高中數(shù)學(xué)課件_第三章_第3節(jié)_《三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)》

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1、1.能畫出能畫出ysinx，ycosx，ytanx的圖象，了解的圖象，了解三角函數(shù)的周期性三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0,2上的性質(zhì)上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間理解正切函數(shù)在區(qū)間(，)內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性.1.周期函數(shù)周期函數(shù)(1)周期函數(shù)定義周期函數(shù)定義對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)，使得當(dāng)x取定義取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，那么函數(shù)，那么函數(shù)f(x)就就叫周期函數(shù)叫周期函數(shù).T叫做這個(gè)

2、函數(shù)的周期叫做這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期定義最小正周期定義如果在周期函數(shù)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，的所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè)那么這個(gè)就叫做就叫做f(x)的的f(xT)f(x)最小正數(shù)最小正數(shù)最小正周期最小正周期思考探究思考探究1如果函數(shù)如果函數(shù)yf(x)的周期是的周期是T，那么函數(shù)，那么函數(shù)yf(x)的周期的周期是多少？是多少？提示：提示：函數(shù)函數(shù)yf(x)的周期是的周期是.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)函數(shù)ysinxycosxytanx圖圖象象x|x 2k，kZ函函數(shù)數(shù)ysinxycosxyt

3、anx定定義義域域值值域域RRy|1 y 1 y|1 y 1R 2k， 函函數(shù)數(shù)ysinxycosxytanx單單調(diào)調(diào)性性最最值值無最值無最值( 上遞增，上遞增，kZ；上遞減，上遞減，kZ上遞增，上遞增，Z；上遞減，上遞減，kZ上遞增上遞增kZx時(shí)，時(shí)，ymax1(kZ)；x時(shí)，時(shí)，ymin1(kZ)x時(shí)時(shí)，ymax1(kZ)；X時(shí)，時(shí)，ymin1(kZ)K，+K)2k 2k， 2k(2k1)，2k2k，(2k1)2k-2k2k2k函數(shù)函數(shù)ysinxycosxytanx奇偶奇偶性性對(duì)稱對(duì)稱性性對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱軸l：對(duì)稱軸對(duì)稱軸l：周期周期性性奇奇偶偶奇

4、奇(k，0)，kZ(k,0)kZ(，0)，kZ22xk ，kZ無無xk，kZ思考探究思考探究2正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心與函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)有什么關(guān)系？與函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)有什么關(guān)系？提示：提示：ysinx與與ycosx的對(duì)稱軸方程中的的對(duì)稱軸方程中的x都是它們?nèi)〉枚际撬鼈內(nèi)〉米畲笾祷蜃钚≈禃r(shí)相應(yīng)的最大值或最小值時(shí)相應(yīng)的x，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)都是它們，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)都是它們的零點(diǎn)的零點(diǎn).1.函數(shù)函數(shù)ysin(x)(0)是是R上的偶函數(shù)，則上的偶函數(shù)，則等于等于()A.0B.C.D.解析：解析：要使函數(shù)要使函數(shù)ysin(x )為偶函數(shù)，則

5、為偶函數(shù)，則k.答案：答案：C2.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)，xR，則，則f(x)是是()A.最小正周期為最小正周期為的奇函數(shù)的奇函數(shù)B.最小正周期為最小正周期為的偶函數(shù)的偶函數(shù)C.最小正周期為最小正周期為的奇函數(shù)的奇函數(shù)D.最小正周期為最小正周期為的偶函數(shù)的偶函數(shù)解析：解析：f(x)sin(2x)cos2x函數(shù)函數(shù)f(x)的周期為的周期為，且為偶函數(shù)，且為偶函數(shù).答案：答案：B3.函數(shù)函數(shù)ysin(2x)的圖象的圖象()A.關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱對(duì)稱B.關(guān)于直線關(guān)于直線x對(duì)稱對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱對(duì)稱D.關(guān)于直線關(guān)于直線x對(duì)稱對(duì)稱解析：解析：當(dāng)當(dāng)x時(shí)，時(shí)，ysin0，當(dāng)當(dāng)

6、x時(shí)時(shí)ysin()cos，函數(shù)函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于(,0)對(duì)稱對(duì)稱.答案：答案：A4.y23cos(x)的最大值為的最大值為.此時(shí)此時(shí)x.解析：解析：當(dāng)當(dāng)cos(x)1時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y23cos(x)取得最大值取得最大值5，此時(shí)，此時(shí)x2k，而，而x2k，kZ.答案：答案：52k，kZ5.函數(shù)函數(shù)ysin(x)，x(0，的值域是的值域是.解析：解析：答案：答案：求三角函數(shù)的定義域時(shí)，轉(zhuǎn)化為三角不等式求三角函數(shù)的定義域時(shí)，轉(zhuǎn)化為三角不等式(組組)求解，求解，常常借助于三角函數(shù)的圖象和周期解決，求交集時(shí)可以利常常借助于三角函數(shù)的圖象和周期解決，求交集時(shí)可以利用單位圓，對(duì)于周期

7、相同的可以先求交集再加周期的整數(shù)用單位圓，對(duì)于周期相同的可以先求交集再加周期的整數(shù)倍即可倍即可.1.用三角函數(shù)線解用三角函數(shù)線解sinxa(cosxa)的方法的方法(1)找出使找出使sinxa(cosxa)的兩個(gè)的兩個(gè)x值的終邊所在位置值的終邊所在位置.(2)根據(jù)變化趨勢，確定不等式的解集根據(jù)變化趨勢，確定不等式的解集.2.用三角函數(shù)的圖象解用三角函數(shù)的圖象解sinxa(cosxa，tanxa)的方法的方法.(1)作直線作直線ya，在三角函數(shù)的圖象上找出一個(gè)周期內(nèi)，在三角函數(shù)的圖象上找出一個(gè)周期內(nèi)(不不一定是一定是0,2)在直線在直線ya上方的圖象上方的圖象.(2)確定確定sinxa(cosx

8、a，tanxa)的的x值，寫出解集值，寫出解集.求下列函數(shù)的定義域：求下列函數(shù)的定義域：思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)要使原函數(shù)有意義，必須要使原函數(shù)有意義，必須有：有：由圖知，原函數(shù)的定義域?yàn)椋河蓤D知，原函數(shù)的定義域?yàn)椋?2)要使函數(shù)有意義，要使函數(shù)有意義，則則得得函數(shù)定義域是函數(shù)定義域是x|0 x或或x4.如何求函數(shù)如何求函數(shù)ylg(sinxcosx)的定義域？的定義域？解：解：要使函數(shù)有意義，必須使要使函數(shù)有意義，必須使sinxcosx0.利用圖象利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫出在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上上ysinx和和ycosx的圖象，如圖所示的圖象，如圖所示.在在0,2內(nèi)，滿足內(nèi)

9、，滿足sinxcosx的的x為為再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以定義域?yàn)?，所以定義域?yàn)閤|2kx2k，kZ.1.形如形如yAsin(x)(A0，0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，基本思路是把基本思路是把x看作一個(gè)整體，由看作一個(gè)整體，由2kx 2k(kZ)求得函數(shù)的增區(qū)間，由求得函數(shù)的增區(qū)間，由2kx2k(kZ)求得函數(shù)的減區(qū)間求得函數(shù)的減區(qū)間.2.形如形如yAsin(x)(A0，0)的函數(shù)，可先利用的函數(shù)，可先利用誘導(dǎo)公式把誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，得到的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，得到y(tǒng)Asin(x)，由由2kx2k(kZ)得到函數(shù)的減得到函數(shù)的減區(qū)區(qū)間，由間，由

10、2kx2k(kZ)得到函數(shù)得到函數(shù)的增區(qū)間的增區(qū)間.3.對(duì)于對(duì)于yAtan(x)(A、為常數(shù)為常數(shù))，其周期，其周期T，單調(diào)區(qū)間利用單調(diào)區(qū)間利用x(k，k)(kZ)，解出，解出x 的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間.特別警示特別警示求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要注意求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要注意A和和的符號(hào)的符號(hào).已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)log2(2x).(1)求函數(shù)的定義域；求函數(shù)的定義域；(2)求滿足求滿足f(x)0的的x的取值范圍；的取值范圍；(3)求函數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的單調(diào)遞減區(qū)間.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)令令sin(2x)0sin(2

11、x)02k2x2k，kZkxk,kZ.故函數(shù)的定義域?yàn)楣屎瘮?shù)的定義域?yàn)?k，k)，kZ.(2)f(x)0，sin(2x)2x2k或或2k，kZxk或或xk，kZ，故故x的取值范圍是的取值范圍是x|xk或或xk，kZ.(3)令令2k2x2k，kZ2k2x2k，kZkx0)，yf(x)的圖象與直線的圖象與直線y2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.k，k，kZB.k，k，kZC.k，k，kZD.k，k，kZ【解析解析】f(x)sinxcosx2sin(x)(0).f(x)圖象與直線圖象與直線y2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于的兩個(gè)相鄰交

12、點(diǎn)的距離等于，恰好，恰好是是f(x)的一個(gè)周期，的一個(gè)周期，2.f(x)2sin(2x).故其單調(diào)增區(qū)間應(yīng)滿足故其單調(diào)增區(qū)間應(yīng)滿足2k2x2k (kZ).kxk(kZ).【答案答案】C自主體驗(yàn)自主體驗(yàn)使奇函數(shù)使奇函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x )在在,0上為減函數(shù)的上為減函數(shù)的的值為的值為()A.B.C.D.解析：解析：f(x)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，f(0)sincos0.tan，k，kZ，f(x)2sin2x，在在,0上為減函數(shù)，上為減函數(shù)，f(x)2sin2x，.答案：答案：D1.(2009廣東高考廣東高考)函數(shù)函數(shù)y2cos2(x)1是是()A.最小正周期為最小正周期為的奇函數(shù)的奇

13、函數(shù)B.最小正周期為最小正周期為的偶函數(shù)的偶函數(shù)C.最小正周期為最小正周期為的奇函數(shù)的奇函數(shù)D.最小正周期為最小正周期為的偶函數(shù)的偶函數(shù)解析：解析：y2cos2(x)1cos(2x)sin2xT，且為奇函數(shù)，且為奇函數(shù).答案：答案：A2.(2009全國卷全國卷)如果函數(shù)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)中心對(duì)稱，那么中心對(duì)稱，那么| |的最小值為的最小值為()A. B.C.D.解析：解析：由題意得由題意得3cos(2)3cos(2)3cos()0，cos()0，k，k，取取k0，得，得|的最小值為的最小值為.答案：答案：A3.若函數(shù)若函數(shù)y2cosx在區(qū)間在區(qū)間0，上遞

14、減，且有最小值上遞減，且有最小值1，則則的值可以是的值可以是()A.2B.C.3D.解析：解析：由由y2cosx在在0，上是遞減的，且有最小上是遞減的，且有最小值為值為1，則有：，則有：f()1，即，即2cos()1cos，.答案：答案：B4.函數(shù)函數(shù)f(x)sin2xsinxa，若對(duì)，若對(duì)xR,1f(x)恒成恒成立，則立，則a的取值范圍為的取值范圍為.由題意知由題意知3a4.解析：解析：f(x)sin2xsinxaaa，t1,1.t1時(shí)，時(shí)，f(x)mina2；t時(shí)，時(shí)，f(x)maxa.答案：答案：3a45.(文文)對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)給出下列四個(gè)給出下列四個(gè)命題：命題：該函數(shù)是以該函

15、數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；為最小正周期的周期函數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)xk(kZ)時(shí)，該函數(shù)取得最小值是時(shí)，該函數(shù)取得最小值是1；該函數(shù)的圖象關(guān)于該函數(shù)的圖象關(guān)于x2k(kZ)對(duì)稱；對(duì)稱；當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)2kx2k(kZ)時(shí)，時(shí)，0f(x).其中正確命題的序號(hào)是其中正確命題的序號(hào)是(請(qǐng)將所有正確命題的請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)都填上序號(hào)都填上).解析：解析：畫出函數(shù)畫出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象易知正確的圖象，由圖象易知正確.答案：答案：(理理)(2009上海高考上海高考)當(dāng)當(dāng)0 x1時(shí)，不等式時(shí)，不等式sinkx成立，則成立，則實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是.解析：解析：0 x1時(shí)，時(shí)，ys

16、in的圖象如圖所示，的圖象如圖所示，ykx的圖象在的圖象在0,1之間的部分應(yīng)位于此圖象下方，之間的部分應(yīng)位于此圖象下方，當(dāng)當(dāng)k0時(shí)，時(shí)，ykx在在0,1上的圖象恒在上的圖象恒在x軸下方，原不等式軸下方，原不等式成立成立.當(dāng)當(dāng)k0，kxsin時(shí)，在時(shí)，在x0,1上恒成立，上恒成立，k1即可即可.故故k1時(shí)，時(shí)，x0,1上恒有上恒有sinkx.答案：答案：k16.(文文)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)2asin(2x)b的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，函數(shù)的最大值為函數(shù)的最大值為1，最小值為，最小值為5，求，求a和和b的值的值.若若a0，則，則，解得解得.綜上可知，綜上可知，a126，b2312或或a126，b1912.解：解：0 x，2x，sin(2x)1，若若a0，則，則，解得，解得；(理理)已知已知a0，函數(shù)，函數(shù)f(x)2asin(2x)2ab，當(dāng)，當(dāng)x0，時(shí)，時(shí)，5f(x)1.(1)求常數(shù)求常數(shù)a，b的值；的值；(2)求求f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解：解：(1)x0，又又a0，5f(x)1，即即(2)f(x)4sin(2x)1，由，由2k2x2k得得kxkx，kZ，由由2k2x2k得得kxk，kZ，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為k，k(kZ).