高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)與解三角形 第8講 解三角形應(yīng)用舉例課件 文

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1、第8講 解三角形應(yīng)用舉例考綱要求考點分布考情風(fēng)向標(biāo)1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題2. 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題2011 年新課標(biāo)卷第 15 題考查余弦定理和面積公式;2012 年新課標(biāo)卷第 17 題以解三角形為背景,考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式;2013 年新課標(biāo)卷第 10 題以解三角形為背景,考查倍角公式及余弦定理;2014 年新課標(biāo)卷第 16 題以解三角形為背景,考查正弦定理;2015 年新課標(biāo)卷第 17 題以解三角形為背景,考查正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面積公式1.本節(jié)復(fù)習(xí)時,應(yīng)聯(lián)系生活

2、實例,體會建模,掌握運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本方法2. 加強(qiáng)解三角形及解三角形的實際應(yīng)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力,這也是近幾年高考的熱點之一已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如 a,B,C)正弦定理由 ABC180,求角 A;由正弦定理求 b 與 c.在有解時只有一解兩邊和夾角(如 a,b,C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊 c;由正弦定理求出角 A 或 B;再由 ABC180求另一角在有解時只有一解1解三角形的常見類型及解法在三角形的 6 個元素中要已知三個(除三個角外)才能求解,常見類型及其解法如下表所示:已知條件應(yīng)用定理一般解法三邊(a,b,c)余弦定理由余弦定理求角 A,

3、B;再由 ABC180求角 C.在有解時只有一解兩邊和其中一邊的對角(如 a,b,A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角 B;再由 ABC180,求角 C;再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有兩解、一解或無解(續(xù)表)2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題等3實際問題中的常用角(1)仰角和俯角:與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角如圖 3-8-1(1)圖 3-8-1(2)方向角:相對于某正方向的水平角,如南偏東 30,北偏西 45等(3)方位角:指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到

4、目標(biāo)方向線的水平角,如 B 點的方位角為如圖 3-8-1(2)(4)坡度:坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)1若點 A 在點 B 的北偏西 30,則點 B 在點 A 的()A北偏西 30C南偏東 30B北偏西 60D東偏南 30解析:如圖 D15,點 B 在點 A 的南偏東 30.圖 D15C2如圖 3-8-2,某河段的兩岸可視為平行,在河段的一岸邊選取兩點A,B,觀察對岸的點C,測得CAB75,CBA)A45,且 AB200 m則 A,C 兩點的距離為(圖 3-8-23江岸邊有一炮臺高 30 m,江中有兩條船,由炮臺頂部測得俯角分別為 45和 30,且兩條船與炮臺底部連線成 30角,則兩條船相距

5、()解析:如圖 D16,過炮臺頂點 A 作水平面的垂線,垂足為B.設(shè)A 處測得船 D 的俯角為30,連接BC,BD.在RtABC 中,ACB45, 則ABBC30 m在RtABD中,ADB30,30m,CBD30,由余弦定理,得CD2 BC2 BD2 2BCBDcos CBD900 2700 230 900.CD30 m.答案:D圖 D163330 324一船向正北航行,看見正西方向有相距 10 海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時后,看見一燈塔在船的南偏西 60,另一燈塔在船的南偏西 75,則這艘船的速度是( )A5 海里/時B5海里/時C10 海里/時D10海里/時33圖 D

6、17答案:C考點 1 測量距離問題例 1:(2014 年四川)如圖 3-8-3,從氣球 A 上測得正前方的河流的兩岸 B,C 的俯角分別為 75,30,此時氣球的高是60 m,則河流的寬度 BC( )圖 3-8-3答案:C【規(guī)律方法】(1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的邊和角,求得該數(shù)學(xué)模型的解.【互動探究】1在相距 2 km 的 A,B 兩點處測量目標(biāo) C,若 A75,B 60,則 A,C 兩點之間的距離為_km.6考點 2 測量高度問題例 2:(1)(2015 年湖北)如圖 3-8-4,一輛汽車在一條水平的公

7、路上向正西行駛,到 A 處時測得公路北側(cè)一山頂 D 在西偏北30的方向上,行駛 600 m 后到達(dá) B 處,測得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為 30,則此山的高度 CD_m.圖 3-8-4(2)(2014 年新課標(biāo))如圖 3-8-5,為測量山高 MN,選擇點A 和另一座山的山頂 C 為測量觀測點從點 A 測得點 M 的仰角為MAN60,點 C 的仰角為CAB45,以及MAC75;從點 C 測得MCA60.已知山高 BC100 m,則山高M(jìn)N_m.圖 3-8-5答案:150【規(guī)律方法】(1)測量高度時,要準(zhǔn)確理解仰角、俯角的概念(2)分清已知量和待求量,分析(畫出)示意圖,明確在哪個三角形內(nèi)

8、運用正弦或余弦定理【互動探究】2在 200 m 高的山頂上,測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是 30,60,則塔高為_m.解析:如圖 D18,由已知可得BAC30.CAD30.BCA60,ACD30,ADC120.又 AB200 m,AC在ACD 中,由余弦定理,得AC22CD22CD2cos1203CD2.圖 D1840034003 m.3考點 3 測量角度問題例 3:如圖 3-8-6,漁船甲位于島嶼 A 的南偏西 60方向的B 處,且與島嶼 A 相距 12 海里,漁船乙以 10 海里/時的速度從島嶼 A 出發(fā)沿正北方向航行若漁船甲同時從 B 處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙,剛好用 2 小時追

9、上(1)求漁船甲的速度;(2)求 sin的值圖 3-8-614(海里/時)解:(1)依題意,得BAC120,AB12,AC10220(海里),BCA.在ABC 中,由余弦定理,得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784.解得 BC28.故漁船甲的速度為BC2答:漁船甲的速度為 14 海里/時(2)在ABC 中,AB12,BAC120,BC28,BCA,【規(guī)律方法】關(guān)于角度的問題同樣需要在三角形中進(jìn)行,同時要理解實際問題中常用角的概念:仰角和俯角、方向角、方位角、坡度等.【互動探究】3兩座燈塔 A 和 B 與海岸觀察站 C 的距離相等,燈塔 A在觀察站北偏

10、東 40,燈塔 B 在觀察站南偏東 60,則燈塔 A 在燈塔 B 的()BA北偏東 10C南偏東 10B北偏西 10D南偏西 10難點突破 三角函數(shù)在解三角形中的應(yīng)用例題:(2014 年新課標(biāo))四邊形 ABCD 的內(nèi)角 A 與 C 互補(bǔ),AB1,BC3,CDDA2.(1)求角 C 和 BD;(2)求四邊形 ABCD 的面積解:(1)由題設(shè)及余弦定理,得BD2BC2CD22BCCDcosC1312cosC,BD2AB2DA22ABDAcosA54cosC. 【規(guī)律方法】本題與某年北京高考題幾乎完全相同,請思考:已知圓內(nèi)接四邊形 ABCD 的邊長分別為 AB2,BC6,CDDA4,求四邊形 ABCD 的面積解:如圖 3-8-7,連接 BD,則有四邊形 ABCD 的面積圖 3-8-71運用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式可以求有關(guān)三角形的邊、角、外接圓半徑、面積的值或范圍等基本問題2本節(jié)的難點是三角形形狀的判斷與三角形實際應(yīng)用問題的解決主要是學(xué)生看不到問題的本質(zhì),受到許多非本質(zhì)問題的干擾要加強(qiáng)將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力的訓(xùn)練

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