中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一章數(shù)與式 第5課 二次根式及其運(yùn)算課件

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1、第5課二次根式及其運(yùn)算 1二次根式的概念: 式子 叫做二次根式2二次根式的性質(zhì): (1)( )2 ; (2) |a| (3) (4) 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理( (a0)0)a a( (a0)0)a( (a0)0)0( (a0)0)a( (a0)0)ab 3二次根式的運(yùn)算: (1)二次根式加減法的實(shí)質(zhì)是合并同類根式; (2)二次根式的乘法: ; (3)二次根式的除法: 4最簡二次根式: 運(yùn)算結(jié)果中的二次根式,一般都要化成最簡二次根式 最簡二次根式,滿足兩個條件: 被開方數(shù)不含分母; 被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式( (a00,b0)0)ab ab ( (a00,b0)0)1正確理解二次根式的意義

2、二次根式 定義中的“a0”是定義的一個重要組成部分,不可以省略,因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根,所以當(dāng)a0時,沒有意義在具體問題中,一旦出現(xiàn)了二次根式 ,就意味著a0,這通常作為一個重要的隱含條件來應(yīng)用;被開方數(shù)a既可以是具體的數(shù),也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式,如: 、 (ab0)、 (x3)都是二次根式 難點(diǎn)正本難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源疑點(diǎn)清源 2注意正確的化簡及二次根式的混合運(yùn)算 實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算與有理數(shù)混合運(yùn)算相似,而二次根式的混合運(yùn)算則與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處,如:運(yùn)算順序都是先算乘方、開方、再算乘除、最后算加減,如有括號,應(yīng)先算括號里面的;有理數(shù)、整式、分式運(yùn)算中的運(yùn)算律(分配律、結(jié)合律、交換律等

3、)和所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式中的運(yùn)算仍然適用3與二次根式相關(guān)的求值問題 條件二次根式的求值,問題往往與整式、分式綜合起來,因此技巧性較強(qiáng),解題不要急于動手,宜先統(tǒng)籌好解題的方法與過程通常是將已知式與求值式化簡后,再按照求代數(shù)式的方法進(jìn)行,以簡便、準(zhǔn)確為目的1(2011泉州)(2)2的算術(shù)平方根是() A. 2 B2 C2 D. 解析: 2.2(2011廣安)下列運(yùn)算正確的是() A(x1)x1 B. C. 2 D(ab)2a2b2 解析:因?yàn)?2, 20,所以 ( 2) 22 .基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測A 2 2 2 C3 3 3 3 32 3 3 3 3 3 3 3(20

4、11泰安)下列運(yùn)算正確的是() A. 5 B4 1 C. 9 D. 6 解析: 6.4(2011杭州)下列各式中,正確的是() A. 3 B 3 C. 3 D. 3 解析:因?yàn)?3,所以 3.D2424 3 32 2 24243 32 2 B32 32 36 5(2011菏澤)實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示,則 化簡后為() A. 7 B7 C2a15D無法確定 解析:可知5a0,a113或k B0k3 解析:要使等式成立,必須 有 k3.題型分類 深度剖析D 2k10,k30, k12,k3. (2)已知a、b、c是ABC的三邊長,試化簡: . 解:原式|abc|abc|bca|cab| (a

5、bc)(bca)(cab)(abc) 2a2b2c.探究提高探究提高 1.1.對于二次根式,它有意義的條件是被開方數(shù)非負(fù)對于二次根式,它有意義的條件是被開方數(shù)非負(fù). . 2. 2.注意二次根式性質(zhì)注意二次根式性質(zhì)( )( )2 2a( (a0)0), | |a| |的區(qū)別,的區(qū)別, 判斷出各式的正負(fù)性,再化簡判斷出各式的正負(fù)性,再化簡知能遷移1(1)( )2的平方根是_,9的算術(shù)平方根 是_,_是64的立方根 解析:( )22,2的平方根是 ; 3; 4.2 2 3 34 42 2 2 2 9 9 3 36464 (2)(2011(2)(2011煙臺煙臺) )如果如果 1 12 2a,則,則(

6、 () ) Aa B. . a Ca D. . a 解析:由解析:由1 12 2a00,得,得a . .B1 12 2 (3)若化簡|1x| 的結(jié)果為2x5,則x的取值范圍是_ 解析:|1x| (x1)(4x)2x5, |1x|x10,x1, 且 4x0,x4. 1x4.11x44x28x16 x28x16 題型二二次根式的運(yùn)算【例2】 (1)下列運(yùn)算正確的是() A2 4 6 B. 4 C. 3 D. 3 解析: 3,選C. (2)計算: 2 . 解:原式2 .C2727 3 3 273273 9 9 6 6 1 12 2 6 6 1 13 3 6 6 1 13 3 6 6 3 32 2 6

7、 6 (3)計算: 解:原式 15 6 .4 45 5 1 12 2 45451515 4 45 5 1 12 2 3 3 3 3 探究提高 1.二次根式化簡,依據(jù) (a0,b0), (a0,b0),前者將被開方數(shù)變形為有m2 (m為正整數(shù))因式,后者分子、分母同時乘一個適當(dāng)?shù)?數(shù)使分母變形為m2(m為正整數(shù))的形式,即可將其移到 根號外. 2.二次根式加減,即化簡之后合并同類二次根式 3二次根式乘除結(jié)果要化簡為最簡二次根式知能遷移2(1)(2011濰坊)下面計算正確的是() A3 3 B. 3 C. D. 2 解析: 3.B2727 3 3 9 9 (2)如圖,數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為

8、1和 ,點(diǎn)B關(guān)于 點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C,則點(diǎn)C所表示的數(shù)為() A2 B1 C2 D1 解析:A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是1和 , OA|1|1,OB| | ,AB1 AC, OCACOA(1 )12 . 點(diǎn)C所表示的數(shù)為(2 )2 ,選A. A3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 題型三二次根式混合運(yùn)算【例3】 計算: (1)(3 1)(13 )(2 1)2; (2)( 3)2010( 3)2010. 解題示范規(guī)范步驟,該得的分,一分不丟! 解:(1)原式(3 )21(2 )24 1 18184 1 2分 84 4分 (2)原式( 3)( 3)2010 2分 ( )2322

9、010 (109)20101 4分2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1010 1010 1010 探究提高 1.二次根式混合運(yùn)算,把若干個知識點(diǎn)綜合在一起,計算時要認(rèn)真仔細(xì). 2.可以適當(dāng)改變運(yùn)算順序,使運(yùn)算簡便知能遷移3(1) ( )0 解:原式3 3 1 12 2 2 2 (2)(3)2 ( )1; 解:原式9229(3)已知 的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,求a2b2的值 解:3 4, 的整數(shù)部分a3,小數(shù)部分b 3. a2b232( 3)2 9(106 9) 106 .1010 1010 1010 1010 1010 1010 題型四二次根式運(yùn)算中的技巧【例4】 (1)已知x2 ,

10、y2 ,求:x2xyy2的值; (2)已知x 3,求x 的值 解:(1)x2 ,y2 , xy(2 )(2 )4, xy(2 )(2 )1, x2xyy2(xy)2xy42115. (2) 4(3)245, x .3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ( x ) )2 21 1x ( ( x ) )2 21 1x 1 1x 5 5 探究提高 1.x2xyy2是一個對稱式,可先求出基本對稱式xy4, xy1,然后將x2xyy2轉(zhuǎn)化為(xy)2xy,整體代入即可. 2.注意到(x )2(x )24,可得(x )25, x .5 5 知能遷移4(1)若y x3,則10 x2y的 平方根

11、為_; 解析:(1) x2,y238, 6. 3 3x6 60 06 63 3x0 0, x2 2,x2 2, 1010 x2 2y 10102 22 28 8 3636 6 6(2)已知a32 ,b32 ,求a2bab2的值; 解:ab(32 )(32 )4 , ab(32 )(32 )11, a2bab2ab(ab)(11)4 44 .5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 (3)已知x ,y ,求 的值; 解:x ( 1)232 , y ( 1)232 , xy6,xy4 ,xy1. 原式 .2 21 12 21 1 2 21 11 1 2 22 21 12 21 1 2

12、 2 2 2 2 21 12 21 1 2 2 2 2 2 2 xy xy xy 2 22 2xy 6 6 4 4 2 2 6 62 22 21 1 2424 2 23434 12121717 2 2 (4)(2011內(nèi)江)已知|63m|(n5)23m6 , 則mn_. 解析:由|63m|(n5)23m6 , 得|63m|(n5)2 3m6, |63m|(n5)2|n| 3m6, m30且n50, m3,n5,mn352.2 2 m3 3 n2 2 m3 3 n2 2 m3 3 答題規(guī)范2注意二次根式運(yùn)算中隱含條件考題再現(xiàn)已知:a ,求 的值學(xué)生作答解:原式 a1 a1 . 當(dāng)a 時, 原式

13、1(2 )12 . a1 1 a1 1 a1 1 a1 1 2 2a a1 1 a1 1a a1 1 1 1a 1 12 2 3 3 1 12 2 3 3 3 3 3 3 規(guī)范解答 解:a 1,a10. |a1|1a. 原式 a1 . 當(dāng)a 時, 原式 1(2 )3.1 12 2 3 3 a2 22 2a1 1 a1 1 2 2 a1 1 a1 1 a1 1 1 1aa a1 1 1 1a 1 12 2 3 3 1 12 2 3 3 3 3 老師忠告 (1)題目中的隱含條件為a 1,所以 |a1|1a,而不是a1; (2)注意挖掘題目中的隱含條件,是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵之一,上題中的隱含條件a

14、|a1| 1a是進(jìn)行二次根式化簡的依據(jù),同學(xué)們應(yīng)注重分析能力 的培養(yǎng),提高解題的正確性. 1 12 2 3 3 a2 22 2a1 1 a1 1 2 2 a2 22 2a1 1 a1 1 2 2 思想方法 感悟提高方法技巧1.二次根式相加減,必須先化成最簡二次根式,才能有效地合并同類二次根式;二次根式乘除,不必化簡為最簡二次根式,因?yàn)橛袝r在乘除中可直接約分為最簡二次根式或有理式,即使沒有約分的情況,一般來說,只需把積(商)進(jìn)行一次化簡(因?yàn)榻Y(jié)果須是最簡二次根式),當(dāng)然較先化最簡二次根式一次,又把積(商)再化簡一次較為簡單2.混合運(yùn)算時,要根據(jù)實(shí)際情況,靈活確定運(yùn)算順序,可適當(dāng)改變運(yùn)算的順序,使運(yùn)算簡便失誤與防范1.求 時,一定要注意確定a的大小,應(yīng)注意利用等式 |a|,當(dāng)問題中已知條件不能直接判定a的大小時就要分類 討論2.化簡二次根式的題目,形式多樣,應(yīng)先化簡后求值,應(yīng)力求把根號去掉在求算術(shù)平方根時,要先用含絕對值的式子表示含字母的式子,保證求原式的算術(shù)平方根有意義,然后再根據(jù)題目條件,判斷求絕對值的式子的符號3一般情況下,我們解題時,總會習(xí)慣地把重點(diǎn)放在探求思路和計算結(jié)果上,而忽視了一些不太重要、不直接影響求解過程的附加條件要特別注意,問題中的條件沒有主次之分,都必須認(rèn)真對待完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練 5

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