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1、第18講分類討論思想主干知識整合在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要 對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就 是分類討論法.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的 數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整 為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.有關分類討論 思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能 訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重 要的位置.引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：1問題所涉及到的數(shù)學槪念是分類進行定義的.如刨 的定義分0、“=0、X0三種情況.這種分類討論題型可 以稱為概念型.2問題中涉及到的數(shù)學定理、公式和運算性質(zhì)、法
2、則有 范圍或者條件限制，或者是分類給出的.如等比數(shù)列的前 項和的公式，分q=l和“H1兩種情況.這種分類討論題型 可以稱為性質(zhì)型.3解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范 圍進行討論.如解不等式心2時分QO、G=0和xO三種 情況討論.這種分類討論題型可稱為含參型.另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位 置、不確定的結論等， 都主要通過分類討論， 保證其完整 性.使之具有確定性要點熱點探究探究點一根據(jù)公式、定理、性質(zhì)的條件分類討論例1數(shù)列“滿足“1 = 1,么2 = 2, 0”=3（“-1 +如-2）（=3.4,）數(shù)列仇滿足餉=1, M1=2J,）是非零整數(shù), 且對任意的正整數(shù)m
3、和自然數(shù)k,都有一1W虬+” + +bm*kW1 （1）求數(shù)列s“和九啲通項公式；記。=“九（/1 = 1.2,），求數(shù)列“的前刃項和S”.【解答】 由an=j（ani + 2an2）得“一怖1 =一評“i又“2=:數(shù)列”“一”是首項為1公比為一;的等比數(shù)列，盼1-妬=（一務巴站=“ +（“25）+（心”2）+（5心）（心一如-JR+I+T+-舒+323+一5+223X3q3X2+rT3lx35f1由1W&2W1,得加=1 ,由12ez,址工o，lb,伽H( (b同理可得當為偶數(shù)時，九=一1；當為奇數(shù)時,S”=C|+C2+CJ+CJ-c.當為奇數(shù)時，幾=5-2探究點二 根據(jù)參數(shù)的可能取值情況分
4、類討論例2設函數(shù)f(x)=ax22x-2,對于滿足1；【解析】含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值. 最小值等值域問題，需要先對開口方向討論.再對其拋物線對 稱軸的位置與閉區(qū)間的關系進行分類討論，最后綜合得解.當 時.f(x)=aHhA/(1)=“_2+2工0,冷7(4)=160-8+2$山/.al或a-；f=葉2+2刃f(4)=16a-8+20，叭付當8=0時，f(x)=2x+2, f(l)=0, f(4)=6,不合題 意.由上而得，實數(shù)a的取值范圍是；【點評】本題分兩級討論，先對決定開口方向的二次 項系數(shù)a分a0. a0時將對稱軸與閉區(qū)間的關系分三 種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間.本題
5、的解答，關鍵是 分析符合條件的二次函數(shù)的圖象，也可以看成是“數(shù)形結 合法”的運用.當a0時,【答案】( (12)；(3.402)變?nèi)诸}某校數(shù)學課外小組在坐標紙上，為學校的一塊空地設計植樹方案如下： 第R棵樹種植在 點Pkg必)處，其中Xj = L ” = 1,當心心2時,總=亠】 +1一彳7卜料即yn+7(弓-彳寧)八表示非負實數(shù)a的整數(shù)部分，例如八2 6)=2, T(0.2)=0.按此方案，第6棵樹種植點的坐標應為_,【答案】( (12)；(3.402)第2008棵樹種植點的坐標應為_tezUJlu二+ES2沏(一)【富】苗zlDsz+$H“enT3(5)當k=5rn時4 5 r4 5 J=
6、7t 5丿一4一5-丿=(加一】)一伽 T)=0.1、俁一2、所以， 卩 亍一Tf韻組成的數(shù)列為1 )0001,0.0,0,0J Jh(Mh(),，數(shù)列血為1.23451,2,3,4.5,I 23A5,；數(shù)歹 為IJ, M 4,2,2,2,2,2333334,4,4,4,4,因此，第6棵樹種在(1.2),第2008棵樹種在(3.402).探究點三避免分類討論的有關策略策略1：分離常數(shù)例3當xe( (-oo, 1時，等式爐于+”+戶o總成 立，則“的取值范圍是_ 【解析】常規(guī)解法：設嚴=，由xWl與心“+才+丨二。1nO0、“vO及【答案】2在（0 2內(nèi)有一解和兩解四種情況討論，比較復雜.若分離
7、參數(shù) “，構造。的函數(shù)表達式，則可以避免分類討論.由已知得：a=冊+1撲-冊+；注意函數(shù)尸 （芽在（一 8,1上的值域為g 4-00,推得穴一扌.策略2：數(shù)形結合例4對于函數(shù)f（x）=x2+axa+,存在xoe|O,l|,使/（心）l【答案】2【解析】通常要分拋物線的對稱軸在 區(qū)間的左邊、區(qū)間內(nèi)與區(qū)間右邊三種情況進 行討論.若由Jlx)0=x24-1 1 策略3：整體處理例5函數(shù))，=/在0山上的最大值與最小值的和 為3,則。=_ 【解析】常規(guī)方法要分0fl兩種情況進行討 論.若注意到兩種情況下函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，其最大值與最 小值都是在區(qū)間端點處取得，總有幾5叭+幾0亠=/() +/U),則可
8、以避免分類討論.由函數(shù)y=f(x)=ax在M上是單調(diào)函數(shù)得：/(x)niat+ /(x)0,使得尸(x)=/i(x)(x2-ar+l),則稱函數(shù)/U)具有性質(zhì)PS) 設函數(shù)/lx)=lnr+(xl),其中為實數(shù).1 1求證：函數(shù)/U)具有性質(zhì)Pg2 2求函數(shù)/U)的單調(diào)區(qū)間.已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2).給定小，X2G(1,+ )Xj, /,若lg(a)g(/Olvlg(xJg(X2) )l，求加的取值范圍.【解答】廣( (x) ) f-亦命不1) xl時，加兀)班1. ) )20恒成立，函數(shù)/( (X) )具有性質(zhì)P(b);(方法一)設卩(x) “2-bx+1 1-%,卩(兀)與f( (
9、X) )的符號相同.().1) L2當1 -40,即-2b0,f(x)0,故此 時幾r)在區(qū)間(1,+8)上遞増；當b 2時，對于xl,有f(x)0,所以此時/(x)在區(qū)間(1,十 8)上遞增；當hl,總有卩(x)0,/ (x)0,故此時/U)在區(qū)間(1,+8)上遞增；當x 61,上二 時，0（x）vO, f （x）0,故此時/2時，/（x）在1, 上遞減；/U）在+4上遞規(guī)若aXix2lg(xJ - g(x2)l,不合題意/.X|a/xi(1一zw)xi +mx2x2込50對于任意的x(l.+8)都成立.所以, 當X1 fit，g1(x) -h(x)(x- 1)20，從而g(x)在區(qū)間(1,
10、 +8) )上單調(diào)遞增.1當加 (0.1)時，有a - mx+ (1 -/njx2wxi + (1 -niX-X|,a - mx+ (1 -)X2 -a (X|, x)同理可得 n，所以由g(x)的單調(diào)性知gS)、g(”) (g(xJ, gU2),從而有l(wèi)() -g(/?)l(1一加川+加*20(1-加 X 小，于是由久1, Q1及g(x)的單調(diào)性知解得m/h且c( (-“2 nt(Xi x2),卩卩-m(xi_X2) ),A* V( (1111lx I *HIX、同理有”W即爲+(】-哄 g解得m0,g(“)Wg(X|)X2) )Wgg),所以|g(a)- g(“)lNlgg) g(X2)
11、)h與題後不符.當加Ml時，同理可得mWxi，“NX進而得IgS)-g(/0l2lg(Xi) )-g(X2) )l，與題設不符.因此綜合、 得所求的m的取值范圍長(l,(p(x)-x* 2-+ 1 x2- 2x + 1 (x 1 )20 所以f(x)0,故此時/(x)在區(qū)間(1,+8)上遞增；當b2時，伊(x)圖象開口向上，對稱軸x ?l,方程卩(x) o的兩根為：峠方呼2b - /b 422h + 4(2)(方法一)由題意，得g (x)-h(x)(x2-2r* 1)-h(x)(x-l)2.又力(x)對任意的X (1,+ 8 )都有/j( (x)0,所以對任意的x (1,+8)都有 Q(x)0, g(x)在(1, +8)上遞堆.又a+“i+X2，(2ni- l)(Xj -x2).當m,/nHl時,a邙、邙、且a-Xi- (m - lUi + (1-加M2,.(a-X|X-x2)- - (m - l)2(xj-X2)20,.e. aXiX2/i或X|a/
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