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1、第第8講二項分布與正態(tài)分布講二項分布與正態(tài)分布 【2014年高考會這樣考】 1考查相互獨立事件的概率 2考查n次獨立重復試驗的模型及二項分布 3利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲 線所表示的意義.考點梳理考點梳理 （1）當事件的全集1和2獨立，對于A1和 B2，有_.這時我們稱事件A，B獨立. （2）若A與B相互獨立，則P（B|A）_， P（AB）P（B|A）P（A）_.1. 相互獨立事件相互獨立事件P（AB）P（A）P（B）P（B）P（A）P（B） （4）定義推廣：如果試驗的全集1，2，n是相互獨立的，則對A11，A22，Ann，有 _.稱事件A1，A2，An是相互獨立的. 設
2、某試驗成功的概率為p，p（0，1）.將該試驗獨立重復n次，用X表示成功的次數(shù)，則X有概率分布：2. 二項分布二項分布B（n，p）P（A1A2An）P（A1）P（A2）P（An） （1）定義：任意x1x2，Px1Xx2是p（x）對應曲線如圖下從x1到x2所圍曲邊梯形的面積，且曲線下的整個面積為1.我們稱X為服從參數(shù)為和2的正態(tài)分布的正態(tài)隨機變量，記為3.正態(tài)分布正態(tài)分布_.對任意實數(shù)對任意實數(shù)x，稱，稱F（x）PXx為為隨機變量隨機變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù).則則Px1Xx2_.XN（，2）F（x2）F（x1） 特別當0，21時稱為_. （2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 P（X）0.6
3、82 6； P（2X2）0.954 4； P（3X3）0.997 4.標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布 一個原則 3原則 (1)服從正態(tài)分布N(，2)的隨機變量X只取(3，3)之間的值，簡稱為3原則 (2)正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(3，3)之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.002 6，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生 四個條件 二項分布事件發(fā)生滿足的四個條件 (1)每次試驗中，事件發(fā)生的概率都相同；(2)各次試驗中的事件相互獨立；(3)每次試驗結(jié)果只有發(fā)生、不發(fā)生兩種情形；(4)隨機變量是這n次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù)【助學助學微博微博】 A0.12 B0.42 C0.46 D0.8
4、8 解析由題意知，甲、乙都不被錄取的概率為(10.6)(10.7)0.12.至少有一人被錄取的概率為10.120.88. 答案D考點自測考點自測1甲、乙兩人同時報考某一所大學，甲被錄取的概率為甲、乙兩人同時報考某一所大學，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為至少有一人被錄取的概率為 () 答案A 答案B A4 B6 C8 D10 解析由題意可知隨機變量X的正態(tài)曲線關(guān)于x1對稱，則P(X0)P(X2)，所以a22，a4. 答案A4(2013白山聯(lián)考白山聯(lián)考)設隨機變量設隨機變量XN(
5、1,52)，且，且P(X0)P(X a2)，則實數(shù)，則實數(shù)a的值為的值為 ()5(2012新課標全國)某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件件3正常工作，則部件正常工作設三個電子元件的使用正常工作，則部件正常工作設三個電子元件的使用壽命壽命(單位：小時單位：小時)均服從正態(tài)分布均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個元，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為小時的概率為_ (1)求乙投球的命中率p； (2)求甲投球2次，至少命中1次的概率； (3)若甲、乙兩人各投
6、球2次，求共命中2次的概率考向一獨立事件的概率考向一獨立事件的概率 審題視點 (1)利用列方程求p；(2)可用直接法也可用間接法；(3)要分類討論甲、乙各命中的次數(shù) (1)相互獨立事件是指兩個試驗中，兩事件發(fā)生的概率互不影響；相互互斥事件是指同一次試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生； (2)求用“至少”表述的事件的概率時，先求其對立事件的概率往往比較簡單 (1)求開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率； (2)表示開始第4次發(fā)球時乙的得分，求的期望 解記Ai表示事件：第1次和第2次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i0,1,2；A表示事件：第3次發(fā)球，甲得1分； B表示事件：開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比
7、分為1比2.【訓練訓練1】 (2012全國全國)乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負方得分，負方得0分設分設在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立甲、乙的一局比賽，各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球中，甲先發(fā)球 0.160.40.48(10.4) 0.352. (2)P(A2)0.620.36
8、.的可能取值為0,1,2,3. P(0)P(A2A)P(A2)P(A)0.360.40.144， P(2)P(B)0.352， P(1)1P(0)P(2)P(3) 10.1440.3520.096 0.408. 所以的分布為： E()0P(0)1P(1)2P(2)3P(3)0.40820.35230.0961.400.0123P0.1440.4080.3520.096考向二獨立重復試驗與二項分布考向二獨立重復試驗與二項分布 (1)若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率； (2)若走L2路線，求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學期望； (3)按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選
9、擇一條最好的上班路線，并說明理由 審題視點 (1)可看作三次獨立重復試驗恰好發(fā)生零次和一次的概率之和；(2)計算出X的各取值對應的概率，由分布列計算其數(shù)學期望，(3)由兩條路線遇到的紅燈次數(shù)的數(shù)學期望大小判斷最好路線 隨機變量X的分布如下表所示： 二項分布模型也稱為n次獨立重復試驗模型，這個概率模型在本質(zhì)上是某個隨機事件在n次重復發(fā)生的過程中，每次發(fā)生的概率都相同，其發(fā)生的次數(shù)就服從二項分布，在n次試驗中，事件A恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為Pn(k)Cpkqnk，k0,1,2，n.它恰好是(qp)n的二項展開式中的第k1項若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p) (1)設X為這
10、名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布； (2)設Y為這名學生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y的分布； (3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率 (2)由于Y表示這名學生在首次停車時經(jīng)過的路口數(shù)，顯然Y是隨機變量，其取值為0,1,2,3,4,5,6. 其中：Yk(k0,1,2,3,4,5)表示前k個路口沒有遇上紅燈，但在第k1個路口遇上紅燈，故各概率應按獨立事件同時發(fā)生計算 審題視點 由已知函數(shù)對照正態(tài)曲線的結(jié)構(gòu)特征求出和的值，然后利用、求出相應的概率考向三正態(tài)分布考向三正態(tài)分布 求服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上要熟記
11、正態(tài)變量的取值位于區(qū)間(，)、(2，2)、(3，3)上的概率的值 解析由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x1對稱，所以P(2)P(0)0.3，P(2)10.30.7. 答案0.7【訓練訓練3】 隨機變量隨機變量服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(1，2)，已知，已知P(0) 0.3，則，則P(2)_.【命題研究】 對正態(tài)分布的考查已在近幾年的新課程高考中出現(xiàn)，主要考查利用正態(tài)曲線的對稱性求概率題型為選擇題或填空題，難度不大，屬容易題【真題探究】 (2011湖北)已知隨機變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(02)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2方法優(yōu)化方法優(yōu)化19利用正態(tài)曲線的性質(zhì)求概率利用正態(tài)曲線的性質(zhì)求概率 教你審題 由服從正態(tài)分布N(2，2)可得出正態(tài)曲線關(guān)于直線x2對稱，于是得到P(0)與P(2)0.023，則P(22) ()A0.477 B0.954 C0.628 D0.977解析解析畫出正態(tài)曲線如圖所示，結(jié)合畫出正態(tài)曲線如圖所示，結(jié)合圖象知：圖象知：P(22)1P(2)P(2)120.0230.954.答案答案B
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