《高考第二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案專題四 數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考第二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案專題四 數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列
1.(2011陜西高考,文10)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米.開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊.現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號(hào),為使各位同學(xué)從各自樹坑前來(lái)領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小,樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為( ).
A.①和B.⑨和⑩C.⑨和D.⑩和
2.(2011廣東高考,文11)已知{an}是遞增等比數(shù)列,a2=2,a4-a3=4,則此數(shù)列的公比q=__________.
3.(2010重慶高考,文2)在等差數(shù)列{an}中,a1+a9=10,則a5的值為( ?。?
A.5B.6
C.
2、8D.10
對(duì)等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)及其運(yùn)用的考查,多以選擇、填空題的形式出現(xiàn),突出“小巧、靈活、善變”的特點(diǎn),在高考題中,數(shù)列常常與函數(shù)、不等式、三角、解析幾何、概率、充要條件相結(jié)合,在知識(shí)交匯處命題.以考查等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、單調(diào)性等性質(zhì)為主.
熱點(diǎn)一 等差、等比數(shù)列的判定與證明
判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差(等比)數(shù)列或證明一個(gè)數(shù)列是等差(等比)數(shù)列,最基本的方法是根據(jù)等差(等比)數(shù)列的定義,另外,還可使用中項(xiàng)公式,通項(xiàng)公式,或者前n項(xiàng)和公式等;若已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時(shí),常對(duì)遞推關(guān)系變形,構(gòu)造一個(gè)新的等差(等比)數(shù)列,從而進(jìn)一步求原數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而判斷或證明.
3、【例1】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an+Sn=n.求證:數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列.
思路點(diǎn)撥:利用定義證為常數(shù).
判定或證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列或等比數(shù)列的四種基本方法:
(1)定義法:an+1-an=d(d為常數(shù))
?{an}為等差數(shù)列;
=q(q為非零常數(shù))?{an}為等比數(shù)列.
(2)中項(xiàng)公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列;
a=an·an+2(an≠0,n∈N*)?{an}為等比數(shù)列.
(3)通項(xiàng)公式法:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列;
an=cqn(c,q為非零常數(shù),n∈N*)?{an}為等比數(shù)列.
4、
(4)前n項(xiàng)和公式法:Sn=an2+bn+c(a,b,c都是常數(shù)),c=0?{an}為等差數(shù)列;
Sn=k(qn-1),k為常數(shù),且q≠0,1?{an}為等比數(shù)列.
提醒:①前兩種方法是證明等差(等比)數(shù)列的常用方法,而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定;
②若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列,則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等差(等比)即可.
拓展延伸在數(shù)列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N*),a1=-23.是否存在常數(shù)λ使數(shù)列{an-n+λ}為等比數(shù)列,若存在,求出λ的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
熱點(diǎn)二 由遞推公式到通項(xiàng)公式
(1)通過遞推關(guān)系求得數(shù)
5、列類型(等差或等比),進(jìn)而求得通項(xiàng)公式;
(2)觀察遞推關(guān)系的特點(diǎn),選擇適當(dāng)方法求得.一般常利用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”等.
【例2】在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
思路點(diǎn)撥:由題意an+1-an==-,故可用累加法求an.
1.已知Sn,求an可用分段函數(shù)an=
求解.
2.累加法:數(shù)列遞推關(guān)系形如an+1=an+f(n),其中{f(n)}要可求和.這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí),常用累加法(疊加法).
3.累乘法:數(shù)列遞推關(guān)系形如an+1=g(n)an,其中{g(n)}要可求積,此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法(疊乘法).
6、4.構(gòu)造法:遞推關(guān)系形如:
(1)an+1=pan+q(p,q為常數(shù)),可化為an+1+=p(p≠1)的形式,利用是以p為公比的等比數(shù)列求解;
(2)遞推關(guān)系形如an+1=pan+qpn+1(p,q為常數(shù))可化為-=q(p≠1)的形式.
5.?dāng)?shù)列遞推關(guān)系形如an+1=pa(p,r為常數(shù),且p>0,an>0),求通項(xiàng)公式時(shí)一般采用遞推關(guān)系式兩邊取對(duì)數(shù)的方法.
6.若an=an+T,則{an}為周期數(shù)列,周期為T(T∈N*),求an時(shí)可轉(zhuǎn)化為求a1,a2,…,aT來(lái)處理.
拓展延伸數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=1,Sn=5an+1.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
熱點(diǎn)三 等差、
7、等比數(shù)列的基本運(yùn)算
(1)在等差(或等比)數(shù)列中,已知a1,n,d(或q),an,Sn五個(gè)量中任意三個(gè),通過解方程(組)可求另外兩個(gè);
(2)利用等差(或等比)數(shù)列的性質(zhì)解題.
【例3】在公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}和公比為q的等比數(shù)列{bn}中,a2=b1=3,a5=b2,a14=b3,
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn=ban,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
思路點(diǎn)撥:(1)由等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程組求an,bn;(2)構(gòu)造新數(shù)列,利用等比數(shù)列求和公式求Tn.
有關(guān)等差、等比數(shù)列的計(jì)算問題常用到以下的基本性質(zhì):
(1)等差數(shù)列的性質(zhì)
①若
8、m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq;
②Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差數(shù)列;
③am-an=(m-n)d?d=(m,n∈N*);
④=(A2n-1,B2n-1分別為{an},{bn}的前2n-1項(xiàng)和).
(2)等比數(shù)列的性質(zhì)
①若m,n,p,k∈N*,且m+n=p+k,則am·an=ap·ak;
②等比數(shù)列中連續(xù)n項(xiàng)之積構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列;
③在等比數(shù)列{an}中,公比為q(q≠-1),Sn是其前n項(xiàng)和,則數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比數(shù)列,且公比為qn.
拓展延伸令例3(2)中的cn=abn(其他條件不
9、變),求其前n項(xiàng)和Qn.
1.不注意“數(shù)列”是“特殊的函數(shù)”致誤
數(shù)列是特殊的函數(shù),可以用動(dòng)態(tài)的函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列,但必須時(shí)刻注意其“特殊”性,即定義域?yàn)閚∈N*.如數(shù)列{an},其通項(xiàng)an=n2-3n+2=2-的最小值為0(n=1或n=2),而不是-.
2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中一定要考慮公式適用條件q=1或q≠1,否則導(dǎo)致失誤,若q=1,則Sn=na1;若q≠1,則Sn=.
3.對(duì)數(shù)列的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化不當(dāng)致誤
解決遞推數(shù)列問題的基本原則是根據(jù)遞推數(shù)列的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,掌握以下幾類遞推關(guān)系的轉(zhuǎn)化,可極大地提高解題效率.①遞推關(guān)系形如an+1=qan+p,可用待定系數(shù)法:an+1+λ
10、=q(an+λ);
②遞推關(guān)系形如an+1=,可用取倒數(shù)法;
③觀察法,如an+1=22an?=2·.
參考答案
考場(chǎng)傳真
1.D解析:設(shè)小樹放在第i個(gè)坑旁邊,所走路程之和為f(i).由于每?jī)煽又g相距10米,且每個(gè)學(xué)生所走路程為往返,所以,當(dāng)i分別等于1,20,9,10,11時(shí)的路程之和分別為:
f(1)=2[0+10+20+…+190]
=2×=3800(米),
f(20)=2[190+180+…+20+10+0]
=2×=3800(米),
f(9)=2[80+70+60+…+10+0+10+20+…+110]
=2=2040(米),
f(10)=2[90+80
11、+70+…+10+0+10+20+…+100]
=2=2000(米),
f(11)=2[100+90+…+10+0+10+20+…+90]
=2=2000(米).
比較可得,最小的是f(10),f(11).
2.2設(shè){an}的公比為q,則a4=a2q2,a3=a2q.
a4-a3=a2q2-a2q=4,又a2=2,
得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.
又{an}為遞增數(shù)列,則q=2.
3.A解析:因?yàn)閍1+a9=2a5,所以a5=5.
核心攻略
【例1】證明:∵a1=S1,an+Sn=n,①
∴a1+S1=1,得a1=.
又an+1+Sn+1=n+1,②
①
12、②兩式相減,得2(an+1-1)=an-1,即=,故數(shù)列{an-1}是以-為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.
拓展延伸解:假設(shè)an+1-(n+1)+λ=-(an-n+λ)成立,整理得an+1+an=2n+1-2λ,與an+1+an=2n-44比較得λ=.
∴數(shù)列{an-n+}是以-為首項(xiàng),-1為公比的等比數(shù)列.
故an-n+=-(-1)n-1,
即an=n--(-1)n-1.
【例2】解:由an+1-an==-,得n≥2時(shí),an-an-1=-,
an-1-an-2=-,…,a3-a2=-,a2-a1=1-,a1=1.累加得an=-+-+…+-+1-+1=2-=(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),a1也
13、適合上式,∴an=.
拓展延伸解:∵Sn=5an+1,∴an+1=Sn.∴an+1-an=Sn-Sn-1=an(n≥2).∴an+1=an(n≥2).
又∵a1=1,∴S1=1.
∴a2=S1=×1=.
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=
【例3】解:(1)由條件得∴∴an=2n-1,bn=3n.
(2)由(1)得cn=ban=b2n-1=32n-1.
∵==9,c1=3,
∴{cn}是首項(xiàng)為3,公比為9的等比數(shù)列.
∴Tn==(9n-1).
拓展延伸解:由(1)得cn=abn=a3n=2·3n-1.
∴Qn=c1+c2+…+cn=2(3+32+…+3n)-n
=2×-n=3n+1-n-3.
內(nèi)容總結(jié)
(1)②等比數(shù)列中連續(xù)n項(xiàng)之積構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列