2010高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 圓錐曲線教案 蘇教版

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1、圓錐曲線與方程 考綱導(dǎo)讀 1．掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)、了解橢圓的參數(shù)方程． 2．掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)． 3．掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)． 4．了解圓錐曲線的初步應(yīng)用． 知識網(wǎng)絡(luò) 圓錐曲線 橢圓定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì) 雙曲線定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì) 拋物線定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì) 第二定義 第二定義 統(tǒng)一定義 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 橢圓 雙曲線 拋物線 a、b、c三者 間的關(guān)系 高考導(dǎo)航 圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的一個重

2、要內(nèi)容，它的基本特點是數(shù)形兼?zhèn)洌嫒莶?，可與代數(shù)、三角、幾何知識相溝通，歷來是高考的重點內(nèi)容?？v觀近幾年高考試題中對圓錐曲線的考查，基本上是兩個客觀題，一個主觀題，分值21分~24分，占15%左右，并且主要體現(xiàn)出以下幾個特點： 1．圓錐曲線的基本問題，主要考查以下內(nèi)容： ①圓錐曲線的兩種定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及a、b、c、e、p五個參數(shù)的求解． ②圓錐曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用． 2、求動點軌跡方程或軌跡圖形在高考中出現(xiàn)的頻率較高，此類問題的解決需掌握四種基本方法：直譯法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法． 3．有關(guān)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，是高考的重?zé)狳c問題，這類問題常涉及圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本

3、知識以及線段中點、弦長等，分析這類問題時，往往要利用數(shù)形結(jié)合思想和“設(shè)而不求”的方法、對稱的方法及韋達(dá)定理，多以解答題的形式出現(xiàn)． 4．求與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)或參數(shù)范圍問題，是高考命題的一大熱點，這類問題綜合性較大，運算技巧要求較高；尤其是與平面向量、平面幾何、函數(shù)、不等式的綜合，特別近年出現(xiàn)的解析幾何與平面向量結(jié)合的問題，是?？汲Ｐ碌脑囶}，將是今后高考命題的一個趨勢． 第1課時 橢圓 基礎(chǔ)過關(guān) 1．橢圓的兩種定義 (1) 平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡叫橢圓，這兩個定點叫做橢圓的 ， 之間的距離叫做焦距．

4、 注：①當(dāng)2a＝|F1F2|時，P點的軌跡是 ． ②當(dāng)2a＜|F1F2|時，P點的軌跡不存在． (2) 橢圓的第二定義：到 的距離與到 的距離之比是常數(shù)，且 的點的軌跡叫橢圓．定點F是橢圓的 ，定直線l是 ，常數(shù)e是 ． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) 焦點在軸上，中心在原點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是：，其中( > >0，且 ) (2) 焦點在軸上，中心在原點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，其中a，b滿足： ． （3）

5、焦點在哪個軸上如何判斷？ 3．橢圓的幾何性質(zhì)(對,a > b >0進(jìn)行討論) (1) 范圍： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 對稱性：對稱軸方程為 ；對稱中心為 ． (3) 頂點坐標(biāo)： ，焦點坐標(biāo)： ，長半軸長： ，短半軸長： ；準(zhǔn)線方程： ． (4) 離心率： ( 與 的比)， ，越接近1，橢圓越 ；越接近0，橢圓越接近于

6、 ． (5) 焦半徑公式：設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，則 ，= 。 4．焦點三角形應(yīng)注意以下關(guān)系（老師補充畫出圖形）： (1) 定義：r1＋r2＝2a (2) 余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2 (3) 面積：＝r1r2 sin＝·2c| y0 |(其中P()為橢圓上一點，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝) 典型例題 變式訓(xùn)練2：已知P（x0,y0）是橢圓（a＞b＞0）上的任意一點，F(xiàn)1、F2是焦點，求證：以PF2為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切. 證明 設(shè)以PF2為直徑

7、的圓心為A，半徑為r. ∵F1、F2為焦點，所以由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r ∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）連結(jié)OA，由三角形中位線定理，知 |OA|= 故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切. 評注 運用橢圓的定義結(jié)合三角形中位線定理，使題目得證。 例3. 如圖，橢圓的中心在原點，其左焦點與拋物線的焦點重合，過的直線與橢圓交于A、B兩點，與拋物線交于C、D兩點．當(dāng)直線與x軸垂直時，． （1）求橢圓的方程； （2）求過點O、，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程； （3）求的最大值和最小值． 解：（1）由拋物線方程，

8、得焦點． 設(shè)橢圓的方程：． 解方程組 得C（-1，2），D（1，-2）． 由于拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對稱， ∴，， ∴ ． …………2分 ∴又， 因此，，解得并推得． 故橢圓的方程為 ． …………4分 （2）， 圓過點O、， 圓心M在直線上． 設(shè)則圓半徑，由于圓與橢圓的左準(zhǔn)線相切， ∴ 由得解得 所求圓的方程為…………………………8分 （3） 由 ①若垂直于軸，則， ， …………………………………………9分 ②若與軸不垂直，設(shè)直線的斜率為，則直線

9、的方程為 由 得 ，方程有兩個不等的實數(shù)根． 設(shè)，. , ………………………………11分 = ，所以當(dāng)直線垂于軸時，取得最大值 當(dāng)直線與軸重合時，取得最小值 變式訓(xùn)練3：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(-1, 0)、B(1, 0), 動點C滿足條件：△ABC的周長為2＋2.記動點C的軌跡為曲線W. (1)求W的方程； (2)經(jīng)過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q， 求k的取值范圍； （3）已知點M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下

10、，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由. 解：(Ⅰ) 設(shè)C（x, y）, ∵ , , ∴ , ∴ 由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個交點. ∴ . ∴ . ∴ W: . … (2) 設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，得. 整理，得. ① 因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于 ，解得或. ∴ 滿足條件的k的取值范圍為 （3）設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則＝（x1+x2，y1+y2), 由①得. ② 又

11、 ③ 因為，， 所以.……… 所以與共線等價于. 將②③代入上式，解得. 所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線. 例4. 已知橢圓W的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點為，過左準(zhǔn)線與軸的交點任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點、，點關(guān)于軸的對稱點為. （1）求橢圓W的方程； （2）求證： ()； （3）求面積的最大值. 解：（1）設(shè)橢圓W的方程為，由題意可知 解得，，， 所以橢圓W的方程為．……………………………………………4分 （2）解法1：因為左準(zhǔn)線方程

12、為，所以點坐標(biāo)為.于是可設(shè)直線 的方程為． 得. 由直線與橢圓W交于、兩點，可知 ，解得． 設(shè)點，的坐標(biāo)分別為，, 則，，，． 因為，， 所以，. 又因為 ， 所以． ……………………………………………………………10分 解法2：因為左準(zhǔn)線方程為，所以點坐標(biāo)為. 于是可設(shè)直線的方程為，點，的坐標(biāo)分別為，, 則點的坐標(biāo)為，，． 由橢圓的第二定義可得 , 所以，，三點共線，即．…………………………………10分 (3)由題意知 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立， 所以面積的最大值為． 變式訓(xùn)練4：設(shè)、分別是橢圓的

13、左、右焦點. （1）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值； （2）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由. 解：（1）易知 設(shè)P（x，y），則 ， ，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值3； 當(dāng)，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值4 （2）假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設(shè)為k 直線l的方程為 由方程組 依題意 當(dāng)時，設(shè)交點C，CD的中點為R， 則 又|F2C|=|

14、F2D| ∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直線，使得|F2C|=|F2D| 綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2D| 小結(jié)歸納 1．在解題中要充分利用橢圓的兩種定義，靈活處理焦半徑，熟悉和掌握a、b、c、e關(guān)系及幾何意義，能夠減少運算量，提高解題速度，達(dá)到事半功倍之效． 2．由給定條件求橢圓方程，常用待定系數(shù)法．步驟是：定型——確定曲線形狀；定位——確定焦點位置；定量——由條件求a、b、c，當(dāng)焦點位置不明確時，方程可能有兩種形式，要防止遺漏． 3．解與橢圓的焦半徑、焦點弦有關(guān)的問題時，一般要從橢圓的定義入手考慮；橢

15、圓的焦半徑的取值范圍是． 4．“設(shè)而不求”，“點差法”等方法，是簡化解題過程的常用技巧，要認(rèn)真領(lǐng)會． 5．解析幾何與代數(shù)向量的結(jié)合，是近年來高考的熱點，應(yīng)引起重視． 第2課時 雙 曲 線 基礎(chǔ)過關(guān) 典型例題 例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高55 m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）. 解：如圖8—17，建立直角坐標(biāo)系xOy，使A圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點重合.這時上、下口的直徑CC′、BB′平行于x軸，且=13×2 (m)，=25

16、×2 (m).設(shè)雙曲線的方程為 （a>0,b>0）令點C的坐標(biāo)為（13，y），則點B的坐標(biāo)為（25，y－55）.因為點B、C在雙曲線上，所以 解方程組由方程（2）得 （負(fù)值舍去）.代入方程（1）得化簡得 19b2+275b－18150=0 （3） 解方程（3）得 b≈25 (m).所以所求雙曲線方程為： 例3. 中，固定底邊BC，讓頂點A移動，已知，且，求頂點A的軌跡方程． 解：取BC的中點O為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，因為，所以B()，．利用正弦定理，從條件得，即．由雙曲線定義知，點A的軌跡是B、C為焦點，焦距為4，實

17、軸長為2，虛軸長為的雙曲線右支，點(1，0)除外，即軌跡方程為()． 變式訓(xùn)練3：已知雙曲線的一條漸近線方程為，兩條準(zhǔn)線的距離為l. （1）求雙曲線的方程； （2）直線l過坐標(biāo)原點O且和雙曲線交于兩點M、N，點P為雙曲線上異于M、N的一點，且直線PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值. （1）解：依題意有： 可得雙曲線方程為 （2）解：設(shè) 所以 例4. 設(shè)雙曲線C：的左、右頂點分別為A1、A2，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點P、Q。 （1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且，求點T的坐標(biāo)； （2）求直線A1P與直線A2Q的交點M的軌跡E的方程

18、； （3）過點F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設(shè)，若（T為（Ⅰ）中的點）的取值范圍。 解：（1）由題，得，設(shè) 則 由 …………① 又在雙曲線上，則 …………② 聯(lián)立①、②，解得 由題意， ∴點T的坐標(biāo)為（2，0） …………3分 （2）設(shè)直線A1P與直線A2Q的交點M的坐標(biāo)為（x，y） 由A1、P、M三點共線，得 …………③ …………1分 由A2、Q、M三點共線，得 …………④ …………1分 聯(lián)立③、④，解得 …………1分 ∵在雙曲線上， ∴ ∴軌跡E的方程為 …………1分 （3）容易驗

19、證直線l的斜率不為0。 故可設(shè)直線l的方程為 中，得 設(shè) 則由根與系數(shù)的關(guān)系，得 ……⑤ ……⑥ …………2分 ∵ ∴有 將⑤式平方除以⑥式，得 …………1分 由 …………1分 ∵ 又 故 令 ∴，即 ∴ 而 ， ∴ ∴ 變式訓(xùn)練4：)已知中心在原點，左、右頂點A1、A2在x軸上，離心率為的雙曲線C經(jīng)過點P（6,6），動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G與雙曲線C交于不同兩點M、N，Q為線段MN的中點. （1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）當(dāng)直線l的斜率為何值時，。 本小題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)議程中各量之間關(guān)系，以

20、及直線與雙曲線的位置關(guān)系。 解（1）設(shè)雙曲線C的方程為 ① ②② 又P（6,6）在雙曲線C上， 由①、②解得 所以雙曲線C的方程為。 （2）由雙曲線C的方程可得 所以△A1PA2的重點G（2,2） 設(shè)直線l的方程為代入C的方程，整理得 ③③② 整理得 ④② 解得 由③，可得 ⑤③② 解得 小結(jié)歸納 由④、⑤，得 5．對于直線與雙曲線的位置關(guān)系，要注意“數(shù)形轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”，既可以轉(zhuǎn)化為方程組的解的個數(shù)來確定，又可以把直線與雙曲線的漸近線進(jìn)行比較，從“形”的角度來判斷． 第3課時 拋 物 線 基礎(chǔ)過關(guān) 1．拋物線定義：

21、平面內(nèi)到 和 距離 的點的軌跡叫拋物線， 叫拋物線的焦點， 叫做拋物線的準(zhǔn)線(注意定點在定直線外，否則，軌跡將退化為一條直線)． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 ① ，焦點為 ，準(zhǔn)線為 ． ② ，焦點為 ，準(zhǔn)線為 ． ③ ，焦點為 ，準(zhǔn)線為 ． ④ ，焦點為 ，準(zhǔn)線為 ． 3．拋物線的幾何性質(zhì)：對進(jìn)行討論． ① 點的范圍： 、 ． ② 對稱性：拋物線關(guān)于

22、 軸對稱． ③ 離心率 ． ④ 焦半徑公式：設(shè)F是拋物線的焦點，是拋物線上一點，則 ． ⑤ 焦點弦長公式：設(shè)AB是過拋物線焦點的一條弦(焦點弦) i) 若，，則＝ ， ． ii) 若AB所在直線的傾斜角為(則＝ ． 特別地，當(dāng)時，AB為拋物線的通徑，且＝ ． iii) S△AOB＝ （表示成P與θ的關(guān)系式）． iv) 為定值，且等于 ． 典型例題 例1. 已知拋物線頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點到焦點的距離為5，求

23、拋物線的方程和n的值． 解：設(shè)拋物線方程為，則焦點是F ∵點A(－3，n)在拋物線上，且| AF |＝5 故解得P＝4， 故所求拋物線方程為 變式訓(xùn)練1：求頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6的拋物線方程． 解：因為對稱軸是軸，可設(shè)拋物線方程為或 ∵，∴p＝12 故拋物線方程為或 例2. 已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線l與C相交于A、B． (1) 若，求直線l的方程． (2) 求的最小值． 解：(1)解法一： 設(shè)直線的方程為： 代入整理得， 設(shè) 則是上述關(guān)于的方程的兩個不同實根，所以 根據(jù)拋物線的定義知：| AB |＝ ＝ 若，則

24、 即直線有兩條，其方程分別為： 解法二：由拋物線的焦點弦長公式 |AB|＝(θ為AB的傾斜角)易知sinθ＝±， 即直線AB的斜率k＝tanθ＝±， 故所求直線方程為： 或. (2) 由(1)知， 當(dāng)且僅當(dāng)時，|AB|有最小值4． 解法二：由(1)知|AB|＝＝ ∴ |AB|min＝4 (此時sinθ＝1，θ＝90°) 變式訓(xùn)練2：過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線 （ ） A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無數(shù)條 D．不存在 解：B 例3. 若A(3，2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為

25、拋物線上任意一點，求的最小值及取得最小值時的P的坐標(biāo)． 解：拋物線的準(zhǔn)線方程為 過P作PQ垂直于準(zhǔn)線于Q點，由拋物線定義得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ | 要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三點必共線，即AQ垂直于準(zhǔn)線，AQ與拋物線的交點為P點 從而|PA|＋|PF|的最小值為 此時P的坐標(biāo)為(2，2) 1.（2008·遼寧理，10）已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與點P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 . 答案 變式訓(xùn)練3：一個酒杯的軸截面是拋物線的一部分，

26、它的方程是x2，在杯內(nèi)放入一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是 。 解： 例4. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，兩點在拋物線y＝2x2上，l是AB的垂直平分線． (1)當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論？ (2)當(dāng)直線l的斜率為2時，求在y軸上的截距的取值范圍． 解：(1)F∈l|FA|＝|FB|A、B兩點到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等． ∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線，y1≥0，y2≥0，依題意y1，y2不同時為0．∴上述條件等價于 y1＝y(tǒng)2(x1＋x2)(x1－x2)＝0 ∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0

27、 即當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2＝0時，l過拋物線的焦點F． (2)設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y＝2x＋b，過點A、B的直線方程可寫為y＝－x＋m 所以x1、x2滿足方程：2x2＋x－m＝0 且x1＋x2＝－，由于A、B為拋物線上不同的兩點，所以△＝＋8m＞0，即m＞－ 設(shè)AB之中點為N(x0，y0)，則x0＝ y0＝－x0＋m＝＋m 由N∈l得：＋m＝－＋b 于是b＝＋m＞－＝ 即l在y軸上截距的取值范圍是(，＋) 變式訓(xùn)練4：正方形ABCD中，一條邊AB在直線y＝x＋4上，另外兩頂點C、D在拋物線y2＝x上，求正方形的面積． 設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為(y12，y

28、1)，(y22，y2)( y1> y2)，則直線CD的斜率為1． ∴ ＝＝1，即y1＋y2＝1 ① 又| CD |＝＝ ＝(y1－y2) | BC |＝(y12－y1＋4恒正) 由| CD |＝| BC |，有(y1－y2)＝ ② 解①、② 得 y1＝2或y1＝3 當(dāng)y1＝2時，有| BC |＝3，此時SABCD＝18 當(dāng)y1＝3時，有| BC |＝5，此時SABCD＝50 ∴ 正方形的面積為18或50． 小結(jié)歸納 1．求拋物線方程要注意頂點位置和開口方向，以便準(zhǔn)確設(shè)出方程，然后用待定系數(shù)法． 2．利用好拋物線定義，進(jìn)行求線段和的最小值問題的轉(zhuǎn)化． 3

29、．涉及拋物線的弦的中點和弦長等問題要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點坐標(biāo)的復(fù)雜運算． 4、解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì)． 基礎(chǔ)過關(guān) 第4課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯(lián)立，由所得方程組的解的個數(shù)來決定，一般地，消元后所得一元二次方程的判別式記為△，△>0時，有兩個公共點，△＝0時，有一個公共點，△<0時，沒有公共點．但當(dāng)直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解（即直線與曲線只有一個交點）時，直線與曲線未必相切，在判定此類情形時，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合．（對于雙曲線，重點注意與漸近線平

30、行的直線，對于拋物線，重點注意與對稱軸平行的直線） 2．直線與圓錐曲線的交點間的線段叫做圓錐曲線的弦．設(shè)弦AB端點的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2),直線AB的斜率為k，則：｜AB｜=————————或：—————————． 利用這個公式求弦長時，要注意結(jié)合韋達(dá)定理． 當(dāng)弦過圓錐曲線的焦點時，可用焦半徑進(jìn)行運算． 3．中點弦問題： 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓上不同的兩點，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)為AB的中點，則 兩式相減可得 即 ． 對于雙曲線、拋物線，可得類似的結(jié)論． 典型例題 例1. 直線

31、y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A、B兩點． (1) 當(dāng)a為何值時，A、B兩點在雙曲線的同一支上？當(dāng)a為何值時，A、B兩點分別在雙曲線的兩支上？ (2) 當(dāng)a為何值時，以AB為直徑的圓過原點？ 解： 消去y (1) 聯(lián)立 (3－a2)x2－2ax－2＝0 ① 顯然a2≠3，否則方程①只有一解，于是直線與雙曲線至多一個交點． 若交點A、B在雙曲線同支上，則方程①滿足： a∈(－，－)∪(，) 若A、B分別在雙曲線的兩支上，則有： a∈(－，) (2) 若以AB為直徑的圓過點O，則OA⊥OB，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1＋x2＝，x1x2＝． ∴

32、y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋a2x1x2＋1 ＝a2·＋a·＋1＝1 ∵OA⊥OB ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴＋1a＝±1 此時△＞0，符合要求． 變式訓(xùn)練1：已知直線y＝(a＋1)x－1與曲線y2＝ax恰有一個公共點，求實數(shù)a的值. 解：聯(lián)立方程為 (1) 當(dāng)a＝0時，此時方程組恰有一組解 (2) 當(dāng)a≠0時，消去x得 ① 若＝0，即a＝－1方程變?yōu)橐淮畏匠?，－y－1＝0，方程組恰有一組解 ② 若≠0，即a≠－1，令△＝0 得1＋，解得a＝－ 此時直線與曲線相切，恰有一個公共點，綜上所述知，當(dāng)a＝0，－1，－時，直線與曲線只有一個公共點

33、． 例2. 已知雙曲線方程2x2－y2＝2. (1) 求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在直線方程； (2) 過點B(1,1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于Q1、Q2兩點，且點B是弦Q1Q2的中點？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由． 解：(1)即設(shè)的中點弦兩端點為，則有關(guān)系．又據(jù)對稱性知，所以是中點弦所在直線的斜率，由、在雙曲線上，則有關(guān)系．兩式相減是： ∴ ∴ 所求中點弦所在直線為，即． (2)可假定直線存在，而求出的方程為，即 方法同(1)，聯(lián)立方程，消去y,得 然而方程的判別式，無實根，因此直線與雙曲線無交點，這一矛盾說明了滿足條件

34、的直線不存在． 變式訓(xùn)練2：若橢圓的弦被點（4，2）平分，則此弦所在直線的斜率為 （ ） A．2 B．－2 C． D．－ 解：D 例3. 在拋物線y2＝4x上恒有兩點關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍． 解法一：設(shè)、關(guān)于直線對稱，直線方程為，代入得，，設(shè)、，中點，則 ∵點在直線上，∴ ∴，代入，得，即 解得 解法二：設(shè)，關(guān)于對稱，中點，則 相減得： ∴，則 ∵在拋物線內(nèi)部，∴ 化簡而得，即，解得． 變式訓(xùn)練3：設(shè)拋物線的焦點為F，經(jīng)過點P（2，1）的直線l與拋物線相交于A、B兩點

35、，又知點P恰為AB的中點，則 . 解：8 例4. 已知橢圓＝1(a為常數(shù)，且a>1)，向量＝(1, t) (t >0)，過點A(－a, 0)且以為方向向量的直線與橢圓交于點B，直線BO交橢圓于點C（O為坐標(biāo)原點）． (1) 求t表示△ABC的面積S( t )； (2) 若a＝2，t∈[, 1]，求S( t )的最大值．C A O B x y 解：(1) 直線AB的方程為：y＝t(x＋a)， 由 得 ∴ y＝0或y＝ ∴ 點B的縱坐標(biāo)為 ∴ S(t)＝S△ABC＝2S△AOB＝|OA|·yB ＝ (2)

36、當(dāng)a＝2時，S(t)＝＝ ∵ t∈[，1]，∴ 4t＋≥2＝4 當(dāng)且僅當(dāng)4t＝，t＝時，上式等號成立. ∴ S(t)＝≤＝2 即S(t)的最大值S(t)max＝2 變式訓(xùn)練4：設(shè)橢圓C：的左焦點為F，上頂點為A，過點A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點P，交x軸正半軸于點Q， 且 （1）求橢圓C的離心率； （2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l： A P Q F O x y 相切，求橢圓C的方程. 解：⑴設(shè)Q（x0，0），由F（-c，0） A（0，b）知 …2分 設(shè)，得…… 因為點P在橢圓上，所以…… 整理得2b2=3ac，即2（a

37、2－c2）=3ac，,故橢圓的離心率e＝…… ⑵由⑴知， 于是F（－a，0）， Q △AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a……… 所以，解得a=2，∴c=1，b=， 小結(jié)歸納 所求橢圓方程為 小結(jié)歸納 1．判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，注意數(shù)形結(jié)合；用判別式的方法時，若所得方程二次項的系數(shù)有參數(shù)，則需考慮二次項系數(shù)為零的情況． 2．涉及中點弦的問題有兩種常用方法：一是“設(shè)而不求”的方法，利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，它能簡化計算；二是利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式．對于存在性問題，還需用判別式進(jìn)一步檢驗． 3．對稱問題，要

38、注意兩點：垂直和中點． 圓錐曲線單元測試題 一、選擇題 1． 中心在原點，準(zhǔn)線方程為x＝±4，離心率為的橢圓方程是 （ ） A． B． C． D． 2． AB是拋物線y2＝2x的一條焦點弦，|AB|＝4，則AB中點C的橫坐標(biāo)是 （ ） A．2 B． C． D． 3． 若雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線重合，則雙曲線的離心率為 （ ） A． B． C．4 D． 4． 已知拋物線y＝2x2上兩點A(x1，y1), B(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋m對稱，且x1x2＝, 那么m的值等于（ ） A．

39、 B． C． 2 D．3 5．已知雙曲線x2－＝1的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且＝0，則點M到x軸的距離為 （ ） A． B． C． D． 6．點P(－3，1)在橢圓(a>b>0)的左準(zhǔn)線上，過點P且方向為＝(2,－5)的光線，經(jīng)直線y＝－2反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為 （ ） A． B． C． D． 7． 橢圓上有n個不同的點

40、：P1，P2，…，Pn，橢圓的右焦點為F，數(shù)列{|PnF|}是公差大于的等差數(shù)列，則n的最大值是 （ ） A．198 B．199 C．200 D．201 8． 過點(4, 0)的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點，則直線AB的斜率k的取值范圍是（ ） A．| k |≥1 B．| k | > C．| k |≤ D．| k | < 1 9． 已知θ為三角形的一個內(nèi)角，且sinθ＋cosθ＝，則方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示 （ ） A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在y軸上的橢圓 C．焦點在x軸上的雙

41、曲線 D．焦點在y軸上的雙曲線 10．下列圖中的多邊形均為正多邊形，M、N是所在邊上的中點，雙曲線均以圖中的F1、F2為焦點，設(shè)圖①、②、③中的雙曲線離心率分別為e1、e2、e3，則（ ） ② ③ M N F1 F2 F1 F2 F2 F1 M N N M ① A．e1 > e2 > e3 B．e1 < e2 < e3 C．e1＝e2 < e3 D．e1＝e2 > e3 二、填空題 11．拋物線y＝x2上到直線2x－y＝4的距離最近的點是 . 12．雙曲線3x2－4y2－12x＋8y－4＝0按向量平移后的雙曲線

42、方程為，則平移向量＝ ． 13．P在以F1、F2為焦點的雙曲線上運動，則△F1F2P的重心G的軌跡方程是—————————． 14．橢圓中，以M(－1，2)為中點的弦所在直線的方程為 . 15．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中： ① 設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，若，則動點P的軌跡為雙曲線； ② 過定圓C上一定點A作圓的動弦AB、O為坐標(biāo)原點，若()，則動點P的軌跡為橢圓； ③ 方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率； ④ 雙曲線與有相同的焦點． 其中真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號）． 三、解答題 16

43、．已知雙曲線的離心率為2，它的兩個焦點為F1、F2，P為雙曲線上的一點，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為，求雙曲線的方程． 17．已知動圓C與定圓x2＋y2＝1內(nèi)切,與直線x＝3相切. (1) 求動圓圓心C的軌跡方程； (2) 若Q是上述軌跡上一點，求Q到點P(m,0)距離的最小值. 18．如圖，O為坐標(biāo)原點，直線在軸和軸上的截距分別是和，且交拋物線于、兩點． (1) 寫出直線的截距式方程； (2) 證明：； (3) 當(dāng)時，求的大?。? x y O M l a N b

44、 19．設(shè)x，y∈R，,為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸，y軸正方向上的單位向量，若＝x＋(y＋2)，＝x＋(y－2)，且||＋||＝8 (1) 求動點M（x，y）的軌跡C的方程． (2) 設(shè)曲線C上兩點A、B，滿足(1)直線AB過點（0，3），(2) 且OAPB為矩形，求直線AB方程.． 20．動圓M過定點A(－，0)，且與定圓A′：(x－)2＋y2＝12相切． (1)求動圓圓心M的軌跡C的方程； (2)過點P(0，2)的直線l與軌跡C交于不同的兩點E、F，求的取值范圍． 21．已知橢圓的左、右焦點分別是F1(－c, 0)、F2(c

45、, 0)，Q是橢圓外的動點，滿足，點P是線段F1Q與橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足＝0，≠0． (1) 設(shè)x為點P的橫坐標(biāo)，證明； (2) 求點T的軌跡C的方程； (3) 試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S＝b2 ？若存在，求∠F1MF2的正切值，若不存在，請說明理由．x y Q P O F1 F2 圓錐曲線單元測試題答案 1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1，1) 12. (－2，－1) 13. 14. 9x－32y

46、＋73＝0 15. ③④ 16. 解：以焦點F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如右圖所示： 設(shè)雙曲線方程為： 0 F1 F2 x y P 60° 依題意有： 解之得：a2＝4，c2＝16，b2＝12 故所求雙曲線方程為： 17．解：(1) 設(shè)則 ⊙C與⊙O內(nèi)切， 即軌跡方程為 (2) 設(shè)，則 當(dāng)，即時 當(dāng)，即時， 18．解：(1) (2) 由直線方程及拋物線方程可得： by2＋2pay－2pab＝0 故 所以 (3) 設(shè)直線OM，ON的斜率分別為k1，k2 則

47、. 當(dāng)a＝2p時，知y1y2＝－4p2，x1x2＝4p2 所以，k1k2＝－1，即MON＝90°． 19．( 1 ) 解：令M(x，y)，F(xiàn)1(0,－2)，F(xiàn)2(0，2) 則＝，＝，即 ||＋||＝||＋||，即||＋||＝8 又∵ ＝4＝2c，∴ c＝2，a＝4，b2＝12 所求軌跡方程為 ( 2) 解：由條件(2)可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (3k2＋4)x2＋18kx－21＝0 x1＋x2＝－ x1·x2＝ y1·y2＝(kx1＋3) (kx2＋3)＝k2 x1x2＋3k(x1＋x2

48、)＋9 ＝ ∵ OAPB為矩形，∴ OA⊥OB ＝0 ∴ x1x2＋y1y2＝0 得k＝± 所求直線方程為y＝±x＋3． x y F A(－,0) E M P(0, 2) A′(,0) 20．解：(1)A′(，0)，依題意有|MA′|＋＝2 |MA′|＋|MA| ＝2 ＞2 ∴點M的軌跡是以A′、A為焦點，2為長軸上的橢圓，∵a＝，c＝ ∴b2＝1．因此點M的軌跡方程為 (2) 解法一：設(shè)l的方程為x＝k(y－2)代入，消去x得：(k2＋3)y2－4k2y＋4k2－3＝0 由△＞0得16k4－(4k2－3)(k2＋3)＞0 0≤k2＜1

49、設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)， 則y1＋y2＝，y1y2＝ 又＝(x1，y1－2)，＝(x2，y2－2) ∴·＝x1x2＋(y1－2)(y2－2) ＝k(y1－2)·k (y2－2) ＋(y1－2)(y2－2) ＝(1＋k2) ＝ ∵0≤k2＜1 ∴3≤k2＋3＜4 ∴·∈ 解法二：設(shè)過P(0，2)的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，為直線l的傾角) 代入中并整理得： (1＋2sin2)t2＋12sin·t＋9＝0 由△＝122sin2－36(1＋2sin2)＞0 得：sin2＞ 又t1t2＝ ∴·＝·cos0° ＝|PE|·|PF|＝t1t2＝ 由＜sin2≤1得：·∈ 21．(1) 證法一：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y) x y Q P O F1 F2 T 由P(x，y)在橢圓上，得 ＝ ＝ ＝