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1、 戰(zhàn)考場第第3 3講講 空間空間向量向量與立與立體幾體幾何何知考情研考題析考向高頻考點高頻考點考情解讀考情解讀考查方式考查方式利用空間向量證明空間利用空間向量證明空間位置關系位置關系利用平面的法向量與直線的方向向量的利用平面的法向量與直線的方向向量的位置關系證明線面位置關系位置關系證明線面位置關系解答題解答題利用空間向量求角利用空間向量求角異面直線所成角、線面角、二面角是常異面直線所成角、線面角、二面角是常考重點考重點解答題解答題利用空間向量解決探索利用空間向量解決探索性問題性問題重點考查根據條件確定幾何體線段上存重點考查根據條件確定幾何體線段上存在點的位置及應用在點的位置及應用解答題解答題聯(lián)
2、知識串點成面聯(lián)知識串點成面 設直線設直線l的方向向量為的方向向量為a(a1，b1，c1)平面平面，的法向的法向量分別為量分別為u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)線面平行：線面平行：lauau0a1a3b1b3c1c30(2)線面垂直：線面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：面面平行：uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直面面垂直uvuv0a3a4b3b4c3c40做考題查漏補缺做考題查漏補缺 (2011杭州模擬杭州模擬)如圖，平面如圖，平面PAC平面平面ABC，ABC是以是以AC為斜邊為斜邊的等腰直角三角形，的等腰直角三角形
3、，E，F，O分別為分別為PA，PB，AC的中點，的中點，AC16，PAPC10.(1)設設G是是OC的中點，證明：的中點，證明：FG平面平面BOE；(2)證明：在證明：在ABO內存在一點內存在一點M，使，使FM平面平面BOE.證明證明(1)如圖，連接如圖，連接OP，以點，以點O為坐標原點，為坐標原點，OB，OC，OP所在直線為所在直線為x軸，軸，y軸，軸，z軸，建立空間軸，建立空間直角坐標系直角坐標系Oxyz，則，則O(0,0,0)，A(0，8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)由題意，得由題意，得G(0,4,0)因為因為 (8,0,
4、0)， (0，4,3)，所以平面所以平面BOE的一個法向量的一個法向量n(0,3,4)由由 (4,4，3)，得，得n 0.又直線又直線FG不在平面不在平面BOE內，所以內，所以FG平面平面BOE.OB OE FG FG FMFM1(2011南昌模擬南昌模擬)如圖，正方形如圖，正方形ABCD所所在的平面與平面四邊形在的平面與平面四邊形ABEF所在的平所在的平面互相垂直，面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45.(1)求證：求證：EF平面平面BCE；(2)設線段設線段CD、AE的中點分別為的中點分別為P、M，求證：，求證：PM平面平面BCE.證明：證明：
5、ABE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ABAE，AEAB，平面平面ABEF平面平面ABCDAB，AE平面平面ABCD.AEAD，即即AD、AB、AE兩兩垂直兩兩垂直如圖建立空間直角坐標系如圖建立空間直角坐標系EF BE BC EF BE EF BC EF PMPMOD OP PAPC 悟方法觸類旁通悟方法觸類旁通1用向量法來證明平行與垂直，避免了繁雜的推理論證而用向量法來證明平行與垂直，避免了繁雜的推理論證而直接計算就行了把幾何問題代數化尤其是正方體、直接計算就行了把幾何問題代數化尤其是正方體、長方體、直四棱柱中相關問題證明用向量法更簡捷但長方體、直四棱柱中相關問題證明用向量法更簡捷但是向
6、量法要求計算必須準確無誤是向量法要求計算必須準確無誤2利用向量法的關鍵是正確求平面的法向量賦值時注意利用向量法的關鍵是正確求平面的法向量賦值時注意其靈活性注意其靈活性注意(0,0,0)不能作為法向量不能作為法向量.做考題查漏補缺做考題查漏補缺 (2011北京高考北京高考)如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐PABCD中，中，PA平面平面ABCD，底面，底面ABCD是菱形，是菱形，AB2，BAD60.(1)求證：求證：BD平面平面PAC；(2)若若PAAB，求，求PB與與AC所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)當平面當平面PBC與平面與平面PDC垂直時，求垂直時，求PA的長的長 PB AC BC BP
7、 BC BP CMSN SN CMSN NC4(2011西安模擬一西安模擬一)如圖，四棱錐如圖，四棱錐PABCD的底面的底面ABCD是正方形，是正方形，側棱側棱PD底面底面ABCD，PDDC，E是是PC的中點的中點(1)證明：證明：PA平面平面BDE；(2)求二面角求二面角BDEC的余弦值的余弦值解：解：(1)證明：以證明：以D為坐標原點，以為坐標原點，以DA，DC，DP所在直線所在直線分別為分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，軸建立空間直角坐標系，設設PDDC2，則，則A(2,0,0)，P(0，0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0) (2,0，2)， (0,1,1)， (2,2,0)
8、，PADE DB DE PAPADB DA 聯(lián)知識串點成面聯(lián)知識串點成面 利用空間向量解決探索性問題，它無需進行復雜繁難利用空間向量解決探索性問題，它無需進行復雜繁難的作圖、論證、推理，只須通過坐標運算進行判斷，在解的作圖、論證、推理，只須通過坐標運算進行判斷，在解題過程中，往往把題過程中，往往把“是否存在是否存在”問題，轉化為問題，轉化為“點的坐標點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍的解是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，可以使問題的解決等，可以使問題的解決更簡單、有效，應善于運用這一方法更簡單、有效，應善于運用這一方法做考題查漏補缺做考題查漏補缺 (2011浙江高考浙江高考)如圖，在三棱錐如圖，
9、在三棱錐PABC中，中，ABAC，D為為BC的中點，的中點，PO平面平面ABC，垂足，垂足O落在線段落在線段AD上上已知已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)證明：證明：APBC；(2)在線段在線段AP上是否存在點上是否存在點M，使得二面角，使得二面角AMCB為直二為直二面角？若存在，求出面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由的長；若不存在，請說明理由AP AC 5(2011鄭州模擬鄭州模擬)如圖，四棱柱如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，中，A1D平面平面ABCD，底，底面面ABCD是邊長為是邊長為1的正方形，側棱的正方形，側棱AA12.(1)求三棱錐求三棱錐CA1B1C1
10、的體積的體積V；(2)求直線求直線BD1與平面與平面ADB1所成角的正弦值；所成角的正弦值；(3)若棱若棱AA1上存在一點上存在一點P，使得，使得 ，當二面角，當二面角AB1C1P的大小為的大小為30時，求實數時，求實數的值的值AP 1PA悟方法觸類旁通悟方法觸類旁通利用向量法解決探索性問題時注意利用向量法解決探索性問題時注意1平面法向量計算必須要準確平面法向量計算必須要準確2若在線段上探索是否存在一點，設出該點坐標時要抓住三若在線段上探索是否存在一點，設出該點坐標時要抓住三點共線可減少坐標未知量的個數點共線可減少坐標未知量的個數 向量法解決空間位置關系及空間角問題的實質是數與向量法解決空間位
11、置關系及空間角問題的實質是數與形的完美結合將函數與方程、化歸與轉化思想融合其中形的完美結合將函數與方程、化歸與轉化思想融合其中改靜態(tài)命題為動態(tài)命題，也是命題的創(chuàng)新點之一改靜態(tài)命題為動態(tài)命題，也是命題的創(chuàng)新點之一圖圖1 圖圖2點評點評向量法解題的實質是以數解形，形數結合本例充向量法解題的實質是以數解形，形數結合本例充分利用向量法結合條件建立不等關系，從而求范圍能力分利用向量法結合條件建立不等關系，從而求范圍能力要求較高要求較高如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐PABCD中，中，PA底面底面ABCD，DAB為直角，為直角，ABCD，ADCD2AB，E、F分別為分別為PC、CD的中點的中點(1)試證：試證：AB平面平面BEF；(2)設設PAkAB，若平面，若平面EBD與平面與平面BDC的夾角大于的夾角大于45，求，求k的取值范圍的取值范圍
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