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1、
第4講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
【基礎(chǔ)知識精講】
1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理):
設(shè)是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根,則,
2.設(shè)是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根,
則:時,有
時,有
時,有
3.以兩個數(shù)為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是:
【例題巧解點撥】
1.探索韋達定理
例1:一元二次方程的兩根為_______________,
求,的值。
2.已知一個根,求另一個根.
例2:已知2+是x2-4x+k=0的一根,求另一根和k的值。
3
2、.求根的代數(shù)式的值
例3:設(shè)x1,x2是方程x2-3x+1=0的兩個根,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求下列各式的值:
(1) x13x24+x14x23;
4.求作新的二次方程
例4:1.以2,-3為根的一元二次方程是_________________________.
2.已知方程2x2-3x-3=0的兩個根分別為a,b,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求一個一元二次方程 ,使它的兩個根分別是:a+1、b+1
5.由已知兩根和與積的值或式子,求字母的值。
例5:
3、1、已知方程3x2+x-1=0,要使方程兩根的平方和為,那么常數(shù)項應(yīng)改為 。
2、α、β是關(guān)于x的方程4x2-4mx+m2+4m=0的兩個實根,并且滿足,求m的值。
【同步達綱練習】
A組
1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根是x1、x2,那么x1+x2= ,x1x2= 。
2、已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的兩個根,那么:x1+x2= ;x1x2= ; ;x21+x22= ;(x1+1)(x2+1)=
4、 ;|x1-x2|= 。
3、以2和3為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是 _________________ 。
4、關(guān)于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0,當m= 時,兩根互為倒數(shù);當m= 時,兩根互為相反數(shù).
5、若x1 =是二次方程x2+ax+1=0的一個根,則a= ,該方程的另一個根x2 = _____.
6、方程的一個根為另一個根的2倍,則m= .
7、已知方程的兩根平方和是5,則= .
8、已知方程的兩個根分別是
5、 .
9、已知關(guān)于x的方程x2-3mx+2(m-1)=0的兩根為x1、x2,且,則m= 。
10、求作一個方程,使它的兩根分別是方程x2+3x-2=0兩根的二倍。
11、如果關(guān)于x的方程x2+6x+k=0的兩根差為2,求k的值。
B組
1、設(shè)是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根,那么是否存在實數(shù)k,使得成立?請說明理由。
2、已知設(shè)是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根,且 ,(1)求,及a的值;(2)求的值。
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第一部分:
1.已知方程的兩個解分別為、,則的值
6、為( )
A. B. C.7 D.3
2.若是一元二次方程的兩個根,則的值是( )
A. B. C. D.
3.設(shè)是方程的兩個實數(shù)根,則的值為( )
A.2006 B.2007 C.2008 D.2009
4.關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是,且,則的值是( )
A.1 B.12 C.13 D.25
第二部分:
5.已知x1、x2為方程x2+3x+1=0的兩實根,則x13+8x2+20=__________.
6.閱讀材料:設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1,x2,則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系:x1+x2=-,x1x2=.根據(jù)該材料填空:已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的兩實數(shù)根,則+的值為 .
第三部分:
7.已知關(guān)于x的方程(a-1)x2-(2a-3)x+a=0有實數(shù)根.
(1)求a的取值范圍;
(2)設(shè)x1,x2是方程(a-1)x2-(2a-3)x+a=0的兩個根,且x12+x22=9,求a的值.