再代入BD=800米進行計算即可． 【解答】解：∵CD⊥AC， ∴∠ACD=90， ∵∠ABD=135， ∴∠DBC=45， ∴∠D=45， ∴CB=CD， 在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2， 2CD2=8002， CD=400≈566（米）， 答：直線L上距離D點566米的C處開挖． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應用． 　 29．小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設計了如下問

54、題：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再從青山站C坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站B．設AB=80km，BC=20km，∠ABC=120．請你幫助小明解決以下問題： （1）求A、C之間的距離；（參考數(shù)據(jù)=4.6） （2）若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短時間到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車方案？請說明理由．（不計候車時間） 【考點】勾股定理的應用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】（1）過點C作AB的垂線，交AB的延長線于E點，利用勾股定理求得AC的長即可；

55、 （2）分別求得乘車時間，然后比較即可得到答案． 【解答】解：（1）過點C作AB的垂線，交AB的延長線于E點， ∵∠ABC=120，BC=20， ∴BE=10， 在△ACE中， ∵AC2=8100+300， ∴； （2）乘客車需時間（小時）； 乘列車需時間（小時）； ∴選擇城際列車． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形． 　 30．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊，當a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當a2+b2≠c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）． （

56、1）當△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為　銳角　三角形；當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為　鈍角　三角形． （2）猜想，當a2+b2?。尽2時，△ABC為銳角三角形；當a2+b2?。肌2時，△ABC為鈍角三角形． （3）判斷當a=2，b=4時，△ABC的形狀，并求出對應的c的取值范圍． 【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時的斜邊的值，然后作出判斷即可； （2）根據(jù)（1）中的計算作出判斷即可； （3）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長邊c點的最大值，然后得到c的取值范圍，然后分情

57、況討論即可得解． 【解答】解：（1）兩直角邊分別為6、8時，斜邊==10， ∴△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為銳角三角形； 當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為鈍角三角形； 故答案為：銳角；鈍角； （2）當a2+b2＞c2時，△ABC為銳角三角形； 當a2+b2＜c2時，△ABC為鈍角三角形； 故答案為：＞；＜； （3）∵c為最長邊，2+4=6， ∴4≤c＜6， a2+b2=22+42=20， ①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2， ∴當4≤c＜2時，這個三角形是銳角三角形； ②a2+b2=c2，即c2=20，c=2， ∴當c=2時，這個三角形是直角三角形； ③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2， ∴當2＜c＜6時，這個三角形是鈍角三角形． 【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 　 36 / 36文檔可自由編輯打印