《高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列、推理與證明 第8講 數(shù)學(xué)歸納法課件 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列、推理與證明 第8講 數(shù)學(xué)歸納法課件 理(25頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第8講數(shù)學(xué)歸納法1掌握“歸納猜想證明”這一基本思路2了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理3能利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題1運用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步,第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ)),第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè)),兩步缺一不可2用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項公式、整除性問題、幾何問題等條時,第一步檢驗第一個值 n0 等于()A1B2C3D4且 n1)時,在第二步證明從 nk 到 nk1 成立時,左邊增加的項數(shù)是()A2k B2k1 C2k1 D2k1CA3.凸 n 邊形有 f(n)條對角線,則凸 n1 邊形有對角線數(shù) f(n1)為()C5Af(
2、n)n1Cf(n)n1Bf(n)nDf(n)n24若不等式 2nn21對于nn0的正整數(shù) n 都成立,則n0 的最小值為_.考點1對數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟的認(rèn)識上述證法()A過程全都正確Bn1 驗得不正確C歸納假設(shè)不正確D從 nk 到 nk1 的推理不正確解析:上述證明過程中,在由nk 變化到nk1 時,不等式的證明使用的是放縮法而沒有使用歸納假設(shè)故選 D.答案:D答案:B【規(guī)律方法】用數(shù)學(xué)歸納法證明時,要注意觀察下列幾個方面:n 的范圍以及遞推的起點;觀察首末兩項的次數(shù)(或其他),確定nk 時命題的形式f(k);從f(k1)和f(k)的差異,尋找由k 到 k1 遞推中,左邊要加(或乘)的式子.
3、【互動探究】1用數(shù)學(xué)歸納法證明 1aa2an1an1(a1,1anN*)時,在驗證 n1 時,左邊計算所得的式子是()BA1C1aa2B1aD1aa2a4解析:n1 時,左邊的最高次數(shù)為1,即最后一項為a,左邊是 1a. 的2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1 1n1 n21 13nn 24過 程中 , 由 k 推 導(dǎo)到 k 1 時 ,不等式左 邊增加 的 式子 是.1(2k1)(2k2)答案:n(n1) (an2bnc)對一切正整數(shù) n 都成立?證明你考點2用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式命題例2:是否存在常數(shù) a,b,c,使等式 1222322n(n1)12的結(jié)論思維點撥:從特殊入手,探求a,b,c 的值,考
4、慮到有 3個未知數(shù),先取 n1,2,3,列方程組求得,然后用數(shù)學(xué)歸納法對一切 nN*,等式都成立(3n211n abc24,解:把 n1,2,3 代入得方程組 4a2bc44, 9a3bc70, a3,解得 b11, c10.猜想:等式122232n(n1)2n(n1)1210)對一切 nN*都成立(3k211k10),下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng) n1 時,由上面可知等式成立(2)假設(shè) nk 時等式成立,即 122232k(k1)2k(k1)12k(k1)k(k1)則122232k(k1)2(k1)(k2)212(3k211k10)(k1)(k2)212(3k5)(k2)(k1)(k2)2
5、(k1)(k2)12k(3k5)12(k2)(k1)(k2)123(k1)211(k1)10當(dāng) nk1 時,等式也成立綜合(1)(2),對nN*等式都成立【規(guī)律方法】這是一個探索性命題,“歸納猜想證明”是一個完整的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維模式.對于探索命題特別有效,要求善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,敢于提出更一般的結(jié)論,最后進(jìn)行嚴(yán)密的論證.從特殊入手,探求a,b,c 的值,考慮到有3個未知數(shù),先取n1,2,3,列方程組求得,然后用數(shù)學(xué)歸納法對一切nN*,等式都成立. , ,左邊右邊,所以等式成立【互動探究】3用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng) nN*時,1131351 n(2n1)(2n1) 2n1.證明:(1)當(dāng)n1 時
6、,左邊1 113 3右邊121113k1 k1(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立,即有1131351(2k1)(2k1)k2k1,則當(dāng) nk1 時,1131351(2k1)(2k1)1(2k1)(2k3)k 12k1 (2k1)(2k3)k(2k3)1(2k1)(2k3)2k23k1(2k1)(2k3)2k3 2(k1)1,所以當(dāng) nk1 時,等式也成立由(1)(2)可知,對一切nN*等式都成立考點3 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性命題例3:試證:當(dāng)n 為正整數(shù)時,f(n)32n28n9能被 64整除證明:方法一:(1)當(dāng)n1時,f(1)348964,命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時,
7、f(k)32k28k9能被64整除由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1),即f(k1)9f(k)64(k1),nk1時命題也成立根據(jù)(1)(2)可知,對任意的nN*,命題都成立方法二:(1)當(dāng)n1時,f(1)348964,命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時,f(k)32k28k9能被64整除由歸納假設(shè),設(shè)32k28k964m(m為大于1的自然數(shù)),將32k264m8k9代入到f(k1)中,得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1),當(dāng)nk1時命題成立根據(jù)(1)(2)可知,nN*,命題都成立【互動探究】
8、4求證:二項式 x2ny2n(nN*)能被 xy 整除證明:(1)當(dāng)n1時,x2y2(xy)(xy),能被xy整除,命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時,x2ky2k能被xy整除,那么當(dāng)nk1時,x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2),顯然x2k2y2k2能被xy整除,即當(dāng)nk1時命題成立由(1)(2)知,對任意的正整數(shù)n命題均成立 難點突破數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用例題:(2014年廣東)設(shè)數(shù)列an的前n和為Sn,滿足Sn2nan13n24n,nN*,且S315.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求數(shù)列an的通項公式則Sk357(2k1)3(2k1)2kk(k2)解:S24a320,S3S2a35a320.又S315,a37,S24a3208.又S2S1a2(2a27)a23a27,a25,a1S12a273.綜上所述,a13,a25,a37.(2)由(1)猜想an2n1,當(dāng)n1時,結(jié)論顯然成立;假設(shè)當(dāng)nk(k1)時,ak2k1,又Sk2kak13k24k,k(k2)2kak13k24k.解得ak12k3.ak12(k1)1,即當(dāng)nk1時,結(jié)論成立由知,nN*,an2n1.【規(guī)律方法】猜想an2n1;根據(jù)猜想求出Sk;再利用Sk2kak13k24k求出ak1;驗證ak1也滿足猜想,得出結(jié)論.