飽和樣條和特征選擇藝術(shù)設(shè)計(jì)專業(yè)

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1、1. 簡(jiǎn)介 樣條——具有連續(xù)性約束的分段多項(xiàng)式——廣泛用于擬合數(shù)據(jù)[1,5.1]。分段多項(xiàng)式的一個(gè)問(wèn)題是它們的行為超出了它們的邊界結(jié)點(diǎn)，并且（典型地）在該范圍之外沒(méi)有限制地增長(zhǎng)[1,5.2]。這種不穩(wěn)定性使得推斷是危險(xiǎn)的; 從業(yè)人員必須注意避免查詢訓(xùn)練數(shù)據(jù)范圍附近或之外的樣條模型。 平滑樣條算法[2] - [4]通過(guò)擬合自然樣條來(lái)改善這個(gè)問(wèn)題，該自然樣條在邊界結(jié)點(diǎn)之后降低到較低階的多項(xiàng)式。最常用的各種光滑樣條是三次光滑樣條（在邊界結(jié)外部減少到線性的三度樣條）以及線性平滑樣條，這些樣條一直保持不變。我們提出的飽和樣條與線性平滑樣條密切相關(guān)。 平滑樣條使用或二次方復(fù)雜度概念，因此可以用

2、預(yù)先確定的密集結(jié)點(diǎn)集合擬合模型[1,5.4]。另一方面，自適應(yīng)回歸樣條[5]使用型懲罰，這可以導(dǎo)致自適應(yīng)選擇結(jié)點(diǎn)的稀疏集合。然而，自適應(yīng)回歸樣條不會(huì)在最大結(jié)點(diǎn)范圍之外降低到較低程度，因此可能會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定性。 我們提出擬合自適應(yīng)回歸樣條曲線，其中對(duì)某個(gè)區(qū)間之外的樣條曲線的程度有明確的約束。我們稱這些樣條為飽和樣條。雖然我們采用的方法可以擴(kuò)展到擬合具有任意導(dǎo)數(shù)約束的樣條曲線，但在本文中，我們將重點(diǎn)放在擬合數(shù)據(jù)范圍之外平坦（恒定）的線性樣條; 我們?cè)?中提到對(duì)更高階樣條的擴(kuò)展。我們證明飽和樣條繼承了自適應(yīng)回歸樣條的結(jié)點(diǎn)選擇屬性，同時(shí)其行為與數(shù)據(jù)邊界附近的自然樣條相似。 在飽和樣條坐標(biāo)函數(shù)擬合廣義

3、相加模型[6]的背景下，我們還展示了我們方法的一個(gè)非常重要的好處：飽和約束自然導(dǎo)致變量選擇。我們不僅通過(guò)結(jié)點(diǎn)選擇來(lái)控制每個(gè)坐標(biāo)函數(shù)的復(fù)雜性，而且在飽和條件下，變量上沒(méi)有結(jié)點(diǎn)表示變量不在模型中。對(duì)于自適應(yīng)樣條，這是不正確的，因?yàn)榫€性項(xiàng)是未被去除的，因此每個(gè)變量總是在模型中。缺乏特征選擇會(huì)傷害可解釋性，并且在某些情況下會(huì)導(dǎo)致泛化。 我們提出的飽和約束排除了線性函數(shù)，并且與自適應(yīng)樣條型懲罰配合，鼓勵(lì)坐標(biāo)函數(shù)相同為零。因此，廣義相加模型適合于飽和樣條組件函數(shù)通常僅依賴于少數(shù)輸入特征。 像平滑樣條曲線和自適應(yīng)回歸樣條一樣，飽和樣條曲線是解決某些自然函數(shù)回歸問(wèn)題的方法。我們將飽和樣條擬合問(wèn)題作

4、為一個(gè)凸空問(wèn)題上的凸優(yōu)化問(wèn)題來(lái)解決，粗略地說(shuō)就是擬合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。據(jù)我們所知，這種方法是新穎的。然后，我們將經(jīng)典的條件梯度方法[7]和[8]應(yīng)用于這個(gè)問(wèn)題。在我們算法的每次迭代中，都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)原子量度；此外，我們可以統(tǒng)一限制樣條函數(shù)中結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的原子個(gè)數(shù)。（當(dāng)我們操縱原子測(cè)量時(shí)，我們?cè)谟邢蘅傋儾畹乃袦y(cè)量空間上解決問(wèn)題。）與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下降方法相反，在條件梯度方法的每次迭代中，調(diào)整兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的權(quán)重。在完全校正步驟中，我們用和簡(jiǎn)單的線性約束來(lái)求解有限維凸優(yōu)化問(wèn)題。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明該方法在實(shí)際中非常有效。 我們的優(yōu)化方法可以利用熱啟動(dòng)，即它可以對(duì)擬合函數(shù)使用初始猜測(cè)。這使我們能夠有效地計(jì)算整個(gè)正則

5、化路徑，其代價(jià)通常只是解決正則化參數(shù)的一個(gè)值的問(wèn)題的一小部分。由于我們的算法是基于條件梯度法，我們可以使用[9]的框架來(lái)計(jì)算一個(gè)可證明的次優(yōu)近似正則化路徑。當(dāng)擬合廣義相加模型時(shí)，正則化路徑具有吸引人的特征：在正則化參數(shù)的臨界值處，新的回歸因子被帶入（或偶爾出于）模型，或新的結(jié)點(diǎn)被添加到（或從中刪除） 的現(xiàn)有坐標(biāo)函數(shù)，因此我們的方法結(jié)合了特征選擇和結(jié)點(diǎn)選擇。 2. 單變量函數(shù)擬合 我們希望從數(shù)據(jù)集擬合一個(gè)連續(xù)的有界函數(shù) 要做到這一點(diǎn)，我們將選擇來(lái)最小化數(shù)據(jù)的不匹配或損失函數(shù)，但要受到鼓勵(lì)中規(guī)則性的約束條件以及我們?cè)谙旅婷枋龅念~外約束條件和飽和度的限制。損失由以下公式給出：

6、其中是非負(fù)的，二次可微的，并且在它的第一個(gè)參數(shù)中是嚴(yán)格凸的。典型的損失函數(shù)包括（標(biāo)準(zhǔn)回歸，），或者（邏輯回歸，其中）。損失是函數(shù)的凸函數(shù)，僅取決于數(shù)據(jù)點(diǎn)處的的值。損失越小，越符合給定的數(shù)據(jù)。 我們通過(guò)限制非負(fù)正則化泛函的值來(lái)約束函數(shù)是簡(jiǎn)單的。在本文中，我們將作為的微分的總變化量， ， 一個(gè)的凸函數(shù)。對(duì)于一個(gè)二次可微函數(shù)，我們已知， ， （1） 即正則化是二階導(dǎo)數(shù)的范數(shù)。（正如我們?cè)谙乱还?jié)中所討論的那樣，總變差的現(xiàn)代定義把這種平等擴(kuò)展到不可微函數(shù)。）我們對(duì)施加的總變差限是，其中是我們用來(lái)折衷模型的參數(shù)擬合度和模型規(guī)律。這種正則化約束隱含地約束幾乎無(wú)處不

7、在，其導(dǎo)數(shù)具有有限的總變差。 我們的模型將受到另一個(gè)約束，即它飽和（在區(qū)間[0,1]之外），這意味著它是[0,1]之外兩個(gè)區(qū)間上的（可能不同的）常量：對(duì)，；對(duì)，。換句話說(shuō)，在[0,1]的標(biāo)稱數(shù)據(jù)范圍外延伸為一個(gè)常數(shù)。就導(dǎo)數(shù)而言，這相當(dāng)于要求存在且在[0,1]之外為零。 那么該擬合問(wèn)題可以描述為 ； 滿足 （2） ，對(duì)， 其中為正則化參數(shù)。要確定的變量是函數(shù)，它是連續(xù)函數(shù)的矢量空間中的有限總變差的導(dǎo)數(shù)。這個(gè)擬合問(wèn)題是一個(gè)無(wú)限維凸優(yōu)化問(wèn)題。 在應(yīng)用中，問(wèn)題（2）解決

8、了一系列值，這產(chǎn)生了正則化路徑。最終模型是使用一個(gè)保留集或交叉驗(yàn)證來(lái)選擇的。對(duì)于，必須是常數(shù)，并且問(wèn)題（2）減少到適合數(shù)據(jù)的最佳常數(shù)。隨著增加，的約束更小，并且我們的擬合模型變得更復(fù)雜; 最終我們期望過(guò)度擬合。例如，在回歸的情況下，對(duì)于滿足的損失函數(shù)和具有不同的數(shù)據(jù)，對(duì)于足夠大的來(lái)說(shuō)，擬合函數(shù)是插值數(shù)據(jù)的分段線性函數(shù)。 3. 樣條函數(shù)和有界變差函數(shù) 在本節(jié)中，我們探討擬合問(wèn)題與一次樣條的連接，即分段線性連續(xù)函數(shù)，其形式如下 ， （3） 其中。我們假設(shè)是不同的，并將它們稱為結(jié)點(diǎn)或簡(jiǎn)單結(jié)。

9、標(biāo)量是權(quán)重，是偏移量。我們將映射稱為鉸鏈函數(shù)，因此一階樣條是鉸鏈函數(shù)的有限線性組合加上一個(gè)常數(shù)。 3.1 有界變差函數(shù) 一個(gè)右連續(xù)函數(shù)是有界變差的，當(dāng)且僅當(dāng)在[0,1]上存在一個(gè)有符號(hào)的度量，滿足 ， （4） 其中，對(duì)，否則等于0。度量是唯一的；我們可以認(rèn)為它是的導(dǎo)數(shù)。 也就是說(shuō)，（4）基本上是微積分的第二個(gè)基本定理，其中被代替。 我們也有。（這稱為度量的總變差。）我們將使用符號(hào)來(lái)作為它的記號(hào)，以強(qiáng)調(diào)與有限維情況的相似性，或者當(dāng)是可微的情況：.當(dāng)度量是原子的時(shí)候，函數(shù)是分段常數(shù)，在

10、的支持下的點(diǎn)處發(fā)生跳躍。 3.2 樣條函數(shù)和有界變差導(dǎo)數(shù) 現(xiàn)在假設(shè)具有有界變差的右連續(xù)導(dǎo)數(shù)。從（4），運(yùn)用以及微積分的基本定理，我們有 （5） （6） . （7） 這表明任何這樣的函數(shù)是鉸鏈函數(shù)的一個(gè)（可能是無(wú)限的）線性組合加上一個(gè)常數(shù)（即）。在這種情況下，度量可以被認(rèn)為是的二階導(dǎo)數(shù)。 當(dāng)是原子并且在有限集上被支持時(shí)，也就是說(shuō)， ， 是形式（3）的一階樣條，其中。因此，一階樣條完全對(duì)應(yīng)于度量（大致二階導(dǎo)數(shù)）具有

11、有限支持的情況。 我們引入記號(hào) （8） 來(lái)表示從度量導(dǎo)出的函數(shù)。粗略地說(shuō)，這是度量的雙重積分或與度量μ有關(guān)的鉸鏈函數(shù)的（可能有無(wú)限個(gè)的）線性組合。從到的映射是線性的，那么我們有。圖1顯示了一個(gè)的簡(jiǎn)單例子，它的一階導(dǎo)數(shù)和它的（原子度量）二階導(dǎo)數(shù)。 圖1：由原子度量產(chǎn)生的和。正則化函數(shù)就是中尖峰的絕對(duì)值之和。需要特別注意的是，中所有尖峰的（帶符號(hào)）和為零：也就是說(shuō)，，這意味著飽和。 3.3 通過(guò)優(yōu)化度量擬合樣條 確定，我們可以通過(guò)最小化[0，1]上的有界測(cè)度和常數(shù)來(lái)解決擬合問(wèn)

12、題（2）。度量是的二階導(dǎo)數(shù)，常數(shù)對(duì)應(yīng)于。總變差正則化約束對(duì)應(yīng)于。當(dāng)時(shí)，飽和度條件成立；為了確保當(dāng)時(shí)，我們需要 換句話說(shuō)，的飽和度對(duì)應(yīng)于具有總（凈）質(zhì)量零的。因此（2）可以改寫為 滿足， （9） 有界測(cè)度在[0，1]上，同時(shí)。這里會(huì)稍微多用一些記號(hào)：我們現(xiàn)在（以及本文的其余部分）認(rèn)為是上的函數(shù)。 在上面，是將映射到由（8）給出的向量的線性算子。顯然是線性的，因?yàn)樗呛瘮?shù)： 對(duì)的積分。我們將直接應(yīng)用條件梯度法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。 為了獲得關(guān)于優(yōu)化問(wèn)題的直覺(jué)（9），我們可以認(rèn)

13、為它是標(biāo)準(zhǔn)lasso的無(wú)限維模擬[10]。 lasso是優(yōu)化問(wèn)題 滿足 （10） 的解決方案。這里是中的一個(gè)向量，是一個(gè)矩陣。忽略常數(shù)項(xiàng)，我們看到，（9）看起來(lái)非常類似于（10），其中起著的作用；的確，本質(zhì)上是一個(gè)有行和無(wú)限多列的矩陣。我們對(duì)lasso的直覺(jué)表明，應(yīng)該有屬于（9）的解是稀疏的，這意味著是原子的。就而言，稀疏性意味著存在一維樣條的原始函數(shù)擬合問(wèn)題（2）的解。事實(shí)確實(shí)如此。定理1表明存在（9）的原子解，其支持不超過(guò)個(gè)點(diǎn)；換句話說(shuō)，是一個(gè)具有的一階樣條。此外，在實(shí)際中（9）的解

14、將會(huì)支持遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于個(gè)點(diǎn)。 定理1. 固定和，為（右連續(xù)）的有界總變差，并且在[0,1]之外為常數(shù)。那么就存在一個(gè)一階飽和樣條（最多有個(gè)結(jié)點(diǎn)），它在上與相匹配，并滿足。 證明: 不失一般性，我們假設(shè)。令。由于約束了總變差，所以在[0,1]上存在一個(gè)度量，使得： 也就是說(shuō)，是一個(gè)無(wú)限多結(jié)的樣條。我們的想法是使用Caratheodory的凸包理論來(lái)看到，因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心在有限數(shù)量函數(shù)上的作用（基本上，我們只關(guān)心在上的值），所以我們可以用一種可在有限的點(diǎn)上支持的度量來(lái)替代。 為了使這個(gè)想法嚴(yán)謹(jǐn)，請(qǐng)注意矢量 必須位于（凸）組 的凸包中，因?yàn)?。凸包的Caratheodory定理確保

15、了可以表示為從選取的最多個(gè)點(diǎn)的凸組合。讓這些個(gè)點(diǎn)由它們的標(biāo)記表示，以及它們的權(quán)重，我們定義得到： 這里。因?yàn)椋覀冇小? # 對(duì)于本文的其余部分，我們將忽略常數(shù)項(xiàng)。使用我們提供的算法來(lái)處理常量項(xiàng)并不難，但這樣做確實(shí)會(huì)增加一些符號(hào)復(fù)雜性。也可以最小化，因?yàn)樗挥绊懻齽t化項(xiàng)；由此產(chǎn)生的問(wèn)題在中仍然是凸的。 4. 擬合樣條的條件梯度法 在本節(jié)中，我們概述了求解（9）（因此也是（2））的算法。為此，我們簡(jiǎn)要回顧一下經(jīng)典的條件梯度法[7]和[8]中提出的測(cè)量理論版本。 我們需要解決的優(yōu)化問(wèn)題（9）（沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)c）是:

16、 滿足, （11） . 正如上一節(jié)所述，（11）是一個(gè)衡量空間的凸優(yōu)化問(wèn)題。我們密切關(guān)注[8]中采用的方法，并直接對(duì)這個(gè)問(wèn)題應(yīng)用條件梯度法。這種方法的主要好處是我們可以將注意力限制在原子度量上，即的形式為 . 通過(guò)簡(jiǎn)單地存儲(chǔ)成對(duì)的的列表，這種形式的度量在計(jì)算機(jī)中很容易表示。定理1確保我們需要存儲(chǔ)的結(jié)的數(shù)量是絕對(duì)有界的，即我們的算法運(yùn)行在有界存儲(chǔ)器中。當(dāng)我們操縱原子測(cè)量時(shí)，我們解決了所有有界測(cè)量的問(wèn)題（11）。 關(guān)于有限支持的原子測(cè)量值需要注意的一點(diǎn)是我們可以很容易地對(duì)結(jié)點(diǎn)位置固定的權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化，因?yàn)檫@對(duì)應(yīng)于適用于任何

17、標(biāo)準(zhǔn)算法的有限維凸優(yōu)化問(wèn)題。我們的算法利用了這個(gè)事實(shí)，并且在每次迭代之間交替添加結(jié)對(duì)并對(duì)權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化。在后一步驟中，結(jié)可以（并且事實(shí)上最終必須）被去除。在附加和可選步驟中，結(jié)點(diǎn)可以在[0,1]內(nèi)連續(xù)移動(dòng)，或者連續(xù)移動(dòng)到相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)。理論上的收斂不需要這一步，但可以在實(shí)踐中改善收斂性和最終解決方案的稀疏性。 4.1 條件梯度法 條件梯度法（CGM）解決了形式為 滿足, （12） 的約束凸優(yōu)化問(wèn)題，變量。在上面，我們總是假定（凸）函數(shù)是可微分的。在CGM的每次迭代中，我們?cè)诋?dāng)前迭代處

18、形成函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)線性逼近： 這里是函數(shù)在點(diǎn)方向d上的方向?qū)?shù)，定義為： 我們?cè)谶@里使用方向?qū)?shù)可能會(huì)令人驚訝：對(duì)于上的可微函數(shù)，總是等于。方向?qū)?shù)對(duì)度量的凸函數(shù)的直接適用性促使我們傾向于使用它。 的凸性意味著是的下界，即： . （13） 在CGM的下一步中，我們?cè)诳尚屑献钚』@個(gè)一階近似： . 點(diǎn)稱為的條件梯度。請(qǐng)注意，在上提供了一個(gè)下界： . 特別地，我們可以限制點(diǎn)的次優(yōu)性： . （14） 圖2：函數(shù)在點(diǎn)處

19、的條件梯度法的單次迭代示意圖。集合是由實(shí)線表示的區(qū)間[-0.25,1.25]，一階近似值繪制為在處與相切的虛線。條件梯度是點(diǎn)-0.25。 可以看到（如[7]），這個(gè)界限減少到零，這意味著它可以用作（非啟發(fā)式）終止標(biāo)準(zhǔn)。確定之后，有幾個(gè)更新的選項(xiàng)。在本文中，我們將使用CGM的完全校正變體，它選擇在的凸包上來(lái)最小化。請(qǐng)注意，隨著增長(zhǎng)，這最后一步可能會(huì)變得計(jì)算密集，并且實(shí)際上限制了條件梯度方法對(duì)這一步在計(jì)算上可行的問(wèn)題的適用性。一種選擇是一旦在最小化步驟中未選擇先前的條件梯度，就刪除先前的條件梯度。Caratheodory定理確保我們需要跟蹤的先前的條件梯度集合然后以為界。然而，在實(shí)踐中，算法

20、通常在迭代之前終止。 算法1.完全校正條件梯度法 對(duì),... 1、 線性化：. 2、 最小化：. 3、 更新：. 4.2 度量的條件梯度 在本小節(jié)中，我們將條件梯度法應(yīng)用于無(wú)窮維問(wèn)題（11），我們?cè)诖酥貜?fù)： 滿足， （15） . 首先我們將表明，條件梯度即度量，可以被選擇為恰好支持兩個(gè)點(diǎn)，并且可以在時(shí)間上線性地計(jì)算。目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處的度量s方向上的方向?qū)?shù)由下式給出: 然后，我們可以將中的內(nèi)積與中的積分互換：

21、 . （16） 令。請(qǐng)注意在的情況下，僅僅是殘差 ，是殘差與位于的單個(gè)鉸鏈函數(shù)之間的相關(guān)性。條件梯度是以下優(yōu)化問(wèn)題的解決方案： 滿足， （17） . 如果沒(méi)有積分約束條件，我們可以期望有一個(gè)解（17），即單點(diǎn)質(zhì)量：目標(biāo)函數(shù)是標(biāo)量值函數(shù)與有界度量的積分。我們將證明（17）總是有一個(gè)解決方案正好支持兩點(diǎn)。此外，我們將顯示這兩點(diǎn)可以按時(shí)間線性計(jì)算。 首先，我們將為（17）構(gòu)造一個(gè)特定的可行點(diǎn)，然后我們將顯示它達(dá)到最優(yōu)值。令. 定義 . 達(dá)到的目標(biāo)值是 .

22、 我們將證明，對(duì)于（17）而言，任何可行的度量的目標(biāo)值都低于或?qū)τ冢?1）是最優(yōu)的。將分解為兩個(gè)相互獨(dú)立的非負(fù)測(cè)度的差值： 。那么，當(dāng)是可行的時(shí)，我們有 達(dá)到的目標(biāo)值可以如下所示： 假設(shè)。那么上面的論證意味著是（11）的條件梯度，因此（14）意味著是最優(yōu)的。否則，我們有 這意味著 這證明了我們的斷言。 請(qǐng)注意，發(fā)現(xiàn)和在[0，1]上包含兩個(gè)單獨(dú)的優(yōu)化問(wèn)題，而不是[0,1][0,1]上的一個(gè)。這些問(wèn)題很容易通過(guò)網(wǎng)格來(lái)解決，但是在這種情況下，如果我們有權(quán)訪問(wèn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的排序矢量，它們可以在時(shí)間上精確地按時(shí)間線性地求解。為了看到這一點(diǎn)，我們對(duì)上面的擴(kuò)

23、展了的目標(biāo)函數(shù)： 如果對(duì)進(jìn)行排序，我們可以精確地計(jì)算每對(duì)連續(xù)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的最小值，因?yàn)檫@只是計(jì)算一段時(shí)間內(nèi)線性函數(shù)的最小值。因此，在數(shù)據(jù)的一次傳遞中，我們可以精確地計(jì)算整體最小值。 在計(jì)算和之后，我們可以使用（14）來(lái)限制的次優(yōu)性： 通過(guò)選擇條件梯度，完全校正步驟是一個(gè)有限維凸問(wèn)題。修復(fù)到目前為止遇到的結(jié)點(diǎn)位置，，通過(guò)求解下面的優(yōu)化問(wèn)題我們至少可以做到完全修正算法。 （18） 這相當(dāng)

24、于中的以下優(yōu)化問(wèn)題： （19） 我們可以使用任何現(xiàn)有的算法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題[11]，[12]。在我們的實(shí)現(xiàn)中，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們使用條件梯度法和線搜索。 通過(guò)以不斷增加的序列進(jìn)行熱啟動(dòng)，我們可以高效地計(jì)算近似的規(guī)則化路徑。事實(shí)上，我們甚至可以使用[9]的方法提供可證明的次優(yōu)路徑。 4.3 收斂 正如在ADCG [8]收斂的情況下，

25、立即從一般的Banach空間[7]，[13]，[14]中的條件梯度法證明。條件梯度法的收斂取決于曲率參數(shù)。是一個(gè)常數(shù)，所有和滿足以下不等式： 為了我們的目的，僅僅是和。有限的一個(gè)簡(jiǎn)單的充分條件是在Lipschitz梯度下可積。如果是有限的，則條件梯度方法以至少的速率收斂（根據(jù)函數(shù)值），其中是迭代計(jì)數(shù)器。 5. 廣義相加模型 單變量樣條的一個(gè)自然應(yīng)用是將廣義相加模型[6]擬合為多元數(shù)據(jù)：。也就是說(shuō)，擬合以下形式的函數(shù)： 其中每個(gè)是從到的簡(jiǎn)單函數(shù)（這里是向量的第個(gè)坐標(biāo)）。 我們可以在標(biāo)量情況下模擬我們的方法，其優(yōu)化問(wèn)題如下：

26、 （20） 這里是標(biāo)量情況下使用相同正則化參數(shù)，即 在標(biāo)量情況下，可以表明總是有一個(gè)最優(yōu)的，每個(gè)坐標(biāo)函數(shù)都是一階飽和樣條。 這使得我們可以將（20）改寫為一個(gè)優(yōu)于度量的優(yōu)化問(wèn)題。與標(biāo)量情況相比，唯一的變化是該度量超過(guò)了集合——每個(gè)結(jié)現(xiàn)在都附加到特定的坐標(biāo)上。換句話說(shuō)，我們搜索以下形式的函數(shù)： 我們?cè)俅卧诘姆稊?shù)和正則化項(xiàng)之間具有平等性： 那么與（11）類似的是：

27、 （21） 標(biāo)量情況下的條件梯度算法立即推廣到擬合廣義相加模型——唯一的區(qū)別是我們現(xiàn)在需要為同一個(gè)坐標(biāo)找到一對(duì)結(jié)點(diǎn)。這涉及在[0,1]上解決對(duì)非凸優(yōu)化問(wèn)題——同樣可以通過(guò)網(wǎng)格化或?qū)τ?xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行排序來(lái)完成。 擬合廣義相加模型時(shí)，飽和樣條曲線比標(biāo)準(zhǔn)自適應(yīng)樣條曲線更具優(yōu)勢(shì)。在擬合廣義相加模型時(shí)，飽和約束的增加（在[0,1]之外是常數(shù)）自然會(huì)導(dǎo)致變量選擇。我們所說(shuō)的變量選擇是指函數(shù)通常恰好為0。這是因?yàn)轱?/p>

28、和約束意味著線性坐標(biāo)函數(shù)不再逃避正則化（事實(shí)上，它們是不可能的）。這與沒(méi)有飽和約束的標(biāo)準(zhǔn)自適應(yīng)樣條設(shè)置非常不同。在這種情況下，線性函數(shù)，即完全避開(kāi)了正則化，因此基本上總是包含在模型中。線性函數(shù)在飽和約束下不是自由的（實(shí)際上，在函數(shù)0之外，它們是不可行的）。當(dāng)我們求解（21）時(shí)，我們同時(shí)擬合非線性坐標(biāo)函數(shù)，同時(shí)做可變選擇。 6. 相關(guān)現(xiàn)有成果 平滑樣條也可以解釋為無(wú)限維優(yōu)化問(wèn)題[1,5.4]。實(shí)際上，（一階）平滑樣條解決了問(wèn)題

29、 （22） 其中 （22）的解也是在[0,1]之外飽和的一階自然樣條。然而，（22）和（2）的解決方案是非常不同的。粗略地說(shuō)，（22）類似于嶺回歸，而（2）類似于lasso。也就是說(shuō)，（22）擬合具有與數(shù)據(jù)點(diǎn)一樣多的節(jié)點(diǎn)的函數(shù)，而（2）通常適合幾何節(jié)點(diǎn)很少的樣條函數(shù)。 另一種自適應(yīng)但不飽和的樣條是自適應(yīng)回歸樣條[5]。這些樣條函數(shù)也可以作為函數(shù)回歸問(wèn)題

30、 （23） 的解決方案，其中 請(qǐng)注意，（2）沒(méi)有飽和約束。求解（23）（對(duì)于一階樣條）的算法基于定理1的擴(kuò)展，這表明在數(shù)據(jù)點(diǎn)上實(shí)際上支持（23）的解決方案。因此可以使用lasso算法來(lái)找到解決方案。這也表明解決我們的問(wèn)題的一個(gè)非常簡(jiǎn)單的方法（9）：我們將個(gè)結(jié)點(diǎn)固定為數(shù)據(jù)的值，并且求解有限維凸優(yōu)化問(wèn)題以找到權(quán)重。雖然像GLMNet [15]這樣簡(jiǎn)單的坐標(biāo)下降方法由于飽和約束不會(huì)立即適用，但可以修改它們以處理約束。 這種方法可行，但可能比我們的要慢得多，因?yàn)樵趯?shí)踐中，對(duì)于正則化參數(shù)的有用值，結(jié)點(diǎn)的數(shù)目通常遠(yuǎn)小于，而對(duì)于個(gè)基函數(shù)

31、的有限維問(wèn)題的條件非常不好。這就是說(shuō)，我們提出的算法——對(duì)于分段線性情況——可以被解釋為有限維問(wèn)題的前向有效集方法，其中我們避免明確評(píng)估所有基函數(shù)。我們測(cè)量理論方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，它立即推廣到高階樣條，其中的支持不需要在數(shù)據(jù)點(diǎn)上，我們將在9中看到。在這種情況下（9）是真正無(wú)限維的，但我們的算法仍然可以直接應(yīng)用。 趨勢(shì)濾波是一種非參數(shù)函數(shù)估計(jì)技術(shù)，首先在[16]中介紹，這與自適應(yīng)樣條非常相似。事實(shí)上，如[17]所述，常數(shù)或分段線性情況下的趨勢(shì)濾波估計(jì)與自適應(yīng)樣條估計(jì)完全相同。趨勢(shì)過(guò)濾越來(lái)越普遍，因?yàn)樗姓J(rèn)了非常有效強(qiáng)大的算法[17]，[18]。事實(shí)上，這些算法中的一些（尤其是適合GAMs的算法[

32、19]）可能適用于有效擬合飽和趨勢(shì)濾波器估計(jì)，這將受益于飽和樣條的特征選擇屬性和趨勢(shì)濾波的計(jì)算效率。 有許多用樣條函數(shù)擬合廣義相加模型的方法。一種方法（參見(jiàn)[20]）是使用（6）的組lasso版本： 擴(kuò)展這個(gè)想法，[21]使用重疊組lasso來(lái)促進(jìn)零、線性和非線性項(xiàng)之間的選擇。這些方法和我們的方法之間的差異類似于標(biāo)準(zhǔn)組lasso和lasso之間的差異。雖然兩者都進(jìn)行特征選擇，但懲罰函數(shù)（6）不會(huì)在每個(gè)坐標(biāo)函數(shù)內(nèi)進(jìn)行結(jié)點(diǎn)選擇。 在[22]中討論了一種非常類似的擬合樣條的方法，它不需要結(jié)點(diǎn)選擇（但不包含飽和度）。 7. 實(shí)例 實(shí)施細(xì)節(jié)： 我們?cè)赗ust語(yǔ)言中提供了一個(gè)簡(jiǎn)

33、單的，未優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)。 我們算法的運(yùn)行時(shí)間由完全校正步驟決定，即求解有限維凸優(yōu)化問(wèn)題（19）。 我們使用近似牛頓法和標(biāo)準(zhǔn)條件梯度法來(lái)求解（19），并使用精確的分解。準(zhǔn)確地說(shuō)，在每次迭代中，我們形成目標(biāo)函數(shù) 的二階近似，然后我們使用有（精確的）行搜索的標(biāo)準(zhǔn)條件梯度方法來(lái)最小化（超過(guò)約束集）。 請(qǐng)注意，這是一個(gè)固定步長(zhǎng)為1的牛頓步驟：如GLMNET [15]中所述，為了提高速度，我們省略了行搜索。 我們選擇使用近端牛頓法，因?yàn)樗鄬?duì)簡(jiǎn)單；其他標(biāo)準(zhǔn)凸面優(yōu)化算法可能會(huì)給出更好的實(shí)際性能，特別是當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量非常大時(shí)。 在所有的例子中，我們仿射地預(yù)處理數(shù)據(jù)，使得所有訓(xùn)練特征位于[0,1]中

34、，并且將相同的變換應(yīng)用于測(cè)試特征（因此可能具有[0,1]之外的值）。所有的劃分都是按照標(biāo)準(zhǔn)化的特點(diǎn)。對(duì)于骨密度和鮑魚數(shù)據(jù)集，我們選擇來(lái)最小化驗(yàn)證集上的錯(cuò)誤。對(duì)于垃圾郵件和ALS數(shù)據(jù)集，我們使用交叉驗(yàn)證來(lái)估計(jì)。我們從訓(xùn)練集中提取一個(gè)大小為100的隨機(jī)子集并訓(xùn)練其余數(shù)據(jù)。對(duì)于每個(gè)隨機(jī)驗(yàn)證/訓(xùn)練分離，我們估計(jì)以最小化保持誤差，并將我們的最終估計(jì)作為50次試驗(yàn)的平均值。 圖三：對(duì)于正則化參數(shù)的3個(gè)值，飽和樣條符合骨密度數(shù)據(jù)（顯示為散點(diǎn)）。頂部：；中間：；底部：。 7.1 骨密度 我們從一個(gè)簡(jiǎn)單的[1,5

35、.4]中的單變量數(shù)據(jù)集開(kāi)始。該數(shù)據(jù)集的響應(yīng)變量是女性青少年的兩次醫(yī)生訪視之間脊柱骨密度的變化與年齡的函數(shù)關(guān)系。有259個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，其中我們保留了120個(gè)用于驗(yàn)證的數(shù)據(jù)點(diǎn)，剩下139個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，以適應(yīng)飽和脊柱。我們從平方損失開(kāi)始。 結(jié)果如圖3所示，對(duì)于正則化參數(shù)的三個(gè)值。散點(diǎn)是訓(xùn)練數(shù)據(jù)，實(shí)線是我們算法的飽和樣條擬合。該圖表明了與優(yōu)化樣條曲線的復(fù)雜性之間的明確聯(lián)系。樣本外驗(yàn)證建議設(shè)置，從而驗(yàn)證RMSE為0.036。 為了證明我們提出的方法與更一般的損失函數(shù)一起工作，我們將30個(gè)模擬的異常值添加到訓(xùn)練集并且擬合了偽Huber損耗[23]，這是對(duì)Huber損失函數(shù)的平滑近似： 其中是在絕

36、對(duì)值損失和平方損失之間插值的參數(shù)。對(duì)于我們的實(shí)驗(yàn)，我們?nèi)?；粗略地說(shuō)，平方和線性損耗之間的轉(zhuǎn)換發(fā)生在附近。結(jié)果如圖4所示。這些圖表明我們的算法可以擬合除平方損失之外的損失，并且證實(shí)了偽Huber損失比基本平方損失函數(shù)對(duì)異常值更加強(qiáng)大。事實(shí)上，在驗(yàn)證集上，最小二乘法擬合的最小RMSE為0.096，而偽Huber擬合達(dá)到0.038，僅比在將訓(xùn)練數(shù)據(jù)加入異常值之前獲得的擬合稍差。 雖然這個(gè)一維問(wèn)題非常容易，但它顯示了自適應(yīng)樣條罰款在平滑樣條上的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)：最優(yōu)模型只有5個(gè)結(jié)點(diǎn)。 圖4：對(duì)于平方損失函數(shù)（左）和偽Huber損

37、失函數(shù)（右）的模擬異常值，飽和樣條擬合骨密度數(shù)據(jù)（以散點(diǎn)表示），每個(gè)值用于最小化測(cè)試集上RMSE的值。 7.2 鮑魚數(shù)據(jù)集 我們用飽和樣條坐標(biāo)函數(shù)的廣義加法模型擬合來(lái)自UCI Machine Learning Repository [24]的鮑魚數(shù)據(jù)集。數(shù)據(jù)包括鮑魚8個(gè)特征的4177個(gè)觀察值以及目標(biāo)變量鮑魚的年齡。我們將400個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為驗(yàn)證集合保留，剩下3777個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)以適合模型。第一個(gè)特征（標(biāo)記為性別）有三個(gè)值：雄性，雌性和少年，編碼值為0,1,2；其他7個(gè)是（直接）實(shí)數(shù)。任務(wù)是從特征中估計(jì)鮑魚的年齡。 交叉驗(yàn)證表明我們選擇了，它實(shí)現(xiàn)了驗(yàn)證集合RMSE為2.131。由于特征數(shù)量很少，

38、我們可以繪制整個(gè)廣義相加模型。每個(gè)圖表顯示的一個(gè)坐標(biāo)函數(shù)作為[0，1]中標(biāo)準(zhǔn)化特征的函數(shù)。顯示了三個(gè)值的坐標(biāo)函數(shù)，中間值對(duì)應(yīng)于最小化交叉驗(yàn)證RMSE的值。當(dāng)坐標(biāo)函數(shù)為零時(shí)，即模型中未使用該特征時(shí)，它將顯示為藍(lán)色。我們可以看到，在強(qiáng)正則化（）的情況下，幾個(gè)坐標(biāo)不被使用；對(duì)于最佳模型（），使用所有特征，其中一些特征僅具有小的影響?？吹叫砸蛩厝绾芜M(jìn)入最佳模型是很有趣的。它對(duì)于男性或女性都是中性的，但是從其年齡預(yù)測(cè)中為少年鮑魚減去一小部分固定量。 這個(gè)數(shù)據(jù)集足夠小，我們可以使用粗網(wǎng)格[0，1]與標(biāo)準(zhǔn)自適應(yīng)樣條進(jìn)行比較。對(duì)于這個(gè)實(shí)驗(yàn)，我們使用GLMNET [15]來(lái)擬合具有標(biāo)準(zhǔn)自適應(yīng)樣條組件函數(shù)的GA

39、M。標(biāo)準(zhǔn)自適應(yīng)GAM擬合沒(méi)有變量選擇，實(shí)現(xiàn)了驗(yàn)證集合RMSE為2.137，并沒(méi)有比飽和樣條模型差得多。然而，我們的算法選擇了更少的節(jié)點(diǎn)。擬合GLMNET時(shí)結(jié)節(jié)數(shù)量的增加可能是由于網(wǎng)格問(wèn)題的條件不佳造成的。 圖5：用于使樣條廣義相加模型飽和的坐標(biāo)函數(shù)適合于鮑魚數(shù)據(jù)以獲得正則化參數(shù)的三個(gè)值。 圖6：飽和樣條廣義相加模型的驗(yàn)證誤差符合垃圾郵件數(shù)據(jù)集與調(diào)整參數(shù)。 7.3 垃圾郵件 我們將電子郵件分類為垃圾郵件和非垃圾郵件的兩類，并從ESL獲取數(shù)據(jù)集[1]。

40、該數(shù)據(jù)集包含來(lái)自4601封電子郵件的57個(gè)詞頻特征，以及其標(biāo)簽為垃圾郵件或非垃圾郵件。遵循ESL中的方法[1]，我們對(duì)特征進(jìn)行對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，并使用標(biāo)準(zhǔn)訓(xùn)練/驗(yàn)證分割，訓(xùn)練集為3065，測(cè)試集為1536個(gè)樣本。我們擬合了具有標(biāo)準(zhǔn)邏輯損失的飽和樣條廣義加法模型。 圖6顯示了驗(yàn)證錯(cuò)誤與正則化參數(shù)的關(guān)系。交叉驗(yàn)證表明選擇。為了說(shuō)明非線性坐標(biāo)函數(shù)的好處，我們還包含了使用線性模型（使用GLMNet [15]擬合）獲得的最佳驗(yàn)證誤差。 在正則化參數(shù)的情況下，該模型選擇57個(gè)特征中的55個(gè)。我們注意到我們的飽和樣條廣義加法模型比ESL的許多方法略微勝過(guò)[1]。例如，平滑樣條曲線產(chǎn)生5.3％的誤差，而我們的模型

41、誤差率遠(yuǎn)低于5％。圖7顯示了的模型的坐標(biāo)函數(shù)（一些）。坐標(biāo)函數(shù)使用非常少的節(jié)點(diǎn)，使其易于解釋。 為了比較，我們使用標(biāo)準(zhǔn)自適應(yīng)樣條坐標(biāo)函數(shù)來(lái)擬合GAM。為此，我們用20個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)每個(gè)維度進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并用GLMNET [15]解決由此產(chǎn)生的有限維問(wèn)題。請(qǐng)注意，自適應(yīng)樣條不會(huì)懲罰線性函數(shù)，因此不會(huì)選擇特征。自適應(yīng)樣條的最小誤差為4.8％，比飽和樣條要差得多。 圖7：的16個(gè)坐標(biāo)函數(shù)，每個(gè)標(biāo)有相應(yīng)的特征名稱。 圖8：驗(yàn)證ALS數(shù)據(jù)集與正則化參數(shù)的MSE。 7.4 ALS 我們嘗試使用這個(gè)數(shù)據(jù)集來(lái)預(yù)測(cè)醫(yī)

42、學(xué)患者的ALS（肌萎縮側(cè)索硬化癥）的進(jìn)展速度，通過(guò)功能評(píng)分的變化率來(lái)衡量，這是對(duì)功能障礙的測(cè)量。該數(shù)據(jù)集被分成1197個(gè)實(shí)例的訓(xùn)練集和625個(gè)額外患者的驗(yàn)證集。每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的維數(shù)為369。我們用一個(gè)最小二乘目標(biāo)函數(shù)擬合了一個(gè)具有飽和樣條函數(shù)的廣義加法模型。在[25,17.2]之后，我們使用均方差來(lái)衡量表現(xiàn)。 我們使用交叉驗(yàn)證來(lái)估計(jì)的最優(yōu)值，其中保留大小為100個(gè)示例和50個(gè)樣本；這個(gè)程序建議。圖8顯示了驗(yàn)證誤差與正則化參數(shù)；通過(guò)交叉驗(yàn)證選擇的的值實(shí)現(xiàn)了低誤差。在同一圖上，我們還使用增強(qiáng)回歸樹和隨機(jī)森林顯示[25]的結(jié)果。最優(yōu)飽和樣條GAM模型只選擇了369個(gè)特征中的50個(gè)，而增強(qiáng)回歸樹使用了2

43、67。飽和樣條GAM模型與增強(qiáng)回歸樹和隨機(jī)森林相當(dāng)。這是令人驚訝的，因?yàn)轱柡蜆訔lGAM沒(méi)有交互條件。它還使用了少得多的功能，進(jìn)一步提高了解釋能力。 我們?cè)俅问褂镁哂袠?biāo)準(zhǔn)自適應(yīng)樣條坐標(biāo)功能的GAM（使用GLMNET）來(lái)展示飽和度的優(yōu)勢(shì)。標(biāo)準(zhǔn)自適應(yīng)樣條擬合實(shí)現(xiàn)了0.547的MSE，比其他任何模型都差得多。我們推測(cè)這是因?yàn)榉蔷€性函數(shù)導(dǎo)致立即過(guò)擬合。事實(shí)上，去除未經(jīng)去除的線性函數(shù)并僅用鉸鏈擬合模型就可以得到與飽和樣條擬合非常相似的性能，這表明飽和度的主要優(yōu)勢(shì)在于去除未經(jīng)去除的線性函數(shù)。 飽和樣條的實(shí)用優(yōu)勢(shì)：這些實(shí)驗(yàn)表明，飽和樣條曲線在小分類和回歸數(shù)據(jù)集上十分有效。 此外，實(shí)驗(yàn)證明飽和樣條展示結(jié)

44、點(diǎn)選擇和特征選擇——在擬合GAMs的情況下。 雖然飽和樣條曲線比平滑樣條曲線（選擇完全密集的結(jié)集）選擇更少的節(jié)點(diǎn)并不奇怪，但我們的算法選擇的節(jié)數(shù)比即使與GLMNET適合的自適應(yīng)樣條曲線也有點(diǎn)令人驚訝。最后，垃圾郵件和ALS數(shù)據(jù)集展示了自適應(yīng)樣條曲線比自適應(yīng)樣條曲線飽和的一個(gè)主要優(yōu)勢(shì)：它們同時(shí)執(zhí)行非線性坐標(biāo)函數(shù)擬合和特征選擇。這有助于泛化性能和可解釋性。特別是，對(duì)于ALS數(shù)據(jù)集，飽和樣條GAM通過(guò)僅選擇36個(gè)可用特征中的50個(gè)來(lái)實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)樣條GAM的一半測(cè)試MSE。 8.高階樣條 在本文的大部分研究中，我們關(guān)注函數(shù)回歸問(wèn)題（2），對(duì)一階導(dǎo)數(shù)和對(duì)零導(dǎo)數(shù)（函數(shù)本身）的飽和約束有一個(gè)總變差

45、約束。在本節(jié)中，我們考慮對(duì)高階導(dǎo)數(shù)的約束，導(dǎo)致高階樣條的解。 （24） 我們考慮以為指標(biāo)的非參數(shù)函數(shù)估計(jì)問(wèn)題族。這是函數(shù)回歸問(wèn)題（2）的類比，其中對(duì)第階導(dǎo)數(shù)的總變差約束和對(duì)第階導(dǎo)數(shù)的飽和約束。本文中的飽和樣條情形是（24）的特例，其中。廣泛使用的立方自然樣條對(duì)應(yīng)于。注意，不同于自然樣條，自然樣條只為和的某些值定義，而這里對(duì)和沒(méi)有約束。 我們現(xiàn)在表明高階飽和樣條

46、一般解決（24）。由于是有界，所以存在一個(gè)度量那么對(duì)某些我們有： 在上面，所有迭代的積分發(fā)生次。 請(qǐng)注意，對(duì)于所有，的約束意味著多項(xiàng)式項(xiàng)單獨(dú)為零。 所以，我們有： 對(duì)于，我們可以消除非線性，即對(duì)于，只是的多項(xiàng)式的積分。我們可以從積分中將包含的項(xiàng)取出，得到x的多項(xiàng)式，其系數(shù)是的前個(gè)矩的非零倍數(shù)： 同樣地，我們注意到，由于這個(gè)多項(xiàng)式對(duì)于無(wú)限多點(diǎn)都是零，所有的系數(shù)必須為零。就度量而言，這意味著： 這表明的第階導(dǎo)數(shù)飽和的約束條件轉(zhuǎn)化為約束的所有時(shí)刻直到第個(gè)時(shí)刻。 雖然條件梯度變得更加復(fù)雜，但增加了更多的矩約束條件，但本文采用的方法仍然可以應(yīng)用

47、于（24），只要相當(dāng)小——（24）的條件梯度步驟包含在上的非凸優(yōu)化問(wèn)題。這是因?yàn)槲覀冎辽傩枰獋€(gè)點(diǎn)質(zhì)量來(lái)滿足時(shí)間約束。因此，擬合線性飽和的二次樣條曲線非常容易——事實(shí)上，這樣做的代碼與擬合分段線性飽和樣條曲線的代碼基本相同——但由于附加的線性條件，擬合到常數(shù)的二次樣條稍微困難一些對(duì)度量的約束。然而，對(duì)于較大的和值，我們不能再希望通過(guò)分析找到條件梯度，并且必須求助于遞歸網(wǎng)格或其他全局優(yōu)化算法來(lái)查找新節(jié)點(diǎn)的位置。 圖9：前兩幅圖分別顯示了時(shí)的條件梯度，其中和。虛線表示點(diǎn)質(zhì)量的位置：當(dāng)時(shí)，條件梯度由三個(gè)點(diǎn)質(zhì)量組成。底部的圖表

48、顯示了相應(yīng)的度量。 9.變體和擴(kuò)展 雖然飽和度往往是一個(gè)自然的先驗(yàn)，但我們?cè)诒疚闹胁捎玫姆椒ㄒ部梢詰?yīng)用于（9）上的其他（凸）變體。例如，我們可以添加約束條件，即擬合的函數(shù)是單調(diào)非遞減的，或者在給定的時(shí)間間隔內(nèi)取值。 一個(gè)簡(jiǎn)單的算法擴(kuò)展就是在[8]的精神中加入非凸優(yōu)化。在每次迭代中，我們調(diào)整原子量度的權(quán)重，但我們也可以調(diào)整結(jié)點(diǎn)位置。（19）中的目標(biāo)在中是非凸的，但我們?nèi)匀豢梢栽噲D找到一個(gè)局部最小值。只要我們不增加目標(biāo)函數(shù)，算法仍然保證收斂[8]。在一階樣條的情況下，我們可以使用這樣的事實(shí)，即結(jié)點(diǎn)可以在不失一般性的情況下選擇在數(shù)據(jù)點(diǎn)上以對(duì)結(jié)點(diǎn)位置進(jìn)行離散調(diào)整。 為了擬合矢量值函數(shù)，

49、例如在多類別分類中，我們需要擴(kuò)展（9）以使用矢量值度量。這是組lasso的自然測(cè)量理論模擬。 在多變量擬合問(wèn)題中，特征之間存在顯著相互作用的問(wèn)題可能會(huì)出現(xiàn)廣義相加模型。一種可能的解決方案是使用單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：即學(xué)習(xí)形式為 的函數(shù)。在上面，被限制在單位球中。但是，這種形式的網(wǎng)絡(luò)的條件梯度步驟是NP-hard [26]。然而，在許多實(shí)際應(yīng)用中，我們可能預(yù)期交互的程度是有限的。也就是說(shuō)，每個(gè)都有界限基數(shù)。如果我們假設(shè)，即我們只適合配對(duì)相互作用，我們?nèi)匀豢梢詰?yīng)用條件梯度方法。在這種情況下，擬合函數(shù)是由基本元素 形成的變量對(duì)的函數(shù)的和，其中（連續(xù)）參數(shù)為和以及（指數(shù)）參數(shù)為和（即，）。（僅適用于當(dāng)足夠小時(shí)）。這些函數(shù)捕獲（成對(duì)）變量之間的非線性關(guān)系。 10.結(jié)論 在本文中，我們提出了修改自適應(yīng)樣條回歸模型——即飽和約束。我們證明飽和樣條函數(shù)繼承自適應(yīng)樣條的結(jié)點(diǎn)選擇，并且在廣義相加模型的背景下具有非常重要的質(zhì)量：特征選擇。這允許飽和樣條廣義相加模型保持可解釋性，并且（至關(guān)重要）在應(yīng)用于多元數(shù)據(jù)時(shí)避免過(guò)擬合。我們還提出了一種基于標(biāo)準(zhǔn)條件梯度法求解任意凸損失飽和樣條估計(jì)問(wèn)題的簡(jiǎn)單有效算法。最后，我們將我們的算法應(yīng)用于多個(gè)數(shù)據(jù)集，展示了最終模型的簡(jiǎn)單性。