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1、第第8課時正弦定理和余弦定課時正弦定理和余弦定理的應用舉例理的應用舉例第三章三角函數、解三角形第三章三角函數、解三角形教材回扣教材回扣 夯實雙基夯實雙基基礎梳理基礎梳理1.仰角和俯角：仰角和俯角：在視線和水平線所成的在視線和水平線所成的角中角中,視線在水平線視線在水平線_的角叫仰角的角叫仰角,在在水平線水平線_的角叫俯角的角叫俯角(如圖如圖).上方上方下方下方2.方位角：方位角：從正從正_方向順時針轉到目方向順時針轉到目標方向線的角標方向線的角(如圖如圖,B點的方位角為點的方位角為).北北思考探究思考探究1.仰角、俯角、方位角有何區(qū)別仰角、俯角、方位角有何區(qū)別?提示：提示：三者的參照位置不同三
2、者的參照位置不同.仰角與俯仰角與俯角是相對于水平線而言的角是相對于水平線而言的,而方位角是而方位角是相對于正北方向而言的相對于正北方向而言的.3.方向角：方向角：相對于某一正方向的角相對于某一正方向的角(如如圖圖).(1)北偏東北偏東：指從正北方向順時針旋轉：指從正北方向順時針旋轉到達目標方向到達目標方向.(2)東北方向：指北偏東東北方向：指北偏東45或東偏北或東偏北45.(3)其他方向角類似其他方向角類似.思考探究思考探究2.如何用方位角、方向角確定一點的位如何用方位角、方向角確定一點的位置置?提示：提示：利用方位角或方向角和目標與觀利用方位角或方向角和目標與觀測點的距離即可唯一確定一點的位
3、置測點的距離即可唯一確定一點的位置.課前熱身課前熱身1.(2012阜新調研阜新調研)若點若點A在點在點B的北偏的北偏西西30,則則B點在點在A點的點的()A.北偏西北偏西30B.北偏西北偏西60C.南偏東南偏東30 D.東偏南東偏南30答案：答案：C2.在某次測量中在某次測量中,在在A處測得同一半平面處測得同一半平面方向的方向的B點的仰角是點的仰角是60,C點的俯角為點的俯角為70,則則BAC等于等于()A.10 B.50C.120 D.130答案：答案：D答案：答案：B4.我艦在敵島我艦在敵島A南偏西南偏西50相距相距12海里海里的的B處處,發(fā)現敵艦正由島發(fā)現敵艦正由島A沿北偏西沿北偏西10
4、的方向以的方向以10海里海里/小時的速度航行小時的速度航行,我我艦要用艦要用2小時追上敵艦小時追上敵艦,則需要的最小速則需要的最小速度為度為_.答案：答案：14海里海里/小時小時5.(2011高考上海卷高考上海卷)在相距在相距2千米的千米的A、B兩點處測量目標點兩點處測量目標點C,若若CAB75,CBA60,則則A、C兩點之間兩點之間的距離為的距離為_千米千米.考點探究考點探究 講練互動講練互動考點考點1測量距離測量距離對于不可抵達的兩地之間距離的測量問對于不可抵達的兩地之間距離的測量問題題(如海上、空中兩地測量如海上、空中兩地測量,隔著某一障隔著某一障礙物兩地測量等礙物兩地測量等),解決的思
5、路是建立三解決的思路是建立三角形模型角形模型,轉化為解三角形問題轉化為解三角形問題.一般根據題意一般根據題意,從實際問題中抽象出一從實際問題中抽象出一個或幾個三角形個或幾個三角形,然后通過解這些三角然后通過解這些三角形形,得到所求的量得到所求的量,從而得到實際問題的從而得到實際問題的解解,解題時應認真審題解題時應認真審題,結合圖形去選擇結合圖形去選擇定理定理.例例1【規(guī)律小結規(guī)律小結】求距離問題一般要注意：求距離問題一般要注意：(1)基線的選取要準確恰當基線的選取要準確恰當(在測量上在測量上,我我們根據測量需要適當確定的線段叫做基們根據測量需要適當確定的線段叫做基線線,如例題中的如例題中的CD
6、).(2)選定或創(chuàng)建的三角形要確定選定或創(chuàng)建的三角形要確定.(3)利用正弦定理還是余弦定理要確定利用正弦定理還是余弦定理要確定.考點考點2測量高度測量高度測量高度問題一般是利用地面上的觀測測量高度問題一般是利用地面上的觀測點點,通過測量仰角、俯角等數據計算物通過測量仰角、俯角等數據計算物體的高度體的高度;這類問題一般用到立體幾何這類問題一般用到立體幾何知識知識,先把立體幾何問題轉化為平面幾先把立體幾何問題轉化為平面幾何問題何問題,再通過解三角形加以解決再通過解三角形加以解決. 測量河對岸的塔高測量河對岸的塔高AB時時,可選取可選取與塔底與塔底B在同一水平面內的兩個測點在同一水平面內的兩個測點C
7、與與D,現測得現測得BCD75,BDC60,CDs,并在點并在點C處測得塔頂處測得塔頂A的仰的仰角為角為30,求塔高求塔高AB.例例2【思路分析思路分析】在在BCD中中,求得求得CB,在在ACB中中,求出求出AB.【失誤點評失誤點評】例例2有兩處易錯點：有兩處易錯點：(1)圖形中為空間關系圖形中為空間關系,極易當做平面問題極易當做平面問題處理處理,從而致錯從而致錯;(2)對仰角、俯角等概念對仰角、俯角等概念理解不夠深入理解不夠深入,從而把握不準已知條件從而把握不準已知條件而致錯而致錯.考點考點3測量角度測量角度解決有關海上或空中測量角度的問題解決有關海上或空中測量角度的問題(如確定目標的方位、
8、觀察某一建筑物如確定目標的方位、觀察某一建筑物的視角等的視角等)的關鍵是根據題意和圖形及的關鍵是根據題意和圖形及有關概念有關概念,確定所求的角在哪個三角形確定所求的角在哪個三角形中中,該三角形中已知哪些量該三角形中已知哪些量,需求哪些量需求哪些量等等. (2010高考福建卷節(jié)選高考福建卷節(jié)選)某港口某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時在小艇出發(fā)時,輪船位輪船位于港口于港口O北偏西北偏西30且與該港口相距且與該港口相距20海里的海里的A處處,并正以并正以30海里海里/時的航行速時的航行速度沿正東方向勻速行駛度沿正東方向
9、勻速行駛.假設該小艇沿假設該小艇沿直線方向以直線方向以v海里海里/時的航行速度勻速行時的航行速度勻速行駛駛,經過經過t小時與輪船相遇小時與輪船相遇.例例3(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應為多少則小艇航行速度的大小應為多少?(2)為保證小艇在為保證小艇在30分鐘內分鐘內(含含30分鐘分鐘)能與輪船相遇能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的試確定小艇航行速度的最小值最小值.【思路分析思路分析】(1)滿足滿足AOC為為Rt時最小時最小;(2)利用余弦定理構造利用余弦定理構造v關于關于t的函數的函數.【名師點評名師點評】首先應明確方位角的含首先應明
10、確方位角的含義義,在解應用題時在解應用題時,分析題意分析題意,分清已知與分清已知與所求所求,再根據題意正確畫出示意圖再根據題意正確畫出示意圖,這是這是最關鍵、最重要的一步最關鍵、最重要的一步,通過這一步可通過這一步可將實際問題轉化成可用數學方法解決的將實際問題轉化成可用數學方法解決的問題問題,解題時也要注意體會正、余弦定解題時也要注意體會正、余弦定理理“聯袂聯袂”使用的優(yōu)點使用的優(yōu)點.互動探究互動探究本例條件不變本例條件不變,問是否存在問是否存在v,使得小艇以使得小艇以v海里海里/時的航行速度行駛時時的航行速度行駛時,總能有兩種不總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇同的航行方向與輪船相遇?若存在
11、若存在,試確定試確定v的取值范圍的取值范圍;若不存在若不存在,請說明理由請說明理由.方法技巧方法技巧解三角形的一般步驟解三角形的一般步驟(1)分析題意分析題意,準確理解題意準確理解題意.分清已知與所求分清已知與所求,尤其要理解應用題中尤其要理解應用題中的有關名詞、術語的有關名詞、術語,如坡角、仰角、俯如坡角、仰角、俯角、方位角等角、方位角等.(2)根據題意畫出示意圖根據題意畫出示意圖.(3)將需求解的問題歸結到一個或幾個將需求解的問題歸結到一個或幾個三角形中三角形中,通過合理運用正弦定理、余通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求解弦定理等有關知識正確求解.演算過程演算過程中中,要求算法
12、簡練要求算法簡練,計算正確計算正確,并作答并作答.(4)檢驗解出的答案是否具有實際意義檢驗解出的答案是否具有實際意義,對解進行取舍對解進行取舍.失誤防范失誤防范在解實際問題時在解實際問題時,需注意的兩個問題需注意的兩個問題(1)要注意仰角、俯角、方位角等名詞要注意仰角、俯角、方位角等名詞,并能準確地找出這些角并能準確地找出這些角;(2)要注意將平面幾何中的性質、定理要注意將平面幾何中的性質、定理與正、余弦定理結合起來與正、余弦定理結合起來,發(fā)現題目中發(fā)現題目中的隱含條件的隱含條件,才能順利解決才能順利解決.考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預測命題預測從近幾年的高考試題來看從近幾年的高考試
13、題來看,利用正弦定利用正弦定理、余弦定理解決與測量、幾何計算理、余弦定理解決與測量、幾何計算有關的實際問題是高考的熱點有關的實際問題是高考的熱點,一般以一般以解答題的形式考查解答題的形式考查,主要考查計算能力和分析問題、解決實主要考查計算能力和分析問題、解決實際問題的能力際問題的能力,常與解三角形的知識及常與解三角形的知識及三角恒等變換綜合考查三角恒等變換綜合考查.預測預測2013年高考仍將以利用正弦、余年高考仍將以利用正弦、余弦定理弦定理,解決與測量、幾何計算有關的解決與測量、幾何計算有關的實際問題為主要考點實際問題為主要考點,重點考查應用所重點考查應用所學知識解決實際問題的能力學知識解決實際問題的能力.規(guī)范解答規(guī)范解答例例【名師點評名師點評】本題考查了利用正、余本題考查了利用正、余弦定理解實際應用題弦定理解實際應用題,難度較小難度較小,但考生但考生做得極不理想做得極不理想,其原因是平時做的這一其原因是平時做的這一類題太少類題太少.考生失分點是：一是對方位考生失分點是：一是對方位角的概念不清角的概念不清,二是二是BD的長度計算出錯的長度計算出錯,三是不能利用三是不能利用ABD求求BD.
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