創(chuàng)新設(shè)計(浙江專用)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 概率與隨機變量及其分布 第2講 隨機變量及其分布列課件

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1、第2講隨機變量及其分布列高考定位概率模型多考查獨立重復(fù)試驗、相互獨立事件、互斥事件及對立事件等;對離散型隨機變量的分布列及期望的考查是重點中的“熱點”,多在解答題的前三題的位置呈現(xiàn),??疾楠毩⑹录母怕?,超幾何分布和二項分布的期望等.真真 題題 感感 悟悟(2016全國卷)某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰,機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺機器更換的易

2、損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,確定n的最小值;(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在n19與n20之中選其一,應(yīng)選用哪個?解(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而P(X16)0.20.20.04;P(X17)20.20.40.16;P(X18)20.20.20.40.40.24;P(X19)20.20.220.40.20.24

3、;P(X20)20.20.40.20.20.2;P(X21)20.20.20.08;P(X22)0.20.20.04;所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44,P(X19)0.68,故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元).當(dāng)n19時,E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.當(dāng)n20時,E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 0

4、80.可知當(dāng)n19時所需費用的期望值小于n20時所需費用的期望值,故應(yīng)選n19.考考 點點 整整 合合1.條件概率2.相互獨立事件同時發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B).3.獨立重復(fù)試驗4.超幾何分布5.離散型隨機變量的分布列x1x2x3xiPp1p2p3pi為離散型隨機變量的分布列.(2)離散型隨機變量的分布列具有兩個性質(zhì):pi0;p1p2pi1(i1,2,3,).(3)E()x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量的數(shù)學(xué)期望或均值.D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做隨機變量的方差.(4)性質(zhì)E(ab)aE()b,D(ab)a2D();XB

5、(n,p),則E(X)np,D(X)np(1p);X服從兩點分布,則E(X)p,D(X)p(1p).熱點一相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗概率模型 微題型微題型1相互獨立事件的概率相互獨立事件的概率(1)獲賠的概率;(2)獲賠金額(單位:元)的分布列.綜上知,的分布列為探究提高對于復(fù)雜事件的概率,要先辨析事件的構(gòu)成,理清各事件之間的關(guān)系,并依據(jù)互斥事件概率的和,或者相互獨立事件概率的積的公式列出關(guān)系式;含“至多”“至少”類詞語的事件可轉(zhuǎn)化為對立事件的概率求解;并注意正難則反思想的應(yīng)用(即題目較難的也可從對立事件的角度考慮).微題型2獨立重復(fù)試驗的概率(1)若走L1路線,求最多遇到1次紅燈的概率;(2

6、)若走L2路線,求遇到紅燈的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;(3)按照“遇到紅燈的平均次數(shù)最少”的要求,請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線,并說明理由.探究提高在解題時注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征:(1)在每次試驗中,試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;(2)在每次試驗中,事件發(fā)生的概率相同.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率;(2)記X為比賽決出勝負時的總局?jǐn)?shù),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).熱點二離散型隨機變量的分布列微題型微題型1利用相互獨立事件、互斥事件的概率求分布列利用相互獨立事件、互斥事件的概率求分布列(1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率;(2)兩次回

7、球結(jié)束后,小明得分之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望.可得隨機變量X的分布列為:探究提高解答這類問題使用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述解答過程是解答得分的根本保證.引進字母表示事件可使得事件的描述簡單而準(zhǔn)確,或者用表格描述,使得問題描述有條理,不會有遺漏,也不會重復(fù);分析清楚隨機變量取值對應(yīng)的事件是求解分布列的關(guān)鍵.微題型微題型2二項分布二項分布(1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為X,求X3的概率;(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大?(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1,都選擇方案乙所獲得的累

8、計得分為X2,則X1,X2的分布列如下:微題型微題型3超幾何分布超幾何分布【例23】 (2016合肥二模)為推動乒乓球運動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.探究提高抽取的4人中,運動員可能為種子選手或一般運動員,并且只能是這兩種情況之一,符合超幾何概型的特征,故可利用超幾何分布求概率.

9、【訓(xùn)練2】 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.(1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率;(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為5 000萬元;若某臺發(fā)電機未運行,則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總

10、利潤的均值達到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺?Y4 20010 000P0.20.8所以,E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安裝3臺發(fā)電機的情形.依題意,當(dāng)40X80時,一臺發(fā)電機運行,此時Y5 0001 6003 400,因此P(Y3 400)P(40X120時,三臺發(fā)電機運行,此時Y5 000315 000,因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如下:Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以,E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.綜上,欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機2臺.1.概率P(

11、A|B)與P(AB)的區(qū)別(1)發(fā)生時間不同:在P(A|B)中,事件A,B的發(fā)生有時間上的差異,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同時發(fā)生.(2)樣本空間不同:在P(A|B)中,事件B成為樣本空間;在P(AB)中,樣本空間仍為總的樣本空間,因而有P(A|B)P(AB).2.求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為:第一步是“判斷取值”,即判斷隨機變量的所有可能取值,以及取每個值所表示的意義;第二步是“探求概率”,即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式,以及對立事件的概率公式等),求出隨機變量取每個值時的概率;第三步是“寫分布列”,即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確;第四步是“求期望值”,一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值,對于有些實際問題中的隨機變量,如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布XB(n,p),則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此,應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式,可加快解題速度.

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