高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第八章 第三節(jié) 圓的方程課件 文

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1、第三節(jié) 圓 的 方 程1.1.圓的定義、方程圓的定義、方程定義定義平面內(nèi)到平面內(nèi)到_的距離等于的距離等于_的點(diǎn)的集合叫作圓的點(diǎn)的集合叫作圓方方程程標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(r(r0)0)圓心圓心C_C_半徑為半徑為r r一一般般x x2 2+y+y2 2+Dx+Dx+Ey+FEy+F=0=0充要條件：充要條件：_圓心坐標(biāo)圓心坐標(biāo)_半徑半徑r=_r=_定點(diǎn)定點(diǎn)定長定長（a,ba,b）D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0DE22（，）221DE4F22.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)(1)確定方法：比較確定方法：比較_與與_

2、的距離與半徑的大小關(guān)系的距離與半徑的大小關(guān)系. .(2)(2)三種關(guān)系：三種關(guān)系：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2，點(diǎn)，點(diǎn)M(xM(x0 0,y,y0 0).)._點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓上；_點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓外；_點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi). .點(diǎn)點(diǎn)圓心圓心(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r=r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打判斷下面結(jié)論是否正確

3、（請在括號中打“”或或“”）. .（1 1）確定圓的幾何要素是圓心與半徑）確定圓的幾何要素是圓心與半徑.( ).( )（2 2）方程）方程(x+a)(x+a)2 2+(y+b)+(y+b)2 2=t=t2 2(tR)(tR)表示圓心為表示圓心為(a,b(a,b) )，半徑為，半徑為t t的一個圓的一個圓.( ).( )（3 3）方程）方程x x2 2+y+y2 2+ax+2ay+2a+ax+2ay+2a2 2+a-1=0+a-1=0表示圓心為表示圓心為 半徑半徑為為 的圓的圓.( ).( )a, a2（），213a4a42（4 4）方程）方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+D

4、x+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是表示圓的充要條件是A=C0A=C0，B=0B=0，D D2 2+E+E2 2-4AF-4AF0.( )0.( )（5 5）若點(diǎn)）若點(diǎn)M M（x x0 0,y,y0 0）在圓）在圓x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0外，則外，則x x0 02 2+y+y0 02 2+Dx+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F+F0.( )0.( )【解析【解析】（1 1）正確）正確. .圓由其圓心和半徑兩個要素就確定了圓由其圓心和半徑兩個要素就確定了. .（2 2）錯誤）錯誤. .當(dāng)當(dāng)t0t0時，方程表示圓心為（時，方程表示圓心為（

5、-a,-b-a,-b），半徑為），半徑為|t|t|的圓的圓. .（3 3）錯誤）錯誤. .當(dāng)當(dāng)a a2 2+(2a)+(2a)2 2-4(2a-4(2a2 2+a-1)+a-1)0 0即即-2-2a a 時才表示圓時才表示圓. .（4 4）正確）正確. .因為因為A=C0,B=0,DA=C0,B=0,D2 2+E+E2 2-4AF-4AF0 0得方程得方程AxAx2 2+Bxy+ Cy+Bxy+ Cy2 2 +Dx+Ey+F+Dx+Ey+F=0=0表示圓，反之也成立表示圓，反之也成立. .23（5 5）正確）正確. .因為點(diǎn)因為點(diǎn)M M（x x0 0,y,y0 0）在圓外，）在圓外，所以所以即

6、即x x0 02 2+y+y0 02 2+Dx+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F +F 0.0.答案：答案：（1 1） （2 2） (3) (3) (4) (5) (4) (5)222200DEDE4Fxy224（）（） ，1.1.圓心為點(diǎn)（圓心為點(diǎn)（0 0，1 1），半徑為），半徑為2 2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )( )（A A）(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=4 =4 （B B）x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2（C C）x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4 =4 （D D）(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=2=2【解析【解析】選選C

7、.C.由已知得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（由已知得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-0 x-0）2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=22 2，即即x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.2.2.圓圓x x2 2+y+y2 2-4x+6y=0-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是的圓心坐標(biāo)和半徑分別是( )( )（A A）（）（2 2，3 3），），13 13 （B B）（）（-2-2，3 3），），1313（C C）（）（-2-2，-3-3），）， （D D）（）（2 2，-3-3），），【解析【解析】選選D.D.由由x x2 2+y+y2 2-4x+6y=0-4x+6y=0得得(x-2)(x-2)

8、2 2+(y+3)+(y+3)2 2=13=13，故圓心坐，故圓心坐標(biāo)為（標(biāo)為（2 2，-3-3），半徑為），半徑為13.13133.3.若點(diǎn)（若點(diǎn)（2 2，3 3）在圓）在圓C:(x-1)C:(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=r=r2 2外，則外，則( )( )【解析【解析】選選D.D.由已知得由已知得 即即 且且r0.r0.Ar2Br2Cr2D2r2r0（ ） （ ） （ ） （ ） 且220r2 132 ，0r22r2 ， 4.4.方程方程x x2 2+y+y2 2+4mx-2y+5m=0+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件是表示圓的充要條件是( )( )【解析【解析】

9、選選D.D.由已知得充要條件為（由已知得充要條件為（4m4m）2 2+(-2)+(-2)2 2-4-45m5m0 0，即即4m4m2 2-5m+1-5m+10 0，解得：，解得：1Am 1Bm1411CmDmm144（ ） （ ） （ ） （ ） 或 1mm1.4 或 5.5.已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(1,2)A(1,2)在圓：在圓：x x2 2+y+y2 2+ax-2y+b=0+ax-2y+b=0上，且點(diǎn)上，且點(diǎn)A A關(guān)于直線關(guān)于直線x-yx-y=0=0的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)B B也在圓上，則也在圓上，則a=_,b=_.a=_,b=_.【解析【解析】方法一：點(diǎn)方法一：點(diǎn)A(1,2)A(1,2)關(guān)于直線關(guān)于直

10、線x-yx-y=0=0的對稱點(diǎn)為的對稱點(diǎn)為B(2,1)B(2,1)，又因為，又因為A A，B B兩點(diǎn)都在圓上，兩點(diǎn)都在圓上，方法二：易知圓心在方法二：易知圓心在y=xy=x上，上，即即a=-2.a=-2.又又點(diǎn)點(diǎn)A(1,2)A(1,2)在圓在圓x x2 2+y+y2 2-2x-2y+b=0-2x-2y+b=0上，上，1 12 2+2+22 2-2-21-21-22+b=0,b=1.2+b=0,b=1.答案：答案：-2 1-2 1222212a4b0a2,b1.212a2b0, ，所以解得a1,2 考向考向 1 1 確定圓的方程確定圓的方程【典例【典例1 1】（1 1）（）（20132013南昌

11、模擬）已知圓南昌模擬）已知圓C C1 1：(x+1)(x+1)2 2+(y-+(y-1)1)2 2=1,=1,圓圓C C2 2與圓與圓C C1 1關(guān)于直線關(guān)于直線x-y-1=0 x-y-1=0對稱，則圓對稱，則圓C C2 2的方程為的方程為( )( )（A A）(x+2)(x+2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1（B B）(x-2)(x-2)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1（C C）(x+2)(x+2)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1（D D）(x-2)(x-2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1（2 2）（）（20132013巢湖模擬）過點(diǎn)巢湖模

12、擬）過點(diǎn)A A（6 6，0 0），），B B（1 1，5 5），且圓），且圓心心C C在直線在直線l：2x-7y+8=02x-7y+8=0上的圓的方程為上的圓的方程為_._.（3 3）已知）已知A A（0 0，1 1），），B B（2 2，1 1），），C C（3 3，4 4），），D D（-1-1，2 2），），問這四點(diǎn)能否在同一個圓上？為什么？問這四點(diǎn)能否在同一個圓上？為什么？【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）先求出圓）先求出圓C C1 1圓心（圓心（-1-1，1 1）關(guān)于直線）關(guān)于直線x-y-x-y-1=01=0的對稱點(diǎn)圓的對稱點(diǎn)圓C C2 2的圓心的坐標(biāo)，半徑不變，即可求出圓的方的圓心的

13、坐標(biāo)，半徑不變，即可求出圓的方程程. .（2 2）可根據(jù)圓的圓心在弦）可根據(jù)圓的圓心在弦ABAB的垂直平分線上，先由直線的垂直平分線上，先由直線l的方的方程與弦程與弦ABAB的垂直平分線的方程求其圓心的垂直平分線的方程求其圓心C C的坐標(biāo)，再求圓的半的坐標(biāo)，再求圓的半徑徑r=|AC|r=|AC|，從而求得圓的方程；也可用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的，從而求得圓的方程；也可用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，依據(jù)已知條件構(gòu)建關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，依據(jù)已知條件構(gòu)建關(guān)于a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F的的方程組求解方程組求解. .（3 3）先求過）先求過A A，B B，C C三點(diǎn)的圓的方

14、程，再驗證點(diǎn)三點(diǎn)的圓的方程，再驗證點(diǎn)D D與圓的位置與圓的位置關(guān)系即可關(guān)系即可. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.設(shè)圓設(shè)圓C C1 1圓心（圓心（-1-1，1 1）關(guān)于直線）關(guān)于直線x-y-1=0 x-y-1=0的對稱點(diǎn)為的對稱點(diǎn)為C C2 2(x(x1 1,y,y1 1),),又由對稱性知圓又由對稱性知圓C C2 2的半徑與圓的半徑與圓C C1 1的半徑相等，的半徑相等，所以所以r r2 2=1,=1,故圓故圓C C2 2的方程為的方程為(x-2)(x-2)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1.=1.1112111y11,x2,x1C2, 2 ,y2,x1y110,22

15、則有解得即（2 2）方法一：）方法一：AA（6 6，0 0），），B B（1 1，5 5），），線段線段ABAB的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為ABAB垂直平分線方程為垂直平分線方程為即即x-y-1=0.x-y-1=0.由方程組由方程組 得圓心得圓心C C的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（3 3，2 2）. .又半徑又半徑r=|AC|=r=|AC|=所求圓的方程為（所求圓的方程為（x-3x-3）2 2+ +（y-2y-2）2 2=13.=13.AB7 550k12 21 6 （ ，），57yx22，2x7y80 xy 10 ，13，方法二：設(shè)所求圓的方程為（方法二：設(shè)所求圓的方程為（x-ax-a）2 2+ +（y-

16、by-b）2 2=r=r2 2. .由已知，得由已知，得所求圓的方程為（所求圓的方程為（x-3x-3）2 2+ +（y-2y-2）2 2=13.=13.22222226a0bra3,1 a5brb2,2a7b80r13 ，（）（），解得，方法三：設(shè)所求圓的方程為方法三：設(shè)所求圓的方程為x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0（D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0），），解得：解得：D=-6,E=-4,F=0.D=-6,E=-4,F=0.所求圓的方程為所求圓的方程為x x2 2+y+y2 2-6x-4y=0-6x-4y=0，即即(x-3)(x-3)2 2+(y-

17、2)+(y-2)2 2=13.=13.答案：答案：（x-3x-3）2 2+(y-2)+(y-2)2 2=13=13366DF0,125D5EF0,DE278022 則（）（），（3 3）設(shè)經(jīng)過）設(shè)經(jīng)過A A，B B，C C三點(diǎn)的圓的方程為三點(diǎn)的圓的方程為x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0（D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0），），故經(jīng)過故經(jīng)過A A，B B，C C三點(diǎn)的圓的方程為三點(diǎn)的圓的方程為x x2 2+y+y2 2-2x-6y+5=0.-2x-6y+5=0.即（即（x-1x-1）2 2+(y-3)+(y-3)2 2=5.=5.把點(diǎn)把點(diǎn)D D的坐標(biāo)

18、（的坐標(biāo)（-1-1，2 2）代入上面方程的左邊，得（）代入上面方程的左邊，得（-1-1-1-1）2 2+ +（2-32-3）2 2=5.=5.所以點(diǎn)所以點(diǎn)D D在經(jīng)過在經(jīng)過A A，B B，C C三點(diǎn)的圓上，故三點(diǎn)的圓上，故A A，B B，C C，D D四點(diǎn)在同一個圓上四點(diǎn)在同一個圓上. .1EF0,D24 12DEF0,E6,9 163D4EF0,F5. ，則解得【互動探究【互動探究】本例題（本例題（2 2）中條件變?yōu)椋┲袟l件變?yōu)椤敖?jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A A（6 6，0 0），且），且與直線與直線l:2x-3y+13=0:2x-3y+13=0相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)B B（1 1，5 5）的圓）的圓”，結(jié)果如

19、何？，結(jié)果如何？【解析【解析】依題設(shè)可知，圓心在過切點(diǎn)依題設(shè)可知，圓心在過切點(diǎn)B B（1 1，5 5）且與）且與l垂直的直垂直的直線上，其斜率為線上，其斜率為 所以方程為所以方程為 即即3x+2y-3x+2y-13=0.13=0.又圓心在又圓心在ABAB的垂直平分線的垂直平分線x-y-1=0 x-y-1=0上，上，半徑半徑因此所求圓的方程為因此所求圓的方程為(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=13.=13.32 ，3y5x12 （），3x2y 1303 2 .xy 10 ，由得圓心，22r3 12513.【拓展提升【拓展提升】1.1.求圓的方程的兩種方法求圓的方程的兩種方

20、法（1 1）直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，）直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程進(jìn)而寫出方程. .（2 2）待定系數(shù)法：）待定系數(shù)法：若已知條件與圓心（若已知條件與圓心（a,ba,b) )和半徑和半徑r r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于依據(jù)已知條件列出關(guān)于a a，b b，r r的方程組，從而求出的方程組，從而求出a a，b b，r r的的值值; ;若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于依據(jù)已知條件列出關(guān)于D D，E E，F(xiàn)

21、 F的方程組，進(jìn)而求出的方程組，進(jìn)而求出D D，E E，F(xiàn) F的的值值. .2.2.確定圓心位置的方法確定圓心位置的方法（1 1）圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上）圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上. .（2 2）圓心在圓的任意弦的垂直平分線上）圓心在圓的任意弦的垂直平分線上. .（3 3）兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓圓心共線）兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓圓心共線. .【變式備選【變式備選】求圓心在直線求圓心在直線y=-4xy=-4x上，并且與直線上，并且與直線l:x+y-1=0:x+y-1=0相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)P P（3 3，-2-2）的圓的方程）的圓的方程. .【解析【解析】方法一：設(shè)圓心方法一：設(shè)圓心C

22、 C（a,-4aa,-4a），），由題意得：由題意得：即即a a2 2-2a+1=0-2a+1=0，解得，解得a=1a=1，圓心圓心C C（1 1，-4-4），），r=|PC|=r=|PC|=圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1x-1）2 2+(y+4)+(y+4)2 2=8.=8.a4a1222a34a2，2 2，方法二：過切點(diǎn)方法二：過切點(diǎn)P P且與且與l垂直的直線是垂直的直線是y+2=x-3y+2=x-3，即，即x-y-5=0.x-y-5=0.于是于是圓的方程為（圓的方程為（x-1x-1）2 2+ +（y+4y+4）2 2=8.=8.xy5014y4x ，由得圓心（， ），r2 2，考

23、向考向 2 2 與圓有關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的最值問題【典例【典例2 2】（1 1）（）（20132013寶雞模擬）在圓寶雞模擬）在圓x x2 2+y+y2 2-2x-6y=0-2x-6y=0內(nèi)，內(nèi)，過點(diǎn)過點(diǎn)E E（0 0，1 1）的最長弦和最短弦分別為）的最長弦和最短弦分別為ACAC和和BDBD，則四邊形，則四邊形ABCDABCD的面積為的面積為( )( )（2 2）已知實數(shù)）已知實數(shù)x x，y y滿足方程滿足方程x x2 2+y+y2 2-4x+1=0.-4x+1=0.求求 的最大值和最小值；的最大值和最小值；求求y-xy-x的最大值和最小值；的最大值和最小值；求求x x2 2+y+y2 2

24、的最大值和最小值的最大值和最小值. .A 5 2B 10 2C 15 2D 20 2（ ） （ ） （ ） （ ）yx【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）由圖形的幾何性質(zhì)判斷并求得最長弦）由圖形的幾何性質(zhì)判斷并求得最長弦ACAC和最短弦和最短弦BDBD是關(guān)鍵是關(guān)鍵. .（2 2）充分利用所求代數(shù)式的幾何意義，運(yùn)用幾何法求解）充分利用所求代數(shù)式的幾何意義，運(yùn)用幾何法求解. . 為點(diǎn)為點(diǎn)(x,y(x,y) )與原點(diǎn)連線的斜率與原點(diǎn)連線的斜率. .y-xy-x表示動直線表示動直線y=x+by=x+b在在y y軸上的截距；軸上的截距；x x2 2+y+y2 2表示點(diǎn)表示點(diǎn)(x,y(x,y) )與原點(diǎn)的距離

25、的平方，也可以消去一個與原點(diǎn)的距離的平方，也可以消去一個元，轉(zhuǎn)化為在函數(shù)定義域內(nèi)求最值元，轉(zhuǎn)化為在函數(shù)定義域內(nèi)求最值. .yx【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）選）選B.B.由題意可知，圓的圓心坐標(biāo)是（由題意可知，圓的圓心坐標(biāo)是（1 1，3 3），半徑是），半徑是 且點(diǎn)且點(diǎn)E E（0 0，1 1）位于該圓內(nèi)，）位于該圓內(nèi)，由圖形的幾何性質(zhì)得，過點(diǎn)由圖形的幾何性質(zhì)得，過點(diǎn)E E（0 0，1 1）的最短弦是以該點(diǎn)為中）的最短弦是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，點(diǎn)的弦，最短弦長最短弦長而過而過E E（0 0，1 1）的最長弦長等于該圓的直徑，即）的最長弦長等于該圓的直徑，即 且且ACBDACBD，10.22BD2

26、10122 5（），AC2 10，ABCD11SAC BD2 102 510 2.22四邊形（2 2）原方程可化為原方程可化為(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3,=3,表示以表示以(2,0)(2,0)為圓心為圓心 為為半徑的圓半徑的圓 的幾何意義為點(diǎn)的幾何意義為點(diǎn)(x,y(x,y) )與原點(diǎn)連線的斜率與原點(diǎn)連線的斜率. .所以設(shè)所以設(shè) 即即y=kxy=kx, ,當(dāng)直線與圓相切時，斜率當(dāng)直線與圓相切時，斜率k k取最大值或最取最大值或最小值，此時小值，此時 解得解得 所以所以 的最大值為的最大值為 最小值為最小值為y-xy-x可看作直線可看作直線y=x+by=x+b在在y y軸上的截距

27、軸上的截距. .當(dāng)直線與圓相切時，直當(dāng)直線與圓相切時，直線線y=x+by=x+b在在y y軸上的截距取最大值或最小值，此時軸上的截距取最大值或最小值，此時 解得解得 所以所以y-xy-x的最大值為的最大值為 最小值為最小值為3，yx，ykx ，22k03,k1k3. yx3,3.20b3,2b26. 26 ，26. 方法一：方法一：x x2 2+y+y2 2表示點(diǎn)表示點(diǎn)(x,y(x,y) )與原點(diǎn)的距離的平方與原點(diǎn)的距離的平方. .由平面幾由平面幾何知識可知，原點(diǎn)與圓心的連線所在直線與圓的兩個交點(diǎn)處取何知識可知，原點(diǎn)與圓心的連線所在直線與圓的兩個交點(diǎn)處取得最大值或最小值得最大值或最小值. .又

28、圓心到原點(diǎn)的距離為又圓心到原點(diǎn)的距離為2 2，故故(x(x2 2+y+y2 2) )maxmax= =(x(x2 2+y+y2 2) )minmin= =22374 3.22374 3.方法二：由方法二：由x x2 2+y+y2 2-4x+1=0-4x+1=0得：得：y y2 2=-x=-x2 2+4x-1,+4x-1,且且-x-x2 2+4x-10,+4x-10,即即xx2 2+y+y2 2=x=x2 2+(-x+(-x2 2+4x-1)=4x-1,+4x-1)=4x-1,(x(x2 2+y+y2 2) )maxmax= = (x(x2 2+y+y2 2) )minmin= =23x23,4

29、 23174 3. 4 23174 3. 【拓展提升【拓展提升】1.1.與圓有關(guān)的長度或距離最值問題的解法與圓有關(guān)的長度或距離最值問題的解法一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解求解. .2.2.與圓上點(diǎn)有關(guān)代數(shù)式的最值問題的常見類型及解法與圓上點(diǎn)有關(guān)代數(shù)式的最值問題的常見類型及解法（1 1）形如）形如 型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a,b(a,b）和點(diǎn)）和點(diǎn)（x,yx,y) )的直線的斜率的最值問題的直線的斜率的最值問題. .（2 2）形如）形如t=ax+byt=ax+by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為

30、動直線的截距的最型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題值問題. .(3)(3)形如形如(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問題距離平方的最值問題. .ybuxa【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】在在OABOAB中，已知中，已知O O（0 0，0 0），），A A（8 8，0 0），），B B（0 0，6 6），），OABOAB的內(nèi)切圓的方程為（的內(nèi)切圓的方程為（x-2x-2）2 2+ +（y-2y-2）2 2=4=4，P P是圓上一點(diǎn)是圓上一點(diǎn). .（1 1）求點(diǎn)）求點(diǎn)P P到直線到直線l：4x+3

31、y+11=04x+3y+11=0的距離的最大值和最小值的距離的最大值和最小值. .（2 2）若）若S=|PO|S=|PO|2 2+|PA|+|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2，求，求S S的最大值和最小值的最大值和最小值. .【解析【解析】（1 1）由方程）由方程(x-2)(x-2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4=4得該圓圓心坐標(biāo)為（得該圓圓心坐標(biāo)為（2 2，2 2），半徑為），半徑為2 2，故圓心（故圓心（2 2，2 2）到直線）到直線l的距離為的距離為由圖形的幾何性質(zhì)得，點(diǎn)由圖形的幾何性質(zhì)得，點(diǎn)P P到直線到直線l的最大值為的最大值為5+2=75+2=7，最小值，最小值為為

32、5-2=3.5-2=3.（2 2）設(shè)）設(shè)P P（x,yx,y），則（），則（y-2y-2）2 2=4-=4-（x-2x-2）2 2=-x=-x2 2+4x+4x且且-x-x2 2+4x0+4x0，即，即0 x4,0 x4,224 23 2 115.34 S=|PO|S=|PO|2 2+|PA|+|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2=x=x2 2+y+y2 2+(x-8)+(x-8)2 2+y+y2 2+x+x2 2+(y-6)+(y-6)2 2=3x=3x2 2-16x+88+3(y-2)-16x+88+3(y-2)2 2=3x=3x2 2-16x+88+3(-x-16x+88+3(-x2

33、 2+4x)+4x)=-4x+88.=-4x+88.又又xx0 0，4 4，S Smaxmax=-4=-40+88=88,S0+88=88,Sminmin=-4=-44+88=72.4+88=72.考向考向 3 3 與圓有關(guān)的軌跡問題與圓有關(guān)的軌跡問題【典例【典例3 3】（20132013安慶模擬）已知安慶模擬）已知P P（4 4，0 0）是圓）是圓x x2 2+y+y2 2=36=36內(nèi)內(nèi)的一點(diǎn)，的一點(diǎn)，A A，B B是圓上兩動點(diǎn)，且滿足是圓上兩動點(diǎn)，且滿足APB=90APB=90. .（1 1）求）求ABAB中點(diǎn)中點(diǎn)R R的軌跡的軌跡. .（2 2）求矩形）求矩形APBQAPBQ的頂點(diǎn)的頂

34、點(diǎn)Q Q的軌跡方程的軌跡方程. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）尋找到點(diǎn)）尋找到點(diǎn)R R滿足的等量關(guān)系，利用直接法求滿足的等量關(guān)系，利用直接法求出出R R的軌跡方程，再根據(jù)方程判定其軌跡的軌跡方程，再根據(jù)方程判定其軌跡. .（2 2）利用點(diǎn)）利用點(diǎn)Q Q與與R R的關(guān)系，結(jié)合相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求其軌跡的關(guān)系，結(jié)合相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求其軌跡方程方程. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）如圖所示，在）如圖所示，在RtRtABPABP中中. .APB=90APB=90，R R是弦是弦ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AR=PRAR=PR，設(shè)設(shè)R R（x,yx,y），），有有2222ARAOORAOORPR.

35、，即222236xyx4y .（）整理得整理得x x2 2+y+y2 2-4x-10=0-4x-10=0，即（，即（x-2x-2）2 2+y+y2 2=14,=14,所以軌跡為以（所以軌跡為以（2,02,0）為圓心）為圓心 為半徑的圓為半徑的圓. .（2 2）設(shè)）設(shè)Q Q（x,yx,y），），R R（x x1 1,y,y1 1）. .四邊形四邊形APBQAPBQ為矩形，為矩形，RR是是PQPQ的中點(diǎn)的中點(diǎn). .14，11x4x2y0y2，又點(diǎn)又點(diǎn)R R（x x1 1,y,y1 1）在圓）在圓x x2 2+y+y2 2-4x-10=0-4x-10=0上，上，有有整理得整理得x x2 2+y+y2

36、 2=56=56，即矩形即矩形APBQAPBQ的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)Q Q的軌跡方程為的軌跡方程為x x2 2+y+y2 2=56.=56.22x4yx44100222 （）（ ），【拓展提升【拓展提升】求與圓有關(guān)的軌跡方程的常用方法求與圓有關(guān)的軌跡方程的常用方法【提醒【提醒】注意軌跡與軌跡方程的區(qū)別注意軌跡與軌跡方程的區(qū)別. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知圓已知圓C:(x-1)C:(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=9=9，過點(diǎn)，過點(diǎn)A(2,3A(2,3）作圓）作圓C C的的任意弦，求這些弦的中點(diǎn)任意弦，求這些弦的中點(diǎn)P P的軌跡方程的軌跡方程. .【解析【解析】方法一：直接法方法一：直接法

37、設(shè)設(shè)P P（x,yx,y），由題意知圓心），由題意知圓心C C（，）（，）. .PP點(diǎn)是過點(diǎn)點(diǎn)是過點(diǎn)A A的弦的中點(diǎn)，的弦的中點(diǎn)，又又 （2-x,3-y2-x,3-y） =(1-x,1-y),=(1-x,1-y),(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0,(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0,PP點(diǎn)的軌跡方程為點(diǎn)的軌跡方程為PAPC . PA ,PC2235xy2.24（）方法二：定義法方法二：定義法由已知得，由已知得，PAPC,PAPC,由圓的性質(zhì)知點(diǎn)由圓的性質(zhì)知點(diǎn)P P在以在以ACAC為直徑的圓上，為直徑的圓上，又圓心又圓心C C（1 1，1 1），而），而ACAC中點(diǎn)為中

38、點(diǎn)為 所以半徑為所以半徑為所求動點(diǎn)所求動點(diǎn)P P的軌跡方程為的軌跡方程為3,2 ,2（）22AC2 13 15，5.22235xy2.24（）【滿分指導(dǎo)【滿分指導(dǎo)】解答與圓的方程有關(guān)的綜合題解答與圓的方程有關(guān)的綜合題【典例【典例】（1212分）（分）（20132013萍鄉(xiāng)模擬）已知以點(diǎn)萍鄉(xiāng)模擬）已知以點(diǎn)C C（ ）（tRtR，t0t0）為圓心的圓與）為圓心的圓與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)O O，A A，與，與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)O O，B B，其中，其中O O為原點(diǎn)為原點(diǎn). .（1 1）求證：）求證：OABOAB的面積為定值的面積為定值. .（2 2）設(shè)直線）設(shè)直線y=-2x+4y=-2x+4與

39、圓與圓C C交于點(diǎn)交于點(diǎn)M M，N N，若，若|OM|=|ON|OM|=|ON|，求圓，求圓C C的方程的方程. .2t,t【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】已知條件已知條件條件分析條件分析圓圓C C過原點(diǎn)過原點(diǎn)O O圓圓C C與與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A A令令y=0y=0，得，得|OA|OA|圓圓C C與與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)B B令令x=0 x=0，得，得|OB|OB|OM|=|ON|OM|=|ON|得得OCOC垂直平分線段垂直平分線段MNMN2224OCtt【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）圓圓C C過原點(diǎn)過原點(diǎn)O O，設(shè)圓設(shè)圓C C的方程是的方程是2 2分分令令x=0 x=0，得，得y y1 1

40、=0, =0, 3 3分分令令y=0y=0，得，得x x1 1=0,x=0,x2 2=2t=2t，|OA|=|2t|OA|=|2t|，4 4分分S SOABOAB= = 即即OABOAB的面積為定值的面積為定值. .6 6分分2224OCt.t222224xtyttt（）（），244yOBtt，；114OAOB2t422t ，（2 2）|OM|=|ON|OM|=|ON|，|CM|=|CN|CM|=|CN|，OCOC垂直平分線段垂直平分線段MN.MN.8 8分分k kMNMN=-2=-2，直線直線OCOC的方程是的方程是 解得解得t=2t=2或或t=-2.t=-2.9 9分分當(dāng)當(dāng)t=2t=2時時

41、，圓心，圓心C C的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（2 2，1 1），）， 此時此時C C到直線到直線y=-2x+4y=-2x+4的距離的距離 圓圓C C與直線與直線y=-2x+4y=-2x+4相交于兩點(diǎn)相交于兩點(diǎn). .1010分分OC1k.21yx.221tt2，OC5，1d55，當(dāng)當(dāng)t=-2t=-2時時，圓心，圓心C C的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-2-2，-1-1），）， 此時此時C C到直到直線線y=-2x+4y=-2x+4的距離的距離圓圓C C與直線與直線y=-2x+4y=-2x+4不相交，不相交，t=-2t=-2不符合題意，舍去不符合題意，舍去. .1111分分圓圓C C的方程為（的方程為（x-2x-2

42、）2 2+ +（y-1y-1）2 2=5.=5.1212分分OC5，9d5.5【失分警示【失分警示】（下文（下文見規(guī)范解答過程）見規(guī)范解答過程）1.1.（20132013宜春模擬）已知圓的方程為宜春模擬）已知圓的方程為x x2 2+y+y2 2-2x+6y+8=0-2x+6y+8=0，那么，那么下列直線中經(jīng)過圓心的直線方程為下列直線中經(jīng)過圓心的直線方程為( )( )（A A）2x-y+1=0 2x-y+1=0 （B B）2x+y+1=02x+y+1=0（C C）2x-y-1=0 2x-y-1=0 （D D）2x+y-1=02x+y-1=0【解析【解析】選選B.B.圓的方程圓的方程x x2 2+

43、y+y2 2-2x+6y+8=0-2x+6y+8=0可化為可化為(x-1)(x-1)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=2,=2,得其圓心為得其圓心為(1,-3)(1,-3)，經(jīng)檢驗知，經(jīng)檢驗知，B B符合要求符合要求. .2.2.（20132013合肥模擬）圓心在合肥模擬）圓心在y y軸上，半徑為軸上，半徑為1 1，且過點(diǎn)（，且過點(diǎn)（1 1，2 2）的圓的方程為）的圓的方程為( )( )（A A）x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1 =1 （B B）x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1（C C）(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1 =1 （D

44、 D）x x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1【解析【解析】選選A.A.設(shè)圓心坐標(biāo)為（設(shè)圓心坐標(biāo)為（0,b0,b），則由題意知），則由題意知 解得解得b=2b=2，故圓的方程為，故圓的方程為x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1.=1.220 1b21 ，3.3.（20132013銅川模擬）已知兩定點(diǎn)銅川模擬）已知兩定點(diǎn)A A（-2-2，0 0），），B B（1 1，0 0），），如果動點(diǎn)如果動點(diǎn)P P滿足滿足|PA|=2|PB|PA|=2|PB|，則點(diǎn)，則點(diǎn)P P的軌跡所包圍的圖形的面積的軌跡所包圍的圖形的面積等于等于( )( )（A A） （B B）4 4 （C C）8

45、8 （D D）99【解析【解析】選選B.B.設(shè)設(shè)P P（x,yx,y），由題知：（），由題知：（x+2x+2）2 2+y+y2 2=4=4（x-x-1 1）2 2+y+y2 2，整理得，整理得x x2 2-4x+y-4x+y2 2=0=0，配方得，配方得(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4.=4.可知圓的可知圓的面積為面積為4.4.4.4.（20132013九江模擬）直線九江模擬）直線x-2y-2k=0 x-2y-2k=0與與2x-3y-k=02x-3y-k=0的交點(diǎn)在圓的交點(diǎn)在圓x x2 2+y+y2 2=9=9的外部，則的外部，則k k的范圍是的范圍是_._.【解析【解析】又交點(diǎn)在

46、圓又交點(diǎn)在圓x x2 2+y+y2 2=9=9的外部，的外部，（-4k-4k）2 2+ +（-3k-3k）2 29 9，即，即25k25k2 29.9.解得解得答案：答案：x2y2k0,x4k2x3yk0y3k. ，由得，33kk.55 或 3355 （，）（ ，）5.(20135.(2013西安模擬西安模擬) )點(diǎn)點(diǎn)P P（1 1，2 2）和圓）和圓C C：x x2 2+y+y2 2+2kx+2y+k+2kx+2y+k2 2=0=0上上的點(diǎn)的距離的最小值是的點(diǎn)的距離的最小值是_._.【解析【解析】由圓由圓C C：x x2 2+y+y2 2+2kx+2y+k+2kx+2y+k2 2=0=0得：

47、（得：（x+kx+k）2 2+ +（y+1y+1）2 2=1.=1.圓心坐標(biāo)為圓心坐標(biāo)為C C（-k,-1-k,-1），），當(dāng)當(dāng)k=-1k=-1時，時，由圖形幾何性質(zhì)得點(diǎn)由圖形幾何性質(zhì)得點(diǎn)P P（1 1，2 2）和圓上的點(diǎn)的距離的最小值為）和圓上的點(diǎn)的距離的最小值為3-1=2.3-1=2.答案：答案：2 2222PCk12 1k19.min|PC|93.1.1.方程方程 所表示的曲線圖形是所表示的曲線圖形是( )( )22x1 lg xy10 （ ）【解析【解析】選選D.D.由已知得由已知得 （y0)y0)或或lg(xlg(x2 2+y+y2 2- -1)=0(x1)1)=0(x1)，即即x=

48、1x=1（y0)y0)或或x x2 2+y+y2 2=2=2（x1x1），），綜合圖形知選綜合圖形知選D.D.x10 2.2.若圓（若圓（x-3x-3）2 2+ +（y+5y+5）2 2=r=r2 2上有且只有兩個點(diǎn)到直線上有且只有兩個點(diǎn)到直線4x-3y-4x-3y-2=02=0的距離等于的距離等于1 1，則半徑，則半徑r r的取值范圍是的取值范圍是( )( )（A A）（）（4 4，6 6） （B B）4 4，6 6）（C C）（）（4 4，6 6 （D D）4 4，6 6【解析【解析】選選A.A.因為圓心（因為圓心（3 3，-5-5）到直線）到直線4x-3y-2=04x-3y-2=0的距離為的距離為5 5，所以當(dāng)半徑所以當(dāng)半徑r=4r=4時，圓上有時，圓上有1 1個點(diǎn)到直線個點(diǎn)到直線4x-3y-2=04x-3y-2=0的距離等于的距離等于1 1，當(dāng)半徑當(dāng)半徑r=6r=6時，圓上有時，圓上有3 3個點(diǎn)到直線個點(diǎn)到直線4x-3y-2=04x-3y-2=0的距離等于的距離等于1 1，所，所以圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線以圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線4x-3y-2=04x-3y-2=0的距離等于的距離等于1 1時，時，4 4r r6.6.