2010高考數(shù)學導學練系列 導數(shù)及其應用教案 蘇教版

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1、導數(shù)及其應用 考綱導讀 1．了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義；理解導函數(shù)的概念. 2. 熟記八個基本導數(shù)公式(c,(m為有理數(shù))， 的導數(shù))；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則，了解復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù). 3．理解可導函數(shù)的單調性與其導數(shù)的關系；了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(導數(shù)在極值點兩側異號)；會求一些實際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值． 知識網(wǎng)絡 高考導航 導數(shù)的應用價值極高，主要涉及函數(shù)單調性、極大（?。┲担约白畲?/p>

2、（?。┲档龋龅接嘘P問題要能自覺地運用導數(shù). 第1課時 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 基礎過關 1．導數(shù)的概念：函數(shù)y＝的導數(shù)，就是當Δ0時，函數(shù)的增量Δy與自變量的增量Δ的比的 ，即＝ ＝ ． 2．導函數(shù)：函數(shù)y＝在區(qū)間(a, b)內 的導數(shù)都存在，就說在區(qū)間( a, b )內 ，其導數(shù)也是(a ,b )內的函數(shù)，叫做的 ，記作或，函數(shù)的導函數(shù)在時的函數(shù)值 ，就是在處的導數(shù). 3．導數(shù)的幾何意義：設函數(shù)y＝在點處可導，那么它在該點的導數(shù)等于函數(shù)所表示曲線在相應點處的

3、 . 4．求導數(shù)的方法 (1) 八個基本求導公式 ＝ ； ＝ ；(n∈Q) ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ (2) 導數(shù)的四則運算 ＝ ＝ ＝ ，＝ (3) 復合函數(shù)的導數(shù) 設在點x處可導，在點處可導，則復合函數(shù)在點x處可導， 且＝ ，即. 典型例題 例1．求函數(shù)y=在x0到x0+Δx之間的平均變

4、化率. 解 ∵Δy= 變式訓練1. 求y=在x=x0處的導數(shù). 解 例2. 求下列各函數(shù)的導數(shù)： （1） （2） （3） （4） 解 (1)∵ ∴y′ （2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11. 方法二 = =（x+3）+（x+1）（x+2） =（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11. （3）∵y= ∴ （4） ， ∴ 變式訓練2：求y=tanx

5、的導數(shù). 解 y′ 例3. 已知曲線y= （1）求曲線在x=2處的切線方程； （2）求曲線過點（2，4）的切線方程. 解 （1）∵y′=x2,∴在點P（2，4）處的切線的斜率k=|x=2=4.  ∴曲線在點P（2，4）處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）設曲線y=與過點P（2，4）的切線相切于點， 則切線的斜率k=|=. ∴切線方程為即 ∵點P（2，4）在切線上，∴4= 即∴ ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0. 變式訓練3

6、：若直線y=kx與曲線y=x3-3x2+2x相切，則k= . 答案 2或 例4. 設函數(shù) (a,b∈Z)，曲線在點處的切線方程為y=3. （1）求的解析式； （2）證明：曲線上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值. （1）解 ， 于是解得或 因為a,bZ，故 （2）證明 在曲線上任取一點． 由知，過此點的切線方程為 ． 令x=1，得，切線與直線x=1交點為． 令y=x，得，切線與直線y=x的交點為． 直線x=1與直線y=x的交點為(1,1)． 從而所圍三角形的面積為． 所以，所圍三角形的面積為定值2.

7、 變式訓練4：偶函數(shù)f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點P（0，1），且在x=1處的切線方程為y=x-2，求y=f（x）的解析式. 解 ∵f（x）的圖象過點P（0，1），∴e=1. ① 又∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）. 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴b=0，d=0. ② ∴f（x）=ax4+cx2+1. ∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y=x-2，∴可得切點為（1，-1）. ∴a+c+1=-1. ③

8、 ∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1. ④ 由③④得a=，c=.∴函數(shù)y=f（x）的解析式為 小結歸納 1．理解平均變化率的實際意義和數(shù)學意義。 2．要熟記求導公式，對于復合函數(shù)的導數(shù)要層層求導. 3．搞清導數(shù)的幾何意義，為解決實際問題，如切線、加速度等問題打下理論基礎. 第2課時 導數(shù)的概念及性質 基礎過關 1． 函數(shù)的單調性 ⑴ 函數(shù)y＝在某個區(qū)間內可導，若＞0，則為 ；若＜0，則為 .（逆命題不成立） (2) 如果在某個區(qū)間內恒有，則 . 注：連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間

9、和與之相應的閉區(qū)間上的單調性是一致的. (3) 求可導函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟和方法： ① 確定函數(shù)的 ； ② 求，令 ，解此方程，求出它在定義區(qū)間內的一切實根； ③ 把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和上面的各個實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間； ④ 確定在各小開區(qū)間內的 ，根據(jù)的符號判定函數(shù)在各個相應小開區(qū)間內的增減性. 2．可導函數(shù)的極值 ⑴ 極值的概念 設函數(shù)在點附近有定義，且對附近的所有點都有 （或 ），則稱為函數(shù)的一個極大（小）值．稱為極大（?。┲迭c.

10、 ⑵ 求可導函數(shù)極值的步驟： ① 求導數(shù)； ② 求方程＝0的 ； ③ 檢驗在方程＝0的根左右的符號，如果在根的左側附近為正，右側附近為負，那么函數(shù)y＝在這個根處取得 ；如果在根的左側附近為負，右側為正，那么函數(shù)y＝在這個根處取得 . 3．函數(shù)的最大值與最小值： ⑴ 設y＝是定義在區(qū)間[a ,b ]上的函數(shù)，y＝在(a ,b )內有導數(shù)，則函數(shù)y＝在[a ,b ]上 有最大值與最小值；但在開區(qū)間內 有最大值與最小值． (2) 求最值可分兩步進行： ① 求y＝在(a ,b )內的 值； ② 將y＝的各

11、 值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值. (3) 若函數(shù)y＝在[a ,b ]上單調遞增，則為函數(shù)的 ，為函數(shù)的 ；若函數(shù)y＝在[a ,b ]上單調遞減，則為函數(shù)的 ，為函數(shù)的 . 典型例題 例1. 已知f(x)=ex-ax-1. （1）求f(x)的單調增區(qū)間； （2）若f(x）在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上單調遞減，在［0，+∞）上單調遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由. 解：=ex-a. （1）若a≤0，=ex-a≥0恒

12、成立，即f(x)在R上遞增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的單調遞增區(qū)間為(lna,+∞). （2）∵f（x）在R內單調遞增，∴≥0在R上恒成立. ∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立. ∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0. （3）方法一 由題意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上為增函數(shù). ∴x=0時，ex最大為1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1. 方法二 由題意知，x=

13、0為f(x)的極小值點.∴=0,即e0-a=0,∴a=1. 變式訓練1. 已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1. （1）若f(x)在實數(shù)集R上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍； （2）是否存在實數(shù)a,使f(x)在（-1，1）上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由； （3）證明：f(x)=x3-ax-1的圖象不可能總在直線y=a的上方. （1）解 由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是單調增函數(shù)， ∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2對x∈R恒成立. ∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0時，=3x2≥0, 故f(x)=x3

14、-1在R上是增函數(shù)，則a≤0. （2）解 由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ∵-1

15、c的值； （2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b, 當x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0 ① 當x=時，y=f(x)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0 ② 由①②解得a=2,b=-4.由于切點的橫坐標為x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5. （2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4, 令=0,得x=-2,x=.

16、 當x變化時，y,y′的取值及變化如下表： x -3 (-3,-2) -2 1 y′ + 0 - 0 + y 8 單調遞增 ↗ 13 單調遞減 ↘ 單調遞增 ↗ 4 ∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值為13，最小值為 變式訓練2. 函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值. 解 先求導數(shù),得y′=4x3-4x,令y′=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1. 導數(shù)y′的正負以及f(-2),f(2)如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0

17、 (0,1) 1 (1,2) 2 y′ - 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 從上表知,當x=2時,函數(shù)有最大值13,當x=1時,函數(shù)有最小值4. 例3. 已知函數(shù)f(x)=x2e-ax (a＞0),求函數(shù)在［1，2］上的最大值. 解 ∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴=2xe-ax+x2（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 令>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得02時,f(x）

18、在（1，2）上是減函數(shù), ∴f（x）max=f（1）=e-a. ②當1≤≤2,即1≤a≤2時， f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， ∴f(x)max=f=4a-2e-2. ③當>2時，即02時，f(x)的最大值為e-a. 變式訓練3. 設函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R. （1）當a=1時，求曲線y=f(x)在點（2

19、，f(2))處的切線方程； （2）當a≠0時，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值. 解：（1）當a=1時，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x, f(2)=-2,=-3x2+4x-1, -12+8-1=-5, ∴當a=1時，曲線y=f(x)在點（2,f(2))處的切線方程為 5x+y-8=0. （2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x, =-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a), 令=0,解得x=或x=a. 由于a≠0，以下分兩種情況討論. ①若a>0，當x變化時，的正負如下表： x (-∞,) (,a)

20、 a (a,+∞) - 0 + 0 - f(x) ↘ ↗ 0 ↘ 因此，函數(shù)f(x)在x=處取得極小值f（）， 且f（）=- 函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值f(a),且f(a)=0. ②若a<0，當x變化時，的正負如下表： x (-∞,a) a (a,) (,+∞) - 0 + 0 - f(x) ↘ 0 ↗ - ↘ 因此，函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值f(a),且f(a)=0； 函數(shù)f(x)在x=處取得極大值f（）, 且f（）=-. 例4. 某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為

21、3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3≤a≤5）的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為x元（9≤x≤11）時，一年的銷售量為(12-x)2萬件.（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關系式； （2）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）. 解 （1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關系式為：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］. (2) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x). 令=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）. ∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.

22、 在x=6+a兩側L′的值由正變負. 所以①當8≤6+a＜9即3≤a＜時，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②當9≤6+a≤，即≤a≤5時， Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3. 所以 答 若3≤a＜，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（萬元）；若≤a≤5，則當每件售價為(6+a)元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)= (萬元). 變式訓練4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3 700x+45x2-10x3（單位：

23、萬元），成本函數(shù)為C(x)=460x+5 000（單位：萬元），又在經(jīng)濟學中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x). （1）求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；（提示：利潤=產(chǎn)值-成本） （2）問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？ （3）求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調遞減區(qū)間，并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么？ 解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*，且1≤x≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且1≤x

24、≤19). （2）=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴=0時,x=12， ∴當00,當x>12時，<0, ∴x=12時，P(x)有最大值. 即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大. （3）MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以，當x≥1時，MP(x)單調遞減， 所以單調減區(qū)間為［1，19］，且x∈N*. MP(x)是減函數(shù)的實際意義是：隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤與前一艘比較，利潤在減少. 小結歸納 研究可導函數(shù)的單調性、極值（最值）時，應

25、先求出函數(shù)的導函數(shù)，再找出＝0的x取值或>0(<0)的x的取值范圍． 導數(shù)及其應用單元檢測題 一、選擇題 1.曲線y=ex在點（2，e2）處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（ ） A.e2 B.2e2 C.e2 D. 2.如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，那么導函數(shù)y=的圖象可能是 ( ) 3.設f(x)=x2(2-x),則f(x)的單調增區(qū)間是 （ ） A.(0, B.(+∞

26、) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(,+∞） 4.設a∈R,若函數(shù)y=ex+ax,x∈R有大于零的極值點，則 ( ) A.a<-1 B.a>-1 C.a<- D.a>- 5.已知函數(shù)y=f(x)=x3+px2+qx的圖象與x軸切于非原點的一點，且y極小值=-4，那么p、q的值分別為 （ ） A.6,9 B.9,6 C.4,2 D.8,6 6.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,則x2y的最大值為 （

27、 ） A.36 B.18 C.25 D.42 7.下列關于函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex的判斷正確的是 （ ） ①f(x)>0的解集是{x|0

28、f(3)-f(2) ＜ C.0＜f(3)＜＜f(3)-f(2) D.0＜f(3)-f(2)＜＜ 9.若函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在（0，2）內單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍為 （ ） A.a≥3 B.a=3  C.a≤3 D.0

29、D.以上都不正確 11.使函數(shù)f(x)=x+2cosx在［0，］上取最大值的x為 （ ） A.0 B. C. D. 12.若函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）內有極小值，則 （ ） A.00  D.b< 二、填空題 13.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1沒有極值，則a的取值范圍為 . 14.如圖是y=f(x)導數(shù)的圖象，對于下列四個判斷： ①

30、f(x）在［-2，-1］上是增函數(shù)； ②x=-1是f(x)的極小值點； ③f(x)在［-1，2］上是增函數(shù)，在［2，4］上是減函數(shù)； ④x=3是f(x)的極小值點. 其中判斷正確的是 . 15.函數(shù)f(x)的導函數(shù)y=的圖象如右圖，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為 . 16.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為,且滿足f(x)=3x2+2x,則= . 三、解答題 17.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+c. (1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，求b的取值范圍; (2)若f(x)在x=1處取得極值，且x∈［-1,2］時

31、，f(x)

32、(x)在區(qū)間［-3，3］上的單調性. 21.如圖所示，P是拋物線C：y=x2上一點，直線l過點P并與拋物線 C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q，當點P在拋物線C上移動時， 求線段PQ的中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離.  22.已知某質點的運動方程為s(t)=t3+bt2+ct+d，下圖是其運動軌跡的一部分，若t∈［，4］時，s(t)<3d2恒成立，求d的取值范圍. 導數(shù)及其應用單元檢測題答案 一、選擇題 1.答案D 2．答案A 3.答案 A 4.答案A

33、 5.答案A 6.答案A 7.答案 D 8.答案B 9.答案A 10.答案B 11.答案B 12.答案A 二、填空題 13.答案 ［-1，2］ 14.答案 ②③ 15.答案 ［-1，0］和［2，+∞） 16.答案 6 三、解答題 17.解 （1）=3x2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，則≥0.即3x2-x+b≥0, ∴b≥x-3x2在（-∞，+∞）恒成立.設g(x)=x-3x2. 當x=時，g(x)max=,∴b≥. (2)由題意知=0，即3-1+b=0，∴b=-2.

34、x∈［-1,2］時，f(x)2或c<-1，所以c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）. 18.解 命題p:由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a, ∴=3x2-2ax-4,y′的圖象為開口向上且過點（0，-4）的拋物線. 由條件得≥0且≥0, 即∴-2≤a≤2. 命題q: ∵該不等式的解集為R，∴a<-1. 當p正確q不正確時,-1≤a≤

35、2; 當p不正確q正確時，a<-2. ∴a的取值范圍是（-∞，-2）∪［-1，2］. 19.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax ∴=3x2-2(a+1)x+a 要使函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函數(shù)，只需=3x2-2(a+1)x+a在（2，+∞）上滿足≥0即可. ∵=3x2-2(a+1)x+a的對稱軸是x=, ∴a的取值應滿足：或 解得:a≤.∴a的取值范圍是a≤. 20.解 （1）∵函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù), ∴F(-x)=-F(x)，化簡計算得b=3. ∵函數(shù)f(x)在x=-1處

36、取極值，∴=0. f(x)=-2x3+3x2+cx, =-6x2+6x+c ∴=-6-6+c=0,c=12. ∴f(x)=-2x3+3x2+12x, （2）=-6x2+6x+12=-6(x2-x-2). 令=0,得x1=-1,x2=2, x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 （2，3） 3 - 0 + 0 - f(x) 45 ↘ -7 ↗ 20 ↘ 9 ∴函數(shù)f(x)在［-3，-1］和［2，3］上是減函數(shù)， 函數(shù)f(x)在［-1，2］上是增函數(shù). 21. 解 設P（x0，y0），則y0=, ∴過

37、點P的切線斜率k=x0, 當x0=0時不合題意，∴x0≠0. ∴直線l的斜率kl=-, ∴直線l的方程為y-. 此式與y=聯(lián)立消去y得 x2+ 設Q（x1,y1）,M(x,y).∵M是PQ的中點， ∴ 消去x0，得y=x2++1 (x≠0)就是所求的軌跡方程.由x≠0知x2>0, ∴y=x2++1≥2 上式等號僅當x2=,即x=時成立， 所以點M到x軸的最短距離是+1. 22. 解 =3t2+2bt+c. 由圖象可知，s(t)在t=1和t=3處取得極值. 則=0, =0. 即解得 ∴=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3). 當t∈［，1）時，>0. 當t∈(1,3)時，<0. 當t∈(3,4)時，>0. 則當t=1時，s(t)取得極大值為4+d. 又s(4)=4+d， 故t∈［，4］時，s(t)的最大值為4+d. 已知s(t)<3d2在［，4］上恒成立， ∴s(t)max<3d2.即4+d<3d2. 解得d>或d<-1.∴d的取值范圍是{d|d>或d<-1}