江蘇省蘇州市第五中學高考數(shù)學總復習 第1講 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件

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1、第第1講講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 知 識 梳 理 1分類加法計數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N 種不同的方法m1m2mn 2分步乘法計數(shù)原理完成一件事情需要分成n個不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N 種不同的方法 3分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關，各種方法

2、相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成m1m2mn 辨 析 感 悟 1兩個計數(shù)原理的理解(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完 成 這 件 事 ()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方 法 是 各 不 相 同 的 ()(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任 何 一 個 單 獨 的 步 驟 都 能 完 成 這 件 事 () 2兩個計數(shù)原理的應用(5)(教材習題改編)三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能

3、踢一下，由甲開始踢，經過5次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有10種()(6)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有14個() 感悟提升 1兩點區(qū)別一是分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中一類，簡單的說分類的標準是“不重不漏，一步完成”，如(1)、(2)二是分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，在各個步驟中任取一種方法，即是完成這個步驟的一種方法，簡單的說步與步之間的方法“相互獨立，分步完成”，如(3)、(4) 2兩點提醒一是分類時，標準要明確，應做到不重不漏；可借助幾何直觀，探索規(guī)律，如(5)二是分步時，要合理設計順序、步驟，

4、并注意元素是否可以重復選取，如(6)中2,3可重復但至少各出現(xiàn)一次. 考點一分類加法計數(shù)原理 【例1】 (2013福建卷改編)滿足a，b1,0,1,2，且關于x的方程ax22xb0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為_當a1時，b1,0,1，有3種可能當a2時，b1,0，有2種可能由分類加法計數(shù)原理，有序數(shù)對(a，b)共有443213(個)答案13規(guī)律方法 分類標準是運用分類計數(shù)原理的難點所在，重點在于抓住題目中的關鍵詞或關鍵元素、關鍵位置首先根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準；其次分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類. 【訓練1】 某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中

5、取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有_答案10種 考點二分步計數(shù)原理 【例2】 將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有_答案12種規(guī)律方法 (1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成 【訓練2】 將一個四面體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色，要求共端點的棱不能涂相同顏色，則不同的涂色方

6、案有_解析因為只有三種顏色，又要涂六條棱，所以應該將四面體的對棱涂成相同的顏色故有3216種涂色方案答案6種 考點三兩個計數(shù)原理的綜合應用 【例3】 (2014濟南質檢)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有_.審題路線由于區(qū)域1,2,3與區(qū)域4相鄰，由條件宜采用分步處理，又相鄰區(qū)域不同色，因此應按區(qū)域1和區(qū)域3是否同色分類求解14523答案96 規(guī)律方法 (1)解決涂色問題，一定要分清所給的顏色是否用完，并選擇恰當?shù)耐可樞?2)切實選擇好分類標準，分清哪些可以同色，哪些不同色 【訓練3】 如果一個

7、三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為_解析若a22，則“凸數(shù)”為120與121，共122個若a23，則“凸數(shù)”有236個若a24，滿足條件的“凸數(shù)”有3412個，若a29，滿足條件的“凸數(shù)”有8972個所有凸數(shù)有26122030425672240(個)答案240 1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎并貫穿始終(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中一類(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，步與步之間的方法“相互獨立，分步完成” 2(1)切實理解“完成一件事”

8、的含義，以確定需要分類還是需要分步進行(2)分類的關鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步 3若綜合利用兩個計數(shù)原理，一般先分類再分步 創(chuàng)新突破8與計數(shù)原理有關的新定義問題 【典例】 (2012湖北卷)回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22,121,3 443,94 249等顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33，99.3位回文數(shù)有90個：101,111,121，191,202，999.(*)則：(1)4位回文數(shù)有_個；(2)2n1(nN*)位回文數(shù)有_個(*)突破：由(*)式，理解“特殊”背景回文數(shù)的含義，借助計數(shù)原理計算結合(*)，可

9、從2位回文數(shù)，3位回文數(shù)，4位回文數(shù)探索求解方法，從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律解析(1)4位回文數(shù)相當于填4個方格，首尾相同，且不為0，共9種填法；中間兩位一樣，有10種填法共計91090(種)填法，即4位回文數(shù)有90個(2)根據(jù)回文數(shù)的定義，此問題也可以轉化成填方格由計數(shù)原理，共有910n種填空答案(1)90(2)910n反思感悟 (1)一題兩問，以“回文數(shù)”為新背景，考查計數(shù)原理，體現(xiàn)了化歸思想，將確定回文數(shù)的問題轉化為“填方格”問題，進而利用分步乘法計數(shù)原理解決，將新信息轉化為所學的數(shù)學知識來解決(2)從特殊情形入手，通過分析、歸納，發(fā)現(xiàn)問題中隱含的一些本質特征和規(guī)律，然后再推廣到一般情形，必要時可以多列舉一些特殊情形，使規(guī)律方法更加明確 【自主體驗】 1(2014揚州調研)從8名女生4名男生中，選出3名學生組成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為_種答案112 2(2013山東卷改編)用0,1，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為_解析0,1,2，9共能組成91010900(個)三位數(shù)，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有998648(個)，有重復數(shù)字的三位數(shù)有900648252(個)答案252