586第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2

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1、第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（2 2） 基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1. 函數(shù)的最大值與最小值(1)概念：如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對任意的xI，總有f(x)f(x0)或f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)在定義域上的最大值(或最小值)(2)求f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值可以分為兩步：第一步，求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；第二步，將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值2. 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題導(dǎo)數(shù)在這一類問題中有著重要的應(yīng)用，它是求函數(shù)最大(小)值的強(qiáng)有力的工具3. 導(dǎo)

2、數(shù)常常和解含參數(shù)的不等式、不等式的證明結(jié)合起來，應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)在這兩方面的應(yīng)用 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. 已知f(x)=x2f(2)-3x，則f(3)=_.2. 若函數(shù)f(x)=x3-3x+a有3個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_3. (選修2-2P32第3(1)題改編)函數(shù)f(x)=2x2-x4(x-2,2)的值域?yàn)開4. 設(shè)函數(shù)f(x)=x3- -2x+5，若對任意x-1,2，都有f(x)m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_5. 有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起做成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形的邊長應(yīng)為_ 22x答案：1. 3解析：f(x)=2f(2

3、)x-3，將x=2代入得f(2)=4f(2)-3，解得f(2)=1，故f(x)=2x-3，將x=3代入得f(3)=23-3=3.2. (-2,2)解析：f(x)=3x2-3，令f(x)=0解得x=1或x=-1.結(jié)合圖象分析可 解得-2a2.3. -8,1解析：f(x)=4x-4x3=4x(1+x)(1-x)0，解得x-1或0 x1，即-2，-1)、(0,1)為函數(shù)的增區(qū)間，(-1,0)、(1,2為函數(shù)的減區(qū)間，而f(-2)=f(2)=-8，f(0)=0，f(-1)=f(1)=1，所以函數(shù)的最小值為-8，函數(shù)的最大值為1.1010ff 4. 解析：由f(x)=3x2-x-2=0，得x1=1，x2

4、=- .易知當(dāng)x 和x1,2時(shí)，f(x)0，當(dāng)x 時(shí)，f(x)0，x=1是極小值點(diǎn)，x=- 是極大值點(diǎn)，f(1)= ，又f(-1)= ，f(2)=7，f(x)min=f(1)= ，m .5. 18解析：設(shè)正方形邊長為x，則V=(8-2x)(5-2x)x=2(2x3-13x2+20 x) ，V=4(3x2-13x+10) ，由V=0得x=1，或x= (舍去)當(dāng)0 x1時(shí)，V0，當(dāng)1x 時(shí)，V0，所以當(dāng)x=1時(shí)，V有最大值，即當(dāng)x=1時(shí)，容積V取最大值為18.7,22321,3 2,1323727272112502x502x10352經(jīng)典例題經(jīng)典例題題型一函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)【例1】(2010陜西改編

5、)已知函數(shù)f(x)= ，g(x)=aln x，aR R.設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，當(dāng)h(x)存在最小值時(shí)，求其最小值F(a)的解析式x解：由條件知h(x)= -aln x(x0)，所以h(x)= - = .當(dāng)a0時(shí)，令h(x)=0，解得x=4a2，所以當(dāng)0 x4a2時(shí)，h(x)0，h(x)在(0,4a2)上遞減，當(dāng)x4a2時(shí)，h(x)0，所以x=4a2是h(x)在(0，+)上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)所以F(a)=h(4a2)=2a(1-ln 2a)當(dāng)a0時(shí)，h(x)= 0，h(x)在(0，+)遞增，無最小值故h(x)的最小值F(a)=2a(1-ln 2a

6、)(a0)x12 xax22xax22xax變式1-1已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=(x2+1)(x+a)若f(-1)=0，求函數(shù)y=f(x)在 上的最大值和最小值. 3,12解：f(x)=3x2+2ax+1.f(-1)=0，3-2a+1=0，即a=2，f(x)=3x2+4x+1=3 (x+1)由f(x)0，得x-1或x- ；由f(x)0，得-1x- .因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 和 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ，f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=2，在x=- 處取得極小值f = .又f = ，f(1)=6，且 f(x)在 上的最大值為f(1)=6，最小值為f = .13x13133, 1

7、21,1311,3 13135027321385013,2783,1232138題型二導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例2】一種變壓器的鐵芯的截面為正十字形，如圖，為保證所需的磁通量，要求十字型具有4 cm2的面積，問應(yīng)如何設(shè)計(jì)正十字形的寬x cm及長y cm，才能使其外接圓的周長最短，這樣使繞在鐵芯上的漆包線最??？5解：設(shè)外接圓的半徑為R cm，則 .由x2+4* x=4 ，得y= .要使外接圓的周長最小，需要R取最小值，也即R2取最小值設(shè)f(x)=R2= = x2+ + (0 x2R)，則f(x)= x- .令f(x)= x- =0，解得x=2或x=-2(舍去)當(dāng)0 x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)

8、0.因此當(dāng)x=2時(shí)，y=1+ ，此時(shí)R2最小，即R最小，則周長最小為2R= (cm)2212Rxy2yx524 52xx22214 542xxx5165225x5858310 x310 x5102 5變式2-1統(tǒng)計(jì)表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y= x3- x+8(0 x120)已知甲、乙兩地相距100千米(1)當(dāng)汽車以40千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？1128000380解：(1)當(dāng)x=40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了 =2.5(小

9、時(shí))，要耗油 *2.5=17.5(升)答：當(dāng)汽車以40千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升100403134040812800080(2)當(dāng)速度為 x千米/時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得h(x)= = x2+ - (0 x120)，h(x)= - = (0 x120)令h(x)=0，得x=80，當(dāng)x(0,80)時(shí)，h(x)0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x(80,120)時(shí)，h(x)0，h(x)是增函數(shù)當(dāng)x=80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)=11.25.h(x)在(0,120上只有一個極值，它是最小值答：當(dāng)汽車以80千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地

10、到乙地耗油最少，最少為11.25升100 x313812800080 xx100 x11280800 x154640 x2800 x33280640 xx題型三導(dǎo)數(shù)與其他知識的綜合應(yīng)用【例3】已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)= x2+2ax，g(x)=3a2ln x+b，其中a0.設(shè)兩曲線y=f(x)，y=g(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同(1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求證：f(x)g(x)(x0) 12解：(1)設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x0)在公共點(diǎn)(x0，y0)處的切線相同f(x)=x+2a，g(x)= ，由題意知f(x0)=g(x0)，f(x0)=g(x0)，即由

11、x0+2a= ，得x0=a，或x0=-3a(舍去)，即有b= a2+2a2-3a2ln a= a2-3a2ln a.令h(t)= t2-3t2ln t(t0)，則h(t)=2t(1-3ln t)23ax22000200123ln232xaxaxbaxax203ax125252當(dāng)t(1-3ln t)0，即0t 時(shí)，h(t)0; 當(dāng)t(1-3ln t)0，即t 時(shí)，h(t)0.故h(t)在(0， )上為增函數(shù)，在( ，+)上為減函數(shù)，于是h(t)在(0，+)上的最大值為h( )= ，即b的最大值為 .(2)證明：設(shè)F(x)=f(x)-g(x)= x2+2ax-3a2ln x-b(x0)，則F(x)

12、=x+2a- = (x0)故F(x)在(0，a)上為減函數(shù)，在(a，+)上為增函數(shù)于是F(x)在(0，+)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故當(dāng)x0時(shí)，有f(x)-g(x)0，即當(dāng)x0時(shí)，f(x)g(x)13e13e13e13e13e2332e2332e1223ax3xaxax 鏈接高考鏈接高考1. (2010山東改編)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=- x3+81x-234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為_萬件知識準(zhǔn)備：1. 要知道年利潤的最大值就是函數(shù)y的最大值2. 已知函數(shù)最高次數(shù)為3次，必須用導(dǎo)數(shù)來求最

13、值13 答案：9解析：令導(dǎo)數(shù)y=-x2+810，解得0 x9；令導(dǎo)數(shù)y=-x2+810，解得 x9，所以函數(shù)y=- x3+81x-234在區(qū)間(0,9)上是增函數(shù)，在區(qū)間(9，+)上是減函數(shù)，所以在x=9處取極大值，也是最大值 132. (2010湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)= (0 x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求

14、k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值知識準(zhǔn)備：1. 根據(jù)題意，要知道不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，即當(dāng)x=0時(shí)，C=8.2. 總費(fèi)用的最小值可通過建立f(x)與x的關(guān)系式來求 35kx解：(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)= ，再由C(0)=8，解得k=40，故C(x)= ，而建造費(fèi)用為C1(x)=6x，隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)=20C(x)+C1(x)=20* +6x= +6x(0 x10)(2)f(x)=6- ，令f(x)=0，解得x=5或x=- (舍去)當(dāng)0 x5時(shí)，f(x)0，當(dāng)5x10時(shí)，f(x)0，故x=5是f(x)的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為f(5)=30+ =70.當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元35kx4035x4035x80035x2240035x 253800155