江蘇省蘇州市第五中學(xué)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第3講 直接證明與間接證明課件

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1、第第3講直接證明與間接證明講直接證明與間接證明 知 識 梳 理 1直接證明(1)綜合法定義：從命題的條件出發(fā)，利用 ，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明這樣的思維方法稱為綜合法(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結(jié)論)定義、公理、定理及運(yùn)算法則 (3)分析法定義：從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索 ，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等這樣的思維方法稱為分析法保證前一個結(jié)論成立的 充分條件 2間接證明(1)反證法定義：在證明數(shù)學(xué)命題時，要證明的結(jié)論要么正確，要么錯誤，二者必居其一我們可以先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個前提下，若

2、推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立這種證明方法叫作反證法(2)反證法的證題步驟是：作出否定結(jié)論的假設(shè)；進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；否定假設(shè)，肯定結(jié)論辨 析 感 悟?qū)θN證明方法的認(rèn)識(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(2)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾()(3)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程() 感悟提升兩點提醒一是分析法是“執(zhí)果索因”，特點是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋找使結(jié)論成

3、立的充分條件，如(1)；二是應(yīng)用反證法證題時必須先否定結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法所謂矛盾主要指：與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與公認(rèn)的簡單事實矛盾；自相矛盾. 考點一綜合法的應(yīng)用 【例1】 (2013新課標(biāo)全國卷)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：規(guī)律方法 綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分析法的逆過程，但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明.審題路線從結(jié)論出發(fā)觀察不等式兩邊的符號移項(把不等式兩邊都變?yōu)檎?平方移項整理平方移項整理可得顯然成立的

4、結(jié)論規(guī)律方法 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵(2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證 證明m0，1m0.所以要證原不等式成立， 只需證(amb)2(1m)(a2mb2) 即證m(a22abb2)0， 即證(ab)20，而(ab)20顯然成立，故原不等式得證規(guī)律方法 用反證法證明不等式要把握三點：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一

5、條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的 【訓(xùn)練3】 已知a1，求證三個方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實數(shù)根 1分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知 2綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知 3分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來 4利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)

6、論錯誤，并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的 答題模板13反證法在證明題中的應(yīng)用所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形(14分)反思感悟 (1)掌握反證法的證明思路及證題步驟，明確作假設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的(2)當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時，常采用反證法(3)利用反證法證明時，一定要回到結(jié)論上去答題模板用反證法證明數(shù)學(xué)命題的答題模板：第一步：分清命題“pq”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于所作的假設(shè)綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題 【自主體驗】設(shè)直線l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中實數(shù)k1，k2滿足k1k220.(1)證明：l1與l2相交；(2)證明：l1與l2的交點在橢圓2x2y21上