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1、第二章 第四節(jié) 函數的奇偶性
題組一
函數的奇偶性的判定
1.已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數，則下列函數中為奇函數的是 ( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
解析：由奇函數的定義驗證可知②④正確，選D.
答案：D
2.(2010·長郡模擬)已知二次函數f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函數，則實數a的值為( )
A.－1 B.1 C.－2 D
2、.2
解析：∵f(x)＝x2－ax＋4，
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4
＝x2＋2x＋1－ax－a＋4
＝x2＋(2－a)x＋5－a，
f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4
＝x2－2x＋1－a＋ax＋4
＝x2＋(a－2)x＋5－a.
∵f(x＋1)是偶函數，
∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，
∴a－2＝2－a，即a＝2.
答案：D
3.(2009·浙江高考)若函數f(x)＝x2＋(a∈R)，則下列結論正確的是 ( )
A.?a∈R，f(x) 在(0，＋∞)上是增函數
B.?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是減函
3、數
C.?a∈R，f(x)是偶函數
D.?a∈R，f(x)是奇函數
解析：當a＝16時，f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－，
令f′(x)＞0得x＞2.
∴f(x)在(2，＋∞)上是增函數，故A、B錯.
當a＝0時，f(x)＝x2是偶函數，故C正確.
D顯然錯誤，故選C.
答案：C
題組二
函數奇偶性的應用
4.已知函數f (x)＝ax4＋bcosx－x，且f (－3)＝7，則f (3)的值為 ( )
A.1 B.－7 C.4 D.－10
解析：設g(x)＝ax4＋bcosx，則g(x)＝
4、g(－x).由f (－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f (3)＝g(3)－3＝4－3＝1.
答案：A
5.已知f(x)在R上是奇函數，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝( )
A.－2 B.2 C.－98 D.98
解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，
又f(x)為奇函數，∴f(－1)＝－f(1)，
f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故選A.
答案：A
6.設函數f(x)(x∈
5、R)為奇函數，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，則f(5)＝ ( )
A.0 B.1 C. D.5
解析：由f(1)＝，
對f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，
令x＝－1，
得f(1)＝f(－1)＋f(2).
又∵f(x) 為奇函數，∴f(－1)＝－f(1).
于是f(2)＝2f(1)＝1；
令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝，
于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝.
答案：C
7.已知函數f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數，在(0，＋∞)上單調遞減，且f()＞0＞f(－)
6、，則方程f(x)＝0的根的個數為 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：由于函數是偶函數，且在(0，＋∞)上單調遞減，因此在(－∞，0)上單調遞增，又因為f()＞0＞f(－)＝f()，所以函數f(x)在(，)上與x軸有一個交點，必在(－，－)上也有一個交點，故方程f(x)＝0的根的個數為2.
答案：C
8.(2010·濱州模擬)定義在R上的奇函數f(x)滿足：當x＞0時，f(x)＝2008x＋log2008x，則方程f(x)＝0的實根的個數為 .
解析：當x＞0時，f(
7、x)＝0即2008x＝－log2008x，在同一坐標系下分別畫出函數f1(x)＝2008x，f2(x)＝－log2008x的圖象(圖略)，可知兩個圖象只有一個交點，即方程f(x)＝0只有一個實根，又因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以當x＜0時，方程f(x)＝0也有一個實根，又因為f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的實根的個數為3.
答案：3
題組三
函數的奇偶性與單調性的綜合問題
9.定義在R上的偶函數f(x)，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，則( )
A.f(3)＜f(－2)＜f(1) B.f(1)＜f(－2)＜f(3)
8、C.f(－2)＜f(1)＜f(3) D.f(3)＜f(1)＜f(－2)
解析：由已知＜0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上單調遞減，由偶函數性質得f(3)＜f(－2)＜f(1)，故選A.此類題能用數形結合更好.
答案：A
10.(2009·福建高考)定義在R上的偶函數f(x)的部分圖象如右圖所示，
則在(－2,0)上，下列函數中與f(x)的單調性不同的是 ( )
A.y＝x2＋1
B.y＝|x|＋1
C.y＝
D.y＝
解析：∵f(x)為偶函數，由圖象知，
f(x)在(－2,0)上為減函數，
而y＝x3＋1在(－∞，0)上為增函數，故選
9、C.
答案：C
11.(2009·山東高考)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2] 上是增函數.若方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4， 則x1＋x2＋x3＋x4＝ .
解析：由f(x－4)＝－f(x)?f(4－x)＝f(x)，
故函數圖象關于直線x＝2對稱，
又函數f(x)在[0,2]上是增函數，且為奇函數，
故f(0)＝0，故函數f(x)在(0,2]上大于0，
根據對稱性知函數f(x)在[2,4)上大于0，
同理推知函數f(x)在(4,8)上小于0，故在區(qū)間(0,8
10、)上方程f(x)＝m(m＞0)的兩根關于 直線x＝2對稱，
故此兩根之和等于4，
根據f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，
函數f(x)以8為周期，
故在區(qū)間(－8,0)上方程f(x)＝m(m＞0)的兩根關于直線x＝－6對稱，此兩根之和等 于－12，
綜上四個根之和等于－8.
答案：－8
12.(文)已知函數f(x)＝是奇函數.
(1)求實數m的值；
(2)若函數f(x)的區(qū)間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍.
解：(1)設x<0，則－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)為
11、奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，
結合f(x)的圖象知
所以1＜a≤3，故實數a的取值范圍是(1,3].
(理)已知定義域為R的函數f(x)＝是奇函數.
(1)求a、b的值；
(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍.
解：(1)因為f(x)是R上的奇函數，所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，從而有f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2.
故a＝2，b＝1.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數.
又因f(x)是奇函數，
從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0
等價于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).
因f(x)是減函數，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，
即對一切t∈R有3t2－2t－k>0.
從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
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